Wykład 2
Przepływ cieczy w pompie wirowej
^/
Podstawy teoretyczne i kinematyka przepływu przez wirnik
Rys. 2.1. Powierzchnia prądu w wirnikach pomp wirowych: a) w pompach odśrodkowych, b) w pompach
helikoidalnych, c) w pompach diagonalnych, d) w pompach śmigłowych
^/Htiv<* rr n v., -f "m
Rys. 2.2. Schemat pompy odśrodkowej.
Rys. 2.3.. Schemat Rys. 2.4. Schemat Rys. 2.5. Schemat
1 - wirnik, 2 - osłona spiralna, 3 - przewód
pompy helikolidalnej pompy diagonalnej pompy śmigłowej
ssawny, 4 - przewód tłoczny, 3 - przednia
1 - wirnik, 2 - kadłub, 1 - wirnik, 2 - kadłub, __1 - wirnik, 2__osło-
tarcza wirnika, 6 - tylna tarcza wirnika,
3 - Å‚opatka wirnika, 3 - Å‚opatka wirnika, na spiralna, 3 - Å‚o-
5 - łopatka, 8 - dyfuzor, 9 - dławnica
4  wał pompy 4 - łopatka kierownicy patka spiralna
niskociśnieniowa, 10  dławnica
wysokociśnieniowa, 11 - wał pompy 5 - wał pompy 5 - wał pompy
Przepływ cieczy w pompie wirowej
Podstawy teoretyczne i kinematyka przepływu przez wirniki pomp wirowych.
W pompie wirowej występuje zjawisko ruchu okrężnego wymuszonego, zastosowanego do
przenoszenia energii z silnika napędzającego do podnoszonej cieczy za pośrednictwem łopatek
wirnika. Należy tu na wstępie zaznaczyć, iż w pompie wirowej występuje przepływ burzliwy,
co nam pozwoli na porównywanie przepływu dla cieczy doskonałej i rzeczywistej.
Przy przepływie przez pompę ciecz doznaje przyrostu energii tylko w obszarze wirnika. Po
opuszczeniu tego obszaru ciecz zachowuje stałą energię (pomijając miejscowe straty) we
wszystkich dalszych kanałach przepływowych i mogą jedynie występować kosztem
pozostałych energii przyrosty energii cząstkowych (zgodnie z prawem Bernoulliego dla układu
odosobnionego).
W niniejszym rozdziale zajmujemy się przepływem cieczy przez sam wirnik, przyjmując
na wstępie przepływ cieczy doskonałej.
Wyobraz
my sobie przepływ przez wirnik w najogólniejszej formie, jak to przedstawiono
na rys. 2.6. Ciecz wpływa w obręb wirnika z kierunku osiowego z prędkością c i wypływa w
kierunku odśrodkowym. Wirnik obraca się ze stałą prędkością kątową co powodując ruch
okrężny wymuszony cieczy (każdej cząsteczki) z prędkością unoszenia u.
Zakładamy, że przy przepływie burzliwym cieczy doskonałej prędkości cieczy w danym
przekroju są stałe i że cząsteczki cieczy poruszają się wzdłuż linii prądu leżących na
powierzchniach prądu wzajemnie do siebie równoległych. Załóżmy ponadto, że wirnik ma
nieskończenie wiele, nieskończenie cienkich i przystających do siebie łopatek, tak, iż każda
cząsteczka cieczy podlega oddziaływaniu wirnika. Przy takim założeniu wystąpi całkowita
symetria osiowa przepływu.
Wez
my pod uwagę przepływ jednej cząsteczki cieczy na powierzchni prądu n,
przedstawionej w ujęciu perspektywicznym na rys. 2.7.
Rys. 2.6. Przepływ cieczy przez wirnik pompy wirowej
PRZEPA
YW PA
YNU PRZEZ WIRNIKI ROBOCZYCH MASZYN WIROWYCH
Rys. 2.8. Ruch cieczy przy przepływie przez wirnik:
a) ruch obwodowy, b) ruch względny, c) ruch bez-względny
c - prędkość bezwzględna,
Zestawienie ważniejszych
f - strzałka profilu płata nośnego,
oznaczeń
nsf - bezwymiarowy wyróżnik szybkobieżności,
nsP - dynamiczny wyróżnik szybkobieżności,
nsQ - kinematyczny wyróżnik szybkobieżności,
s - grubość łopatki,
u - prędkość unoszenia (obwodowa),
w - prędkość względna,
Re - liczba Reynoldsa,
a - kąt nachylenia prędkości bezwzględnej do prędkości unoszenia
( obwodowej ),
b - kąt nachylenia prędkości względnej do prędkości (obwodowej),
d - kÄ…t natarcia,
e - kÄ…t odchylenia,
q - kąt środkowy łopatki,
l - gęstość palisady,
t - przelotowość palisady,
G - krążenie (cyrkulacja)
Założenia jednowymiarowej teorii maszyn wirowych
Wez
my pod uwagę wirnik maszyny wirowej (rys.2.9. ) o średnicy wlotowej d2 i średnicy wylotowej
d2 oraz o szerokości b1 na wlocie i szerokości b2 na wylocie. Linia A , A2 przedstawia linię
1
środkową kanału ograniczonego ścianami łopatek o zarysach B B2 i C C2 .
