1
=DGDQLHSROHJDMFHQDSRV]XNLZDQLXPDNV\PDOQHMOXEPLQLPDOQHMZDUWR FLIXQNFMLZLHOX
]PLHQQ\FKSU]\MHGQRF]HVQ\PVSHáQLHQLXSHZQHMLOR FLQDáR*RQ\FKZDUXQNyZ
–
UyZQDOXE
QLHUyZQR FLQRVLQD]Z ]DGDQLDRSW\PDOL]DF\MQHJROXE]DGDQLDSURJUDPRZDQLD
matematycznego.
=DGDQLHWRPR*QDVIRUPXáRZDüQDVW SXMFR
=QDOH(üHNVWUHPXPIXQNFMLZLHOX]PLHQQ\FK QD]\ZDQHMIXQNFMFHOX
)
)
,...
,
(
2
1
n
x
x
x
F
Z
=
VSHáQLDMFMHGQRF]H QLHRJUDQLF]HQLD
UyZQR FL
,
)
,...
,
(
2
1
i
n
i
b
x
x
x
f
=
i=1.2...m,
LQLHUyZQR FL
,
)
,...
,
(
2
1
j
n
j
b
x
x
x
f
≤
j=1.2...k.
Zmienne x
i
QD]\ZDQHV
zmiennymi decyzyjnymi ( lub projektowymi).
-H*HOLIXQNFMDFHOXLRJUDQLF]HQLDVIXQNFMDPLOLQLRZ\PLWRPyZLP\RSURJUDPRZDQLX
liniowym w przeciwnym przypadku mówimy o programowaniu nieliniowym.
Z
QDQ\FKMHVWZLHOHPHWRGUR]ZL]\ZDQLDW\FK]DJDGQLH6]F]HJyOQH]QDF]HQLHPDMPHWRG\
QXPHU\F]QHSR]ZDODMFHQD]QDOH]LHQLHSRV]XNLZDQHJRHNVWUHPXP]ZL NV]OXEPQLHMV]
GRNáDGQR FL
6]XNDQLHHNVWUHPXPIXQNFMLPR*QD]DZV]HSU]HGVWDZLüMDNRSUREOHPPL
nimalizacji.
3RV]XNLZDQLHPDNVLPXPPR*HP\]DVWSLüSRV]XNLZDQLHPPLQLPXPIXQNFMLSRPQR*RQHM
przez –1.
0LQLPDOL]DFMDIXQNFMLSU]\EUDNXRJUDQLF]H
:L NV]R üDOJRU\WPyZUR]ZL]XMF\FKSUREOHPPLQLPDOL]DFMLIXQNFMLWRDOJRU\WP\
iteracyjne.
:\PDJDMRQHRNUH OHQLDSXQNWXVWDUWRZHJR
x
o
DQDVW SQLHZNROHMQ\FKNURNDFK
LWHUDF\MQ\FKWZRU]\VL FLJUR]ZL]D
x
k
WDNLFK*HSXQNW
x
k+1
MHVWOHSV]\PSU]\EOL*HQLHP
UR]ZL]DQLDRSW\PDOQHJRZSRUyZQDQLX]UR]ZL]DQLHP
x
k
2]QDF]DWR*H]DFKRG]L
).
(
)
(
)
(
)
1
k
k
F
F
x
x
<
+
1DMF] FLHMVWRVRZDQHPHWRG\PLQLPDOL]DFMLSROHJDMQDSU]HV]XNLZDQLXSU]HVWU]HQL
]PLHQQ\FKSURMHNWRZDQLDZ]GáX*SHZQ\FKSURVW\FK]ZDQ\FKNLHUXQNDPLSRV]XNLZD
1RZHSU]\EOL*HQLHSRV]XNLZDQHJRSXQNWXUR]ZL]DQLDRWU]\P\ZDQHMHVW]JRGQLH]
]DOH*QR FL
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
k
k
k
k
k
x
s
x
x
α
+
=
+
gdzie: wektor s
R]QDF]DNLHUXQHNSRV]XNLZD]D
α
ZLHONR üNURNXZW\PNLHUXQNX
2F]\ZL FLHNLHUXQHN
s
PXVLZ\]QDF]DüNLHUXQHN]PQLHMV]DQLDVL IXQNFMLFHOXZSU]HVWU]HQL
projektowania.
