Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Punkt przebicia płaszczyzny prostą

Punkt przebicia płaszczyzny



prostą b, to punkt (jeżeli istnieje) należący

jednocześnie zarówno do płaszczyzny jak i do prostej. Poszukiwanie tego punktu
rozgranicza się do dwóch przypadków:



przypadek płaszczyzny



dowolnej

– wymagający zastosowania

płaszczyzny pomocniczej,



Przypadki, gdy płaszczyzna



jest rzutująca – wtedy punkt przebicia

wyznacza się bezpośrednio.

Zadanie 1
Dana jest dowolna płaszczyzna



opisana śladami h



i v



oraz dowolna prosta b

przedstawiona r

zutami b’ i b’’.

Wyznaczyć punkt przebicia płaszczyzny



prostą b (rys.1).

x

v



h



X



b''

b'

Rys.1

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Do rozwiązania zadania należy posłużyć się pomocniczą płaszczyzną
charakterystyczną



. Może to być płaszczyzna poziomo-rzutująca lub pionowo-

rzutująca. Na rys. 2 przez prostą b przeprowadzono płaszczyznę poziomo-rzutującą



.

x

v



h



X



b''

b'

v



h



X



Rys.2

Ślad poziomy h



płaszczyzny



jednoczy się z rzutem poziomym b’ prostej b, węzeł

X



określony jest przez punkt przecięcia rzutu b’ z osią węzłów, a ślad pionowy v



ma

kierunek prostopadły do osi węzłów.

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Wprowadzona płaszczyzna



przecina się z daną płaszczyzną



wzdłuż krawędzi k.

Wyznaczenie tej krawędzi jest możliwe dzięki łatwemu ustaleniu dwóch punktów
wspólnych obu płaszczyzn: V

k

i H

k

(rys.3) w obu ich rzutach.

x

v



h



X



b''

b'

v



h



X



H

k

=H'

k

H''

k

V

k

=V''

k

V'

k

Rys.3

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Przez tak uzyskane punkty prowadzi się krawędź k przecięcia płaszczyzn



oraz



(rys.4).

x

v



h



X



b''

b'

v



h



X



H

k

=H'

k

H''

k

V

k

=V''

k

V'

k

k''

k'

Rys.4

Krawędź ta jednoczy się w swym rzucie poziomym k’ ze śladem poziomym
płaszczyzny pomocniczej h



oraz rzutem prostej

b’, przechodząc przez rzuty

poziome punktów H

k

=H’

k

i

V’

k

. W rzucie pionowym

k’’ przeprowadzona jest przez

rzuty pionowe punktów: H’’

k

oraz V

k

=V’’

k

.

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Punkt przebicia płaszczyzny



prostą b wyznaczony jest przez punkt przecięcia

krawędzi k i prostej b (rys.5).

x

v



h



X



b''

b'

v



h



X



H

k

=H'

k

H''

k

V

k

=V''

k

V'

k

k''

k'

P'

P''

Rys.5

Wprost wyznacza się rzut pionowy P’’ tego punktu, zaś na prostej odnoszącej
odnajduje się rzut poziomy P’. Dla podniesienia czytelności rysunku można
uwzględnić widoczność prostej b, analizując wysokości punktów tej prostej w
kontekście krawędzi k.

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Warto rozpatrzyć wybrane przypadki, w których punkt przebicia płaszczyzny przez
prostą wyznaczany jest bezpośrednio. Występują one wówczas, gdy płaszczyzny są
płaszczyznami charakterystycznymi.

Zadanie 2
Dana jest płaszczyzna poziomo-rzutująca



opisana śladami h



i v



oraz dowolna

prosta b, przedstawiona rzutami b’ i b’’.
Wyznaczyć punkt przebicia płaszczyzny



prostą b (rys.6,7).

x

v



h



X



b''

b'

Rys.6

x

v



h



X



b''

b'

P'

P''

Rys.7

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Zadanie 3
Dana jest płaszczyzna pozioma



opisana śladem v



, jednoczącym się z jego

rzutem pionowym



’’ oraz dowolna prosta b, przedstawiona rzutami b’ i b’’.

Wyznaczyć punkt przebicia płaszczyzny



prostą b (rys.8,9).

x

v





b''

b'

Rys. 8

x

v





b''

b'

P''

P'

Rys.9

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Zadanie 4
Dana jest płaszczyzna czołowa



opisana śladem h



, jednoczącym się z jego rzutem

poziomym



’ oraz dowolna prosta b, przedstawiona rzutami b’ i b’’.

Wyznaczyć punkt przebicia płaszczyzny



prostą b (rys.10,11).

x

h





b''

b'

Rys.10

x

h





b''

b'

P''

P'

Rys.11

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Powyższe wiadomości umożliwiają rozwiązywanie zadań bardziej złożonych, niż
wcześniej zaprezentowane, z wykorzystaniem konstrukcji podstawowych.