1 1
Rys. 2.9. Przepływ przez wirnik pompy odśrodkowej. A A2 - linia środkowa kanału międzyłopatkowego,
1
B1 B2 i C2 - zarysy Å‚opatek, Ä… = < ( c , u ), Ä… = < ( c , u ), ² = < ( w , - u ) - kÄ…t Å‚opatki
1 1 1 2 2 2 1 1 1
na wlocie, ² = < ( w , -u ) - kÄ…t Å‚opatki na wylocie, A A A2 - tor bezwzglÄ™dny czÄ…stki
2 2 2 1
Geometria przepływu przez wirnik
Rys. 2.10. Trójkąty prędkości: a) na wlocie, b) na wylocie z wirnika
( przepadek ogólny ).
Geometria przepływu przez wirnik
Rys.2.11. Trójkąty prędkości: a) na wlocie, b) na wylocie z wirnika
( pompa bez kierownicy przedwirnikowej ).
PODSTAWOWE RÓWNANIE ROBOCZYCH
MASZYN WIROWYCH
Założenia do wyprowadzenia podstawowego równania maszyn wirowych
- analizujemy przepływ cieczy idealnej "doskonałej" ( tj. nielepkiej i nieściśliwej ),
- przepływ cieczy przez wirnik pompy sprowadzamy do przepływu
jednowymiarowego,
- zachodzi osiowa symetria przepływu cieczy względem osi obrotu wirnika
( jest ona wynikiem założenia nieskończenie wielu przystających do siebie
nieskończenie cieńkich łopatek wirnika ),
- cała energia dostarczona na wał pompy bez strat zostaje przekazana cieczy
przepływającej przez przestrzenie międzyłopatkowe wirników.
Teoretyczna wysokość podnoszenia przy nieskończenie wielkiej liczbie
Å‚opatek wirnika.
Teoretyczną wysokość podnoszenia H th nazywamy wysokość, na którą pompa mogłaby podnosic ciecz,
gdyby przy przepływie nie występowały żadne opory hydrauliczne, a ruch pompy obywał by sie bez tarcia.
Przy przepływie cieczy doskonałej przez idealną pompę moc udzielona cieczy przez wirnik M w
powoduje powiększenie mocy zawartej w strumieniu cieczy o ciężarze właściwym g,o wydajności Q i
wysokości podnoszenia Hth .
M w = Q H th oo
M w
H = ----------
th oo
m g
gdzie: M - moment obrotowy [ Nm ],
w - prędkość kątowa [ s -1 ],
m - sekundowa masa cieczy przepływającej przez wirnik [ kg/s ],
g - przyspieszenie ziemskie [ m/s2 ],
Moment obrotowy wywierany przez łopatki wirnika równy jest całkowitej zmianie krętu
(momentu ilości ruchu) cieczy w obrębie wirnika (rys. 2.12. ).
M = M2 - M0
gdzie: M0  moment ilości ruchu sekundowej masy m (kg/s) cieczy o prędkości c0 (m/s) bezpośrednio
przed wlotem do wirnika i ramieniu l0 = r1 cosa0 [ m ] , [ kgms-2m ] = [ Nm ],
M2  moment ilości ruchu sekundowej masy m (kg/s) cieczy o prędkości c2 (m/s] bezpośrednio
przed wylotem z wirnika i ramieniu l2 = r2cosa2 [ m ] , [ kgms-2m ] = [ Nm ].
u2
Ponieważ
M0 = m c0 l 0 = m c0 r1 cosa0
M2 = m c2 l 2 = m c2 r2 cosa2
więc
M = m (r2c2cosa -r1c0cosa0 )
2
Rys. 2.12. Wyznaczanie krętu cieczy na wlocie i
wylocie z wirników pomp wirowych.