-H*HOLIXQNFMDFHOXMHVWUy*QLF]NRZDOQDZDUXQHNWHQPR*QD]DSLVDüZSRVWDFL
,
0
)
(
)
(
)
(
<
∇
k
k
F x
s
2
.D*G\]LWHUDF\MQ\FKNURNyZ]DZLHUDGZDHWDS\:SLHUZV]\P]RVWDMHZ\]QDF]RQ\NLHUXQHN
SRV]XNLZD
)
(k
s
w punkcie
)
(k
x
]D ZHWDSLHGUXJLPRNUH ODVL ZLHONR üNURNX
)
(k
α
na
SRGVWDZLHNWyUHJRZ\]QDF]DVL QRZ\SXQNW
)
1
(
+
k
x
:LHONR üNURNXPR*HE\üSU]\M WD
DUELWUDOQLHOXEWH*MHVWZ\]QDF]RQDQDGURG]HPLQLPDOL]DFMLIXQNFMLZ]GáX*NLHUXQNX
SRV]XNLZD
)
(k
s
:SURZDG(P\IXQNFM SDUDPHWUX
α
)
(
)
(
)
(
)
(
k
k
s
x
F
α
α
+
=
Φ
2SW\PDOQDGáXJR üNURNXWRWDNDGODNWyUHMVSHáQLRQ\MHVWZDUXQHN
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
α
α
α
α
Φ
=
+
=
+
n
i
m
nF
i
m
F
k
k
k
s
x
x
=DWHPZND*G\PNURNXLWHUDF\MQ\PPHWRGDZ\PDJDUR]ZL]DQLDUyZQDQLD
0
=
Φ
α
d
d
.
àDWZRPR*QDZ\ND]Dü*HSU]\UyZQDQLHGR]HUDSRFKRGQHMIXQNFML
Φ
po parametrze
α
jest
UyZQRZD*QHUyZQDQLX
,
0
)
(
)
1
(
)
(
=
∇
+
k
k
F x
s
FRR]QDF]D*HZSXQNFLH
x
k+1
wektor wzrostu
)
(
)
1
(
+
∇
k
F x
MHVWSURVWRSDGá\GRNLHUXQNXSRV]XNLZD
Oznaczmy gradient funkcji celu przez wektor q
3RQL*HMSU]HGVWDZLRQDMHVWLOXVWUDFMD
]EOL*DQLDVL GRPLQLPXPIXQNFMLFHOXPHWRGQDMV]\EV]HJRVSDGNX.U]\ZHSU]HGVWDZLDM
warstwice funkcji celu .
-q
k
x
k+1
-q
k+1
x
k
s
k
3RGVWDZRZPHWRGSRV]XNLZDQLDPLQLPXPIXQNFMLEH]RJUDQLF]HMHVWPHWRGD
QDMV]\EV]HJRVSDGNXZNWyUHM]DNLHUXQHNSRV]XNLZDSU]\MPXMHVL XMHPQ\ZHNWRU
gradientu minimalizowanej funkcji.
