WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW
Wykład 2.
1. Liczba Poissona
2. Uogólnione prawo Hooke a
3. Zagadnienia statycznie
niewyznaczalne
4. Naprężenia własne
Prawo Hooke a
dla równomiernego jednokierunkowego
rozciÄ…gania
N
b)
( Ã )
L0
Ã
NL0
"l =
EF
" l Ä…
" l  wydłużenie pręta, L0  długość
N
( µ )
początkowa pręta
Ã
E  moduł sprężystości Younga
µ =
(stała materiałowa)
E
- wydłużenie względne
"l
µ =
(odkształcenie liniowe)
l
Liczba Poissona
(współczynnik odkształcalności poprzecznej)
"b
a)
y µpoprz =
b
" b
b Ãx
Ãx
.
x
"l
W pręcie rozciąganym: "l
l
µwzd =
à Ã
l
µ = , µ = -½
Ogólnie:
wzd poprz
E E
µ
poprz
½ = -
µwzd
PrzedziaÅ‚ zmiennoÅ›ci liczby Poissona: 0 d" ½ d" 0.5.
Uogólnione prawo Hooke a
z
z
Ãz
Ãy
x
y
Ãx
Ãx
x
Ãy
Ãz
y z
z
z
Ãz
Ãy
+
Ãx
Ãx
+
x
x
x
Ãy
Ãz
y
y
y
Uogólnione prawo Hooke a
Prawo Hooke a obowiÄ…zujÄ…ce dla stanu jednokierunkowego
ściskania lub rozciągania możemy rozszerzyć na
trójkierunkowy stan naprężeÅ„, gdzie Ãx , Ãy, Ãz sÄ… naprężeniami
normalnymi odpowiednio w kierunkach x,y, z.
1
µ = [Ã -½ (Ã +Ã )]
x x y z
E
1
µ = [Ã -½ (Ã +Ãx)]
y y z
E
1
µ = [Ã -½ (Ã +Ã )]
z z x y
E
Uogólnione prawo Hooke,a 
pÅ‚aski stan naprężenia  Ãz = 0
1
µ = [à -½Ã ]
x x y
E
1
µ = [à -½Ã ]
y y x
E
Odkształcenie w kierunku osi z:
½
µ = - [Ã +Ã ]
z x y
E
Zagadnienia statycznie
niewyznaczalne
S1 = S3
Równania równowagi:
Równanie ciągłości odkształceń:
S2 + 2S1 cos Ä… = P
"l1 = "l2
Trzy niewiadome - dwa równania 
cosÄ…
zagadnienie statycznie niewyznaczalne
Zagadnienia statycznie
niewyznaczalne
S1l S2l
= cos(Ä…) Ò! S1 = S2 cos2(Ä…)
cos(Ä…) EA EA
P cos2(Ä… )
P
S1 = S2 =
[1+ cos3(Ä…)] 1+ cos3(Ä… )
Naprężenia własne
Naprężenia własne
naprężenia
naprężenia cieplne
montażowe
Naprężenia cieplne - Obliczyć siłę
wewnętrzną w pręcie i naprężenia po
podgrzaniu.
Wydłużenie cieplne (o tyle wydłużyłby się pręt,, gdyby był
swobodny):
"lt = Ä… Å" l Å" "t
"t
Dane: E, Ä…, "t, l, D, d
Pręt nie może zmienić
długości:
ĆD
Ćd
"lca = "lt - "lm = 0 Ò! "lt = "lm
l/2
l/2
"lm = "l1 + "l2
NL Nl
"l1 = "l2 =
Nl Å" 4 Nl Å" 4 Ä„EÄ…"t
2EF1 2EF2
Ä…l"t = + Ò! N =
2
1 1
2EÄ„D2 2EÄ„d öÅ‚
2ëÅ‚ +
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ D2 d Å‚Å‚
N N
Ã1 = Ã =
2
F1 F2