Po podstawieniu wartości M do w/w wzoru otrzymamy
(r2c2cos a - r c 0cos a ) É
2 1 0
Hthoo = -------------------------------------
g
Ze wzglÄ™du na to, że r2 É = u2 , r1 É = ut
oraz c0cosa = cu0 i c 2cos a = cu2
0 2
otrzymamy ostatecznie
1
H = ---- ( u2 cu2 - u1cu0 )
th oo
g
Wzór ten nosi nazwę równania podstawowego pomp wirowych lub równania
Leonarda Eulera (1707 1783).
Wykorzystując wzór cosinusów (twierdzenie Carnota)
2 2 2
w = u + c - 2u1c0cosa0
0 1 0
w22 = u22 + c22 - 2u2c2cosa2
Równanie Eulera można je sprowadzić do postaci:
lub
Rys. 2.14. Trójkąty prędkości bezpośrednio przed i za wlotem do wirnika i
bezpośrednio przed wylotem z wirnika pompy odśrodkowej
Jeżeli dopÅ‚yw cieczy do wirnika jest promieniowy a0 = 90° - ma to miejsce wówczas,
gdy przed wlotem do wirnika nie ma kierownicy wlotowej zmieniajÄ…cej kierunek
swobodnego dopływu cieczy - trójkąt prędkości na wlocie (rys. 2.13.) jest prostokątny, a
równanie podstawowe pomp przyjmie postać
Ponieważ cu2 = u2  wu2 więc również
Jeżeli wirnik obraca się przy zamkniętej zasuwie wbudowanej w przewód tłoczny, to wu2 = 0, zaś
teoretyczna wysokość podnoszenia
Przy przepływie cieczy przez wirnik pompy śmigłowej cząstki cieczy poruszają się po powierzchniach
cylindrycznych, więc u2 = u1, a wysokość teoretyczna podnoszenia wyraża się wzorem
Przy dopływie cieczy na wirnik bez wstępnego zawirowania cu0 = 0 i wu0 = u0 = u2, wówczas
a po podstawieniu cu2 = u2  wu2 otrzymamy równanie
identycznie z w/w równaniem dla pomp odśrodkowych.
W równaniu podstawowym pomp nie występuje gęstość płynu podnoszonego. Z tego wynika, że wysokość
podnoszenia pompy wyrażona w m słupa cieczy lub m słupa gazu nie zależy od rodzaju płynu podnoszonego.
Wobec tego równanie podstawowe dotyczy zarówno cieczy, jak i gazów, tj. płynów, czyli jest ważne nie tylko
dla pomp wirowych, lecz i dla wentylatorów.
Natomiast ciśnienie wytwarzane przez maszynę roboczą wirową jest zależne od ciężaru właściwego
g [ kG/m3 ] i przy nieskończonej liczbie łopatek wynosi
RZECZYWISTA WYSOKOŚĆ PODNOSZENIA
Rys.2.15. Rozkład prędkości w przestrzeni międzyłopatkowej wirnika:
a) przy przepływie jednowymiarowym,
b) z uwzględnieniem wpływu zawirowania.
Rys. 2.16. Wpływ sił bezwładności na względny ruch wirowy cieczy:
a) w zamkniętym naczyniu, b) w kanale międzyłopatkowym.
Wpływ zawirowania międzyłopatkowego na powstawanie
wtórnego przepływu
Przy przepływie cieczy rzeczywistej występuje tarcie cieczy o ścianki kanałów
międzyłopatkowych, powodujące istotne zmiany pola prądu. Przedstawiony na rys.
2.16b rozkład prędkości względnej jest słuszny tylko do pewnej odległości od wlotu
na łopatki. W dalszej części występuje przepływ wtórny, powodujący
przemieszczanie maksymalnych prędkości w od powierzchni biernej łopatki w
kierunku powierzchni czynnej (rys. 2.15b). Ponieważ w pobliżu ścian opory
przepływu cząsteczek cieczy są większe, niż wewnątrz strumienia, przypływ wtórny
w kierunku powierzchni czynnej łopatki występuje głównie wewnątrz strumienia (
przede wszystkim działa tu siła G. Coriolisa ), powodując powrotne przepływy w
pobliżu ścian, jak to przedstawiono na rys. 2.17.
V
Rys. 2.17. Dodatkowe zawirowanie w kanale międzyłopatkowym:
a) rzeczywisty rozkład prędkości względnej w kanale międzyłopatkowym,
b) przepływ wtórny występujący w przepływie międzyłopatkowym.
Stosunek
zatem
gdzie k - współczynnik obniżenia wysokości podnoszenia,
zwany również współczynnikiem ubytku mocy; k < 1.