),
(
)
(
)
(
k
k
F x
s
−∇
=
-HVWRF]\ZLVWH*HNROHMQHNLHUXQNLSRV]XNLZDZPHWRG]LHQDMZL NV]HJRVSDGNXVGRVLHELH
pro
VWRSDGáH*HQHURZDQHZF]DVLHSU]HELHJXDOJRU\WPXNLHUXQNLSRV]XNLZDPDMFKDUDNWHU
Ä]\J]DNRZDW\´FRVWDQRZLSRGVWDZRZZDG WHMPHWRG\,QQH]QDQHPHWRG\ 1HZWRQD
JUDGLHQWXVSU] *RQHJRLWS ZUy*Q\VSRVyEOLNZLGRZDá\W ZDG ]PQLHMV]DMFV]\ENR ü
zb
LH*QR FL
3
Minimalizacja funkcji z ograniczeniami
:Z\SDGNXZ\VW SRZDQLDRJUDQLF]HZSRVWDFLQLHUyZQR FLLUyZQDNWyUHPDMDVSHáQLDü
zmienne projektowe ( zmienne decyzyjne) mamy odczynienia z zadaniem optymalizacji z
ograniczeniami.
Obszar w
SU]HVWU]HQL]PLHQQ\FKSURMHNWRZ\FKMHVWRJUDQLF]RQ\SU]H]SáDV]F]\]Q\ Z
Z\SDGNXRJUDQLF]HOLQLRZ\FK OXESRZLHU]FKQLH ZZ\SDGNXRJUDQLF]HQLHOLQLRZ\FK
:\]QDF]HQLHPLQLPXP]]DJDGQLHQLXZRSW\PDOL]DFML]RJUDQLF]HQLDPLPR*QD
SU]HSURZDG]LüQDZLHOHVSRVREyZ2JUDQLF]P\VL GRRSLVDQLDWU]HFK
1. Pierwszym sposobem jest sprowadzenie problemu z ograniczeniami do problemu bez
RJUDQLF]HSU]H]WUDQVIRUPDFMH]PLHQQ\FKQLH]DOH*Q\FK GHF\]\MQ\FKSURMHNWRZ\FK
Metoda ta jest zwykle stosowana tylko do przypadkó
ZJG\]PLHQQHQLH]DOH*QHV
RJUDQLF]RQH]JyU\L]GRáXSU]H]VWDáHZDUWR FLOLF]ERZH
3U]\NáDGRZRMH*HOLRJUDQLF]HQLHPDSRVWDü
i
i
i
p
x
l
≤
≤
to po wprowadzeniu nowych zmiennych
_
x :
.
sin
)
(
_
2
i
i
i
i
i
x
l
p
l
x
−
+
=
otrzymamy zagadnienie optymalizacji funkcji celu dla zmiennych
_
x
EH]RJUDQLF]H
2.
'UXJLPVSRVREHPMHVWPRG\ILNDFMDIXQNFMLFHOXSU]H]ZSURZDG]HQLHGRQLHMZ\UD*HQLD
UHSUH]HQWXMFHJRNDU ]SU]HNURF]HQLHRJUDQLF]H1DVW SQLHGRWDN]PLHQLRQHMIXQ
kcji
VWRVXMHP\MHGQ]PHWRGSRV]XNLZDQLDHNVWUHPXPEH]RJUDQLF]H0R*QDZ\ND]Dü*H
FLJUR]ZL]D]DJDGQLHQLDEH]RJUDQLF]HGODFLJXÄFRUD]PRFQLHMV]\FK´IXQNFMLNDU\
MHVW]ELH*Q\GRUR]ZL]DQLD]DJDGQLHQLDRSW\PDOL]DFML]RJUDQLF]HQLDPL
Ilustrac
MD]DVDG\WZRU]HQLDFLJX]HZQ WU]Q\FKIXQNFMLNDU\
3.