Zadanie 5
Dana jest płaszczyzna dowolna



opisana śladami h



i v



oraz płaszczyzna



wyznaczona przez trzy punkty A, B i C trójkąta. Wykreślić krawędź przecinania się
obu płaszczyzn (rys.12).

x

v



h



X



A''

B''

C''

A'

B'

C'

Rys.12

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Jedną z metod rozwiązania zadania jest wprowadzenie pomocniczych płaszczyzn
poziomych



1

oraz



2

, przecinających obie płaszczyzny (rys.13).

x

v



h



X



v









''

v









''

A''

B''

C''

A'

B'

C'

Rys.13

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Płaszczyzna



1

przecina płaszczyznę



wzdłuż krawędzi k

1

, która w rzucie pionowym

k’’

1

jednoczy się ze śladem v



1

, a w rzucie poziomym

k’

1

ma kierunek równoległy do

śladu poziomego h



. (rys.14).

x

v



h



X



v









''

v









''

A''

B''

C''

A'

B'

C'

V

k1

=V''

k1

V'

k1

k

1

''

k

1

'

Rys.14

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Płaszczyzna



1

przecina także płaszczyznę



wzdłuż krawędzi k

2

, na której w rzucie

pionowym widoczne są pomocnicze punkty 1’’ na boku A’’B’’ i 2’’ na boku B’’C’’ .
Rzuty poziome punktów 1’ i 2’ odnajduje się na prostych odnoszących, do ich
przecięcia odpowiednio z rzutami boków A’B’ oraz B’C’. Krawędź k

2

w swym rzucie

pionowym k

2

’’ jednoczy się z rzutem krawędzi k1’’, natomiast jej rzut poziomy

poprowadzony jest przez rzuty punktów 1’ i 2’ (rys.15).

x

v



h



X



v









''

v









''

A''

B''

C''

A'

B'

C'

V

k1

=V''

k1

V'

k1

1''

2''

k

1

''=k

2

''

k

1

'

k

2

'

2'

1'

Rys.15

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Krawędzie k

1

i k

2

przecinają się w punkcie P

1

, który jest punktem wspólnym trzech

płaszczyzn: zadanych



i



oraz pomocniczej



1

. Rzut poziomy P

1

’ punktu P1

znajduje się na przecięciu rzutów poziomych krawędzi k

1

’ oraz k

2

’. Rzut pionowy P

1

’’

tego punktu znajduje się na przecięciu prostej odnoszącej do P

1

’ i jednoczących się

rzutów pionowych krawędzi k

1

’’ oraz k

2

’’ (rys.16).

x

v



h



X



v









''

v









''

A''

B''

C''

A'

B'

C'

V

k1

=V''

k1

V'

k1

1''

2''

k

1

''=k

2

''

k

1

'

k

2

'

2'

1'

P

1

''

P

1

'

Rys.16

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Podobnie płaszczyzna



2

przecina płaszczyznę



wzdłuż krawędzi k

3

, która w rzucie

pionowym

k’’

3

jednoczy się ze śladem v



2

, a w rzucie poziomym

k’

3

ma kierunek

równoległy do śladu poziomego h



. (rys.17).

x

v



h



X



v









''

v









''

A''

B''

C''

A'

B'

C'

V

k1

=V''

k1

V'

k1

1''

2''

k

1

''=k

2

''

k

1

'

k

2

'

2'

1'

P

1

''

P

1

'

V

k3

=V''

k3

V'

k3

k

3

''

k

3

'

Rys.17

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Analogicznie także do przeprowadzonych działań płaszczyzna



2

przecina również

płaszczyznę



wzdłuż krawędzi k

4

, na której w rzucie pionowym widoczne są

pomocnicze punkty

3’’ na boku A’’B’’ i 4’’ na boku B’’C’’ . Rzuty poziome punktów 3’ i

4’ odnajduje się na prostych odnoszących, do ich przecięcia odpowiednio z rzutami
boków A’B’ oraz B’C’. Krawędź k

4

w swym rzucie pionowym k

4

’’ jednoczy się z

rzutem krawędzi k

3

’’, natomiast jej rzut poziomy poprowadzony jest przez rzuty

punktów 3’ i 4’ (rys.18).

x

v



h



X



v









''

v









''

A''

B''

C''

A'

B'

C'

V

k1

=V''

k1

V'

k1

1''

2''

k

1

''=k

2

''

k

1

'

k

2

'

2'

1'

P

1

''

P

1

'

V

k3

=V''

k3

V'

k3

k

3

''=k

4

''

k

3

'

k

4

'

3''

4''

3'

4'

Rys.18

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Krawędzie k

3

i k

4

przecinają się w punkcie P

2

, który jest punktem wspólnym trzech

płaszczyzn: zadanych



i



oraz pomocniczej



2

. Rzut poziomy P

2

’ punktu P1

znajduje się na przecięciu rzutów poziomych krawędzi k

3

’ oraz k

4

’. Rzut pionowy P

2

’’

tego punktu znajduje się na przecięciu prostej odnoszącej do P

2

’ i jednoczących się

rzutów pionowych krawędzi k

3

’’ oraz k

4

’’. Przez punkty P1 i p2 w obu rzutach

przeprowadzić można krawędź płaszczyzn



i



(rys.19).