Rys. 2.18. Trójkąty prędkości u wylotu z wirników o nieskończonej
i skończonej liczbie łopatek
Wirnik przenosząc moment obrotowy na ciecz powoduje, że występuje różnica ciśnień między
powierzchnią przednią i tylną łopatki. Rozkład prędkości jest odwrotny do rozkładu ciśnień;
prędkość po stronie przedniej łopatki, a więc stronie wywierającej napór jest mniejsza niż po
stronie tylnej.
Wartość współczynnika k można określić za pomocą przybliżonych wzorów, tablic (tabl. 3-2) lub
z wykresów
gdzie: p - poprawka C. Pfleiderera:
f ' - współczynnik doświadczalny zależny przede wszystkim od kąta b2 ; np. dla
wirników z łopatkami o pojedynczej krzywiz
nie dla
łopatek pomp śmigłowych (rr = r2),
r2 - odległość punktu A2 (przecięcia się linii prądowej z krawędzią wylotową łopatki)
od osi,
r1 - odległość punktu A1 (przecięcia się linii prądowej z krawędzią wlotową łopatki)
od osi,
z - liczba Å‚opatek,
Mst - moment statyczny średniej linii prądowej A A2 (rys. 2.20. i 2.21.) względem
1
osi obrotu.
Rys. 2.20. Schemat Rys. 2.21. Schemat
wirnika pompy o wirnika pompy
przepływie śmigłowej do
promieniowym do obliczenia momentu
obliczenia momentu statycznego środkowej
statycznego linii prÄ…du
środkowej linii prądu
Dla łopatek o przepływie promieniowym (rys. 2.20) dx = dr, a statyczny moment średniej
linii prądowej względem osi obrotu wynosi
zatem
Ponieważ
zatem
Tablica 2.1.
WARTOŚCI WSPÓA
CZYNNIKÓW f i k' W ZALEŻNOŚCI OD WARTOŚCI K
TA ²
2
15° < b < 30° 30° < b < 60° 60° < b2<90°
2 2
0,9 0,1 1,3
Z kierownicÄ…
Y
0,000126 0,000154 0,000182
(za wirnikiem)
k '
0,7 0,9 1,1
Bez kierownicy
Y
0,000098 0,000126 0,000154
(za wirnikiem)
k '
Postępując jak niżej można obliczyć współczynnik reakcyjności dla wirnika o skończonej
liczbie Å‚opatek
c
p = 1  =
2 u
wynika stąd, że p > p oo
Prędkości obwodowe wirników pomp wynoszą: wirników
żeliwnych u2 max = 30 35 m/s,
wirników z brązu u2 max = 50 m/s,
wirników ze staliwa chromowego u2 max = 90 m/s.
Rzeczywista (użyteczna) wysokość podnoszenia H maszyny roboczej wirowej jest mniej sza
od teoretycznej wysokości podnoszenia Hth z powodu strat tarcia cieczy względni gazu,
zachodzących przy przemianach energetycznych między króćcem ssawnym a tłocz nym.
Można ją obliczyć ze wzoru
gdzie hh - współczynnik sprawności hydraulicznej; hh = 0,65 - 0,96 w zależności od typu
pompy, jej wielkości, konstrukcji i staranności wykonania.
Rzeczywista wysokość podnoszenia pompy z kierownicą wlotową wynosi
Rzeczywista wysokość podnoszenia pompy bez kierownicy
wlotowej
Do w/w wzoru można wprowadzić tzw. wyróżnik wysokości podnoszenia
i otrzyma siÄ™
TEORETYCZNA I RZECZYWISTA WYDAJNOŚĆ
Teoretyczną wydajność wirnika Q o nieskończonej liczbie nieskończenie cienkich łopatek
oo
jeżeli nie ma kierownicy wlotowej ( a 1 = 90°), można wyrazić wzorami:
gdzie
Rzeczywista wydajność pompy Q o skończonej liczbie łopatek jest mniejsza od teoretycznej
wydajności wirnika Qoo , ponieważ występuje przewężenie przekroju przepływowego
spowodowane grubością łopatek, oraz zachodzą straty.
Rzeczywiste przekroje przepływowe (rys. 3-23, 3-24)
gdzie:
s1 , s2 - grubość łopatek u wlotu i wylotu wirnika,
b1 , b2 - szerokość przekroju przepływowego u wlotu i wylotu wirnika.
Straty objętościowe uwzględnia się przez wprowadzenie współczynika sprawności
objętościowej hv < 1 .
Rzeczywista wydajność pompy o skończonej liczbie łopatek wirnika wynosi więc
Znając wymiary wirnika i prędkość obrotową wału n ( gdyż c = u tgb1 = ( PD1n ) tgb )
1 1
można obliczyć wydajność rzeczywistą pompy Qr .
Z w/w wzórów można obliczyć składową meriadialną prędkości bezwzględnej cm2.