7U]HFLPVSRVREHPMHVWPRG\ILNDFMDNLHUXQNXSRV]XNLZDZRWRF]HQLXRJUDQLF]HEG(
SU]H]JHQHURZDQLHNLHUXQNXGRSXV]F]DOQHJRDQDVW SQLHSRV]XNLZDZREV]DU]H
GRSXV]F]DOQ\PZ]GáX*WHJRNLHUXQNXEG(WH*
przez rzutowanie kierunku gradientu na
SRZLHU]FKQL VW\F]QGRRJUDQLF]H
,VWQLHMRF]\ZL FLHLQQHPHWRG\SRV]XNLZDQLDHNVWUHPXPWXQLHZ\PLHQLRQH
Xo- Obszar
rozwi
]D
dopuszczalnych
b
o
(x)
b
1
(x)
b
2
(x)
x
b(x)
4
3U]\NáDGSURJUDPRZDQLDOLQLRZHJR
3U]HSURZDG]LP\RSW\PDOL]DFM ]\VNXGOD]DNáDGXSURGXNXMFHJRGZDW\S\Sá
yt
SRGáRJRZ\FK
2E\GZDW\S\Z\PDJDM]X*\FLDMHGQDNRZHMLOR FLGRVW SQ\FKEH]RJUDQLF]HWDNLFK
surowców jak woda piasek, cement.
7\S,MHVWEDUZQ\LSRWU]HEQDMHVWSHZQDLOR üEDUZQLNDQDMHJRZ\SURGXNRZDQLH
=DNáDGSURGXNF\MQ\PDRJUDQLF]RQLOR üEDUZQLNDUyZQOGRVW SQLOR üF]DVXSUDF\
PDV]\QZ\QRV]FJRG]LQLF]DVXSUDF\OXG]LRNUH ORQQDJRG]LQ\
:LDGRPR*HZ\SURGXNRZDQLHWRQ\Sá\WW\SX, NRORURZ\FK Z\PDJD
2 godzin pracy maszyn , 3 godzin pracy ludzkiej i 2 litrów barwnika.
Wyp
URGXNRZDQLHWRQ\Sá\WW\SX,,Z\PDJDQDWRPLDVW
1 godzin pracy maszyn i 3 godzin pracy ludzkiej.
=\VNQDWRQLHSá\WW\SX,Z\QRVL]áDQDWRQLHSá\WW\SX,,]á
,QWHUHVXMHQDV]DSODQRZDQLHSURGXNFMLPDNV\PDOL]XMFH]\VN
produkt
VNáDGQLNL
Sá\W\W\S,
x
1
Sá\W\W\S,,
x
2
ZLHONR FLGRVW SQH
maszyny
2
1
10
praca ludzka
3
3
24
barwnik
2
0
8
zysk
3
2
6IRUPXáXMP\SUREOHPZSRVWDFLPDWHPDW\F]QHM =QDOH(üPDNVLPXPIXQNFML OLQLRZHM
2
1
2
3
x
x
Z
+
=
przy ograniczeniach :
,
0
,
0
2
1
≥
≥
x
x
10
2
2
1
≤
+
x
x
24
3
3
2
1
≤
+
x
x
8
2
1
≤
x
REV]DUUR]ZL]D
dopuszczalnych
x1
x2
5
/LQLHSU]HU\ZDQHWRZDUVWZLFHIXQNFML]\VNXRGSRZLHGQLRRSR]LRPLH]\VNXL]á
3URVWDQDMGDOHMRGOHJáDRGSRF]WNXXNáDGXZVSyáU] GQ\FKSU]HGVWDZLDMFDZDUVWZLF IXQNFML
]\VNX= 3URVWDWDVW\NDVL W\ONRZMHGQ\PSXQNFLH]REV]DUHPUR]ZL]D
GRSXV]F]DOQ\FK-HVWWRSXQNWRZVSyáU] GQ\FK[ L[ 2]QDF]DWR*HRWU]\PDOL P\
JUDILF]QHUR]ZL]DQLH]DGDQLDRSW\PDOL]DFML
5R]ZL]DQLH
produkt
sk
áDGQLNL
Sá\W\W\S,
x1=2
Sá\W\W\S,,
x2=6
ZLHONR FL
GRVW SQH
ZLHONR FL
wykorzystane
maszyny
2*2=4
1*6=6
10
10
praca ludzka
3*2=6
3*6=18
24
24
barwnik
2*2=4
0
8
4
zysk
3*2=6
2*6=12
18
.RORUHPF]HUZRQ\PZ\Uy*QLRQRRJUDQLF]HQLDDNW\ZQH
:HNWRUSURVWRSDGá\GROLQLLZDUVWZLFMHVWZHNWRUHPQDMV]\EV]HJRZ]URVWXIXQNFMLFHOX
Jest on równy gradientowi funkcji celu.