x

v



h



X



v









''

v









''

A''

B''

C''

A'

B'

C'

V

k1

=V''

k1

V'

k1

1''

2''

k

1

''=k

2

''

k

1

'

k

2

'

2'

1'

P

1

''

P

1

'

V

k3

=V''

k3

V'

k3

k

3

''=k

4

''

k

3

'

k

4

'

3''

4''

3'

4'

P

2

''

P

2

'

k'

k''

Rys.19

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Zadanie 6
Dana jest płaszczyzna dowolna



wyznaczona przez trzy punkty A, B i C trójkąta

oraz prosta b. Znaleźć punkt przebicia oraz określić widoczność prostej względem
płaszczyzny (rys. 20).

x

A''

B''

C''

C'

B'

A'

b''

b'

Rys.20

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Rozwiązanie zadania można zrealizować w sposób w sposób standardowy: należy
przyjąć pomocniczą płaszczyznę



rzutującą, na przykład pionowo-rzutującą,

przechodzącą przez prostą b. Jej ślad pionowy v



będzie się jednoczył z rzutem

pionowym

b’ prostej b (rys.21).

x

A''

B''

C''

C'

B'

A'

b''

b'

v



h



X



Rys.21

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Następnie należy wyznaczyć krawędź k przecięcia płaszczyzny pomocniczej



z

płaszczyzną trójkąta. Krawędź ta w rzucie pionowym przechodzić będzie przez
pomocnicze punkty

1’’ i 2’’ przecięcia śladu v



z bokami

A’’B’’ oraz B’’C’’. Rzuty te

odniesione do rzutni poziomej wyznaczają rzuty poziome odpowiednio 1’ i 2’ punktów
rzutu

k’ krawędzi (rys.22).

x

A''

B''

C''

C'

B'

A'

b''

b'

v



h



X



1''

2''

1'

2'

k''

k'

Rys.22

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Punkt przebicia P prostej b

i płaszczyzny



wyznaczony jest bezpośrednio w rzucie

poziomym przez punkt przecięcia rzutu k’ krawędzi oraz rzut b’ prostej b. Rzut
pionowy tego punktu znaleziony zostanie na prostej odnoszącej od P’ do rzutu b’’
(rys.23).

x

A''

B''

C''

C'

B'

A'

b''

b'

v



h



X



1''

2''

1'

2'

k''

k'

P'

P''

Rys.23

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Aby określić widoczność prostej b względem płaszczyzny



należy rozpatrzyć

wybrany fragment przestrzeni. I tak np. w rzucie pionowym rzut boku

B’’C’’ przecina

się z rzutem pionowym b’’ prostej - jest to punkt 2’’, który jednak w rzucie poziomym
okazuje się być niejednoznacznym. Oznaczenie 2’ dotyczy bowiem przynależności
do boku

B’C’, a nie do rzutu b’ prostej. Wprowadzić zatem należy kolejny punkt 3,

który w rzucie pionowym 3’’ jednoczy się z 2’’, natomiast w rzucie poziomym
zachowujący jednoznaczność. Ponieważ głębokość rzutu 3’ należącego do rzutu
prostej

b’ jest większa niż głębokość rzutu 2’, należącego do boku B’C’, zatem w

rzucie pionowym widoczność między punktem 2’’=3’’, a punktem przebicia,
zachowuje prosta

b’’ (rys.24).

x

A''

B''

C''

C'

B'

A'

b''

b'

v



h



X



1''

2''

1'

2'

k''

k'

P'

P''

=3''

3'

Rys.24

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Wprowadzając pomocnicze punkty 4 i 5 w swoich rzutach zauważyć można, że 4’ i 5’
jednoczą się w rzucie poziomym. Rzut pionowy jednak rozstrzyga, że 5’’ przynależny
do

b’’ ma większą wysokość niż 4’’ przynależny do A’’C’’ . Stąd w rzucie poziomym

widoczny jest odcinek prostej

b’ zawarty miedzy rzutami 4’=5’ a rzutem punktu

przebicia

P’ (rys.25).

x

A''

B''

C''

C'

B'

A'

b''

b'

v



h



X



1''

2''

1'

2'

k''

k'

P'

P''

=3''

3'

4'=5'

4''

5''

Rys.25

Projekt Podbeskidzka

Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Zadanie do wykonania

Dany jest trójkąt ABC, wyznaczający płaszczyznę



oraz trójkąt DEF, wyznaczający

płaszczyznę



. Wykreślić krawędź przecinania się płaszczyzn.

x

A'

B'

C'

D'

E'

F'

A''

C''

B''

D''

F''

E''

Bibliografia



Lewandowski Z.: Geometria Wykreślna. PWN, Warszawa 1987