TEMAT 8 UBEZPIECZENIA NA śYCIE
Przykład 1: (dane fikcyjne) Osoba ubezpieczająca się jest w wieku x = 80 lat.
Zakładamy, \
e z tablic trwania \
ycia wynika, i\
:
q80+k = 0,6 + 0,02 k (k = 20 Ò! q100 = 1 Ò! p100 = 0).
Oblicz dla tej osoby:
a) prawdopodobieństwo śmierci w ciągu najbli\
szego roku
q80+k = 0,6 + 0,02 k Ò! q80 = q80+0 = 0,6 + 0,02Å"0 = 0,6
b) prawdopodobieństwo do\
ycia 81 urodzin
p80 =1- q80 =1- 0,6 = 0,4
c) prawdopodobieństwo do\
ycia 83 urodzin
p80 = p80 Å" p81 Å" p82 = (1- q80)(1- q81)(1- q82) =
3
= (1- 0,6)(1- 0,6 - 0,02Å"1)(1- 0,6 - 0,02Å" 2) = 0,4 Å" 0,38Å" 0,36 = 0,05472
d) prawdopodobieństwo śmierci przed ukończeniem 83 lat
q80 =1-3p80 =1- 0,05472 = 0,95582
3
e) prawdopodobieństwo śmierci w wieku 83 lat
P{K(80) = 3}]=3p80 Å" q83 = 0,05472 Å"(0,6 + 0,02 Å"3) =0,03612
Przykład 2: Oblicz JSN w bezterminowym ubezpieczeniu na \
ycie osoby w
wieku 80 lat, jeśli SU = 10 tys. zł oraz i = 5%, a q80+k = 0,6 + 0,02 k (k = 20
Ò! q100 = 1 Ò! p100 = 0).
" 20
Ax = A80 =
"½k+1Å" p80 Å"q80+k = "½k+1Å" p80 Å"q80+k =
k k
k=0 k=0
= vÅ"0 p80 Å"q80+0 + v2Å"1p80 Å"q80+1 + v3Å"2 p80 Å"q80+2 + ... + v21Å"20 p80 Å"q80+20 =
1 1 1 1
= Å"1Å" q80 + Å" p80 Å" q81 + Å" p80 Å" p81 Å" q82 + ... + Å" p80 Å" p81 Å"...Å" p99 Å" q100
1+ i
(1+ i)2 (1+ i)3 (1+ i)21
i=5%, q80+k = 0,6 + 0,02 k , p80+k = 1- q80+k = 0,4 - 0,02 k Ò! A80 =0,924387
JSN =10000Å"0,9244 = 9243,87 zÅ‚
Mo\
na sprawdzić, \
e Var(Z1) = A80 5%(2+5%) - (A80 5%)2 = 0,0418 , czyli
Var(10000Z1) = 418 , a zatem dla ą =1 składka brutto będzie wynosić
P = 9243,87 + 418 = 9661,87 .