],
2
,
3
[
]
/
,
/
[
2
1
=
∂
∂
∂
∂
=
∇
x
F
x
F
F
3U]HGVWDZP\SRQRZQLHUR]ZL]DQLHPHWRGWHJR]DGDQLDW\PUD]HPPHWRG
PRG\ILNDFMLNLHUXQNXSRV]XNLZDZRWRF]HQLXRJUDQLF]H
.
$OJRU\WPGRFKRG]HQLDGRUR]ZL]DQLDMHVWQDVW SXMF\
x2
x1
6
1.
:\ELHUDP\GRZROQHZDUWR FL]PLHQQ\FKVSHáQLDMF\FKZDUXQNLRJUDQLF]DMF:
LQWHUSUHWDFMLJUDILF]QHMR]QDF]DWR*HZ\ELHUDP\SHZLHQVWDUWRZ\SXQNWOH*F\Z
REV]DU]HUR]ZL]D
dopuszczalnych.
2.
6]XNDP\QDVW SQLHOHSV]HJRUR]ZL]DQLD/HSV]HUR]ZL]DQLHE G]LHOH*DáRZNLHUXQNX
najszybszego wzrostu funkcji celu. Kierunek najszybszego wzrostu funkcji celu wyznacza
wektor gradientu. W przypadku
liniowej
funkcji celu ( wykres jej je
VWSáDV]F]\]Q
QDVW SQ\SXQNWZSU]HVWU]HQL]PLHQQ\FKGDMF\QDMZL NV]ZDUWR üIXQNFMLFHOXE G]LH
VL ]QDMGRZDáPR*OLZLHQDMGDOHMRGVWDUWRZHJRDOHQLHGDOHMQL*SR]ZROQDWR
ograniczenia.
3.
.ROHMQ\SXQNWE G]LHSRV]XNLZDQ\Z]GáX*JUDQLF\REV]DUXUR]ZL]DGRSXV]F]DOQ\FKZ
kierunku wzrostu funkcji celu.
2SLVPHWRG\UR]ZL]DQLD]DGDQLD
10
2
2
1
≤
+
x
x
24
3
3
2
1
≤
+
x
x
8
2
1
≤
x
3U]\MPLMP\SXQNWVWDUWRZ\OH*F\Z]ELRU]HUR]ZL]DGRSXV]F]DOQ\FK
QS$RZVSyáU] G
nych 3, 0
{ } { }
0
,
3
=
0
x
wektor gradientu funkcji celu wynosi:
{
} { }
2
,
3
)
(
=
x
gradF
Szukamy nowego punktu w kierunku najszybszego wzrostu funkcji celu.
:VSyáU] GQHQRZHJRSXQNWXZ\QRV]
{ }
+
=
2
3
0
3
λ
1
x
7
gdzie:
λ
oznacza nieznany parametr .
1RZ\SXQNWPXVLOH*HüZ]ELRU]HUR]ZL]DGRSXV]F]DOQ\FKFRR]QDF]D*HVSHáQLRQHPXV]
E\üZV]\VWNLHQLHUyZQR FLRJUDQLF]DMFH
3RGVWDZLDMFNROHMQRZVSyáU] GQHQRZHJRSXQNW\GRQLHUyZQR FLRJUDQLF]DMF\FK
RWU]\PDP\Uy*QHZDUWR FLRJUDQLF]DMFHS
arametr
λ
.
{
}
≤
8
24
10
,
0
2
3
3
1
2
2
1
x
x
1
≤
λ
,
2
1
≤
λ
3
1
≤
λ
'ODQDMPQLHMV]HMZDUWR FLSDUDPHWUX
λ
QRZ\SXQNWOH*\QDEU]HJX]ELRUXUR]ZL]D
GRSXV]F]DOQ\FK-HVWWRSXQNW%RZVSyáU] GQ\FK 3R]RVWDá\PGZyPRJUDQLF]HQLRP
SDUDPHWUXRGSRZLDGDMSXQNW\&L'OH*FHQDSRZLHU]FKQLDFKRJUDQLF]HDNWXDOQLHQLH
aktywnych.
1DVW SQ\PNURNLHPMHVWZ\]QDF]HQLHQRZHJRNLHUXQNXSRV]XNLZD1RZ\NLHUXQHN
Z\ELHUDP\]HZV]\VWNLFKNLHUXQNyZOH*F\FKQDDNW\ZQ\PRJUD
niczeniu ( w naszym
SU]\NáDG]LHQDSURVWHMRUyZQDQLX[
1
L]DSHZQLDMF\FKQDMV]\EV]\Z]URVW1DMV]\EV]\
Z]URVW]DSHZQLNLHUXQHNNWyUHJRZHNWRUDRQDMZL NV]\PLORF]\QLHVNDODUQ\P]ZHNWRUHP
gradientu funkcji celu.
0R*HP\UR]SDWU]\üGZDZHNWRU\OH*FHQD
prostej x
1
=8
{ } { }
1
,
0
1
=
r
{ } { }
1
,
0
2
−
=
r
LORF]\Q\VNDODUQHZ\QRV]RGSRZLHGQLR
{
}
{ }
2
1
0
2
,
3
1
0
)
(
=
=
x
gradF
i
{
}
{ }
2
1
0
2
,
3
1
0
)
(
−
=
−
=
x
gradF
:áD FLZ\PNLHUXQNLHPMHVWZL FZHNWRU
{ } { }
1
,
0
1
=
r
'DOHMZ\]QDF]DP\GáXJR üNURNXRNUH ODMF
parametr
λ
podobnie jak poprzednio.
1RZHSRáR*HQLHSXQNWXRNUH ODUyZQDQLH
{ }
+
=
1
0
3
2
4
2
λ
x
:VSyáU] GQHSXQNWXSRGVWDZLDP\GRRJUDQLF]HLZ\]QDF]DP\SDUDPHWU
λ
.
Otrzymujemy
λ
= 10/3 dla ograniczenia 3x
1
+3x
2
=24
i
λ
= 4/3 dla ograniczenia 2x
1
+x
2
=10.
0QLHMV]DZDUWR üSDUDPHWUXGDMHSXQNW&OH*F\Z]ELRU]HUR]ZL]DGRSXV]F]DOQ\FK
:NROHMQ\PNURNXSRV]XNXMHP\NLHUXQNXOH*FHJRQDQRZ\PRJUDQLF]HQLXDNW\ZQ\P
2x
1
+x
2
=10.
3RVW SXMFDQDORJLF]QLHMDNSRSU]HGQLRGRFKRG]LP\GRSXQNWX*
.D*G\ZHNWRUMHGQRVWNRZ\Z\VWDZLRQ\ZSXQNFLH*QLHOH*F\QD]HZQWU]]ELRUX
UR]ZL]DGRSXV]F]DOQ\FKSRPQR*RQ\VNDODUQLH]JUDGLHQWHPIXQNFMLFHOXGDMHZDUWR ü
XMHPQ2]QDF]DWRND*GHSU]HVXQL FLHZREV]DU]HGRSXV]F]DOQ\PZ\ZRáD]PQLHMV]HQLH
ZDUWR FLIXQNFMLFHOX3XQNW*MHVWZLHFUR]ZL]DQLHP]DGDQLDPDNV\PDOL]DFML]
ograniczeniami.
8
Zadanie 1
:\NRU]\VWXMFDSOLNDFM ([FHOUR]ZL*SUREOHPRSW\PDOL]DFML
Wyznacz minimum funkcji celu danej równaniem :
przy ograniczeniach:
6SRVyEUR]ZL]DQLD
Otwórz arkusz Excel
Zapisz w odpowiednich komórkach:
A
B
C
D
1
Z=
=B2^2-B2+B3^2-0.5*B3
2
x1
0
3
x2
1
4
g1
=B2+B3-1
0
5
g2
=-B2
0
6
g3
=-B3
0
7
:NRPyUNDFK%L%ZSLVDQRSXQNW\VWDUWRZH0RJE\üGRZROQHDOHPXV]QDOH*HüGR
]ELRUXUR]ZL]DGRSXV
zczalny
W komórce B1 jest zapisana funkcja celu.
:NRPyUNDFK%%%]DSLVDQHVOHZHVWURQ\QLHUyZQR FLRJUDQLF]DMF\FK
:NRPyUNDFK&&&]DSLVDQHVVWURQ\SUDZH
=PHQX1DU] G]LDZ\ELHU]6ROYHU
Wybierz zadanie minimum
ZVND*NROHMQRX*\ZDM
c lewego klawisza myszy :
NRPyUN ]IXQNFMFHOX
komórki ze zmiennymi ( pozwól niech program je sam odgadnie)
GRGDMNROHMQRRJUDQLF]HQLD ZVND]XMFRGSRZLHGQLHNRPyUNL
1DFL QLM5R]ZL*
:\ELHU]5DSRUWZ\QLNyZLZFL QLM2.
Przeanalizuj wyniki, obejrzyj Raport wyników
:\NRQDMV]NLF ZXNáDG]LHZVSyáU] GQ\FK[[QDU\VXMRJUDQLF]HQLDLSXQNW
UR]ZL]XMFH]DGDQLH
,
2
)
(
min
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
f
−
+
−
=
,
0
1
)
(
g
2
1
1
≤
−
+
=
x
x
x
,
0
)
(
g
1
2
≤
−
=
x
x
.
0
)
(
g
2
3
≤
−
=
x
x
9
Zadanie 2
:\NRU]\VWXMFDSOLNDFM ([FHOUR]ZL*SUREOHPRSW\PDOL]DFML
Wyznacz minimum funkcji celu danej równaniem :
przy ograniczeniach:
Zadanie 3
:\NRU]\VWXMFDSOLNDFM ([FHOUR]ZL*SUREOHPRSW\PDOL]DFML
Wyznacz minimum funkcji celu danej równaniem :
przy ograniczeniach:
Zadanie 4
:\NRU]\VWXMFSU]\NáDGRZH]DGDQLHSURJUDPRZDQLDOLQLRZHJRRSLVDQHQL*HMRNUH OIXQNFM
celu i
ZDUXQNLRJUDQLF]DMFHDQDVW SQLHUR]ZL*X*\ZDMFDSOLNDFML([FHO]DGDQLDSRGREQH
GRSU]\NáDGRZHJRRGDQ\FK]DSLVDQ\FKZWU]HFK
tabelach
pod rysunkiem.
]DGDQLHSU]\NáDGRZH
3U]HSURZDG]LP\RSW\PDOL]DFM ]\VNXGOD]DNáDGXSURGXNXMFHJRGZDW\S\Sá\WSRGáRJ
owych.
2E\GZDW\S\Z\PDJDM]X*\FLDMHGQDNRZHMLOR FLGRVW SQ\FKEH]RJUDQLF]HWDNLFKVXURZFyZMDNZRGDSLDVHNFHPHQW
7\S,MHVWEDUZQ\LSRWU]HEQDMHVWSHZQDLOR üEDUZQLNDQDMHJRZ\SURGXNRZDQLH
=DNáDGSURGXNF\MQ\PDRJUDQLF]RQLOR üEDUZQLNDUyZQOGRVW SQLOR üF]DVXSUDF\PDV]\QZ\QRV]FJRG]LQL
F]DVXSUDF\OXG]LRNUH ORQQDJRG]LQ\
:LDGRPR*HZ\SURGXNRZDQLHWRQ\Sá\WW\SX, NRORURZ\FK Z\PDJD
2 godzin pracy maszyn , 3 godzin pracy ludzkiej i 2 litrów barwnika.
Wyprodukowan
LHWRQ\Sá\WW\SX,,Z\PDJDQDWRPLDVW
1 godzin pracy maszyn i 3 godzin pracy ludzkiej.
=\VNQDWRQLHSá\WW\SX,Z\QRVL]áDQDWRQLHSá\WW\SX,,]á
,QWHUHVXMHQDV]DSODQRZDQLHSURGXNFMLPDNV\PDOL]XMFH]\VN
produkt
VNáDGQLNL
Sá\W\W\S,
x
1
Sá\W\W\S,,
x
2
ZLHONR FLGRVW SQH
maszyny
2
1
10
praca ludzka
3
3
24
barwnik
2
0
8
zysk
3
2
6IRUPXáXMP\SUREOHPZSRVWDFLPDWHPDW\F]QHM =QDOH (üPDNVLPXPIXQNFML OLQLRZHM
2
1
2
3
x
x
Z
+
=
,
2
3
)
(
min
2
1
x
x
x
f
−
−
=
,
0
3
2
)
(
g
2
1
1
≤
−
+
=
x
x
x
,
0
2
)
(
g
2
1
2
≤
−
+
=
x
x
x
.
0
)
(
g
1
3
≤
−
=
x
x
.
0
)
(
g
2
4
≤
−
=
x
x
,
0
)
(
g
2
2
1
1
≤
−
=
x
x
x
,
0
2
)
(
g
2
1
2
≤
−
+
=
x
x
x
,
)
1
(
)
2
(
)
(
min
2
2
2
1
−
+
−
=
x
x
x
f
10
przy ograniczeniach :
,
0
,
0
2
1
≥
≥
x
x
10
2
2
1
≤
+
x
x
24
3
3
2
1
≤
+
x
x
8
2
1
≤
x
produkt
VNáDGQLNL
Sá\W\W\S,
x
1
Sá\W\W\S,,
x
2
ZLHONR FLGRVW SQH
maszyny
2
1
10
praca ludzka
3
3
24
barwnik
2
0
8
zysk
3
2
produkt
VNáDGQLNL
Sá\W\W\S,
x
1
Sá\W\W\S,,
x
2
ZLHONR FLGRVW SQH
maszyny
2
2
10
praca ludzka
3
3
24
barwnik
2
0
8
zysk
3
2
produkt
VNáDGQLNL
Sá\W\W\S,
x
1
Sá\W\W\S,,
x
2
ZLHONR FLGRVW SQH
maszyny
2
1
10
praca ludzka
4
3
24
barwnik
2
0
8
zysk
3
2
REV]DUUR]ZL]D
dopuszczalnych
x1
x2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Optymalizacja 2 id 338903 Nieznany
optymalizacja 4 id 338905 Nieznany
Optymalizacja w2 pdf id 338946 Nieznany
Optymalizacja w1 pdf id 338945 Nieznany
Optymalizacja w4 pdf id 338947 Nieznany
Optymalizacja w2 pdf id 338946 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
interbase id 92028 Nieznany
Mbaku id 289860 Nieznany
Probiotyki antybiotyki id 66316 Nieznany
miedziowanie cz 2 id 113259 Nieznany
LTC1729 id 273494 Nieznany
D11B7AOver0400 id 130434 Nieznany
analiza ryzyka bio id 61320 Nieznany
więcej podobnych podstron