Projekcje (rzuty)
Sferyczna, stereograficzna,
cyklograficzna,...
Rzut sferyczny (projekcja sferyczna)
Kryształ zastępuje się zespołem płaszczyzn i
prostych równoległych do odpowiadających im
płaszczyzn i prostych krystalicznych w krysztale,
lecz przechodzÄ…cych przez jeden punkt.
Ten punkt to środek zespołu, a całość to zespół
krystaliczny. W zespole zachowane sÄ…
zależności między kątami.
Projekcja sferyczna bezpośrednia
Zespół umieszcza się w środku kuli o dowolnym
promieniu i przedłuża się proste i płaszczyzny aż do
przecięcia się z powierzchnią kuli. Powstałe na sferze
ślady przebicia są ich projekcjami.
Projekcją kierunku jest punkt, a płaszczyzny koło.
Projekcja sferyczna pośrednia
Jeżeli w zespole zastąpimy płaszczyzny prostymi do
nich prostopadłymi, a kierunki  płaszczyznami do nich
prostopadłymi, to otrzymamy projekcję sferyczną
pośrednią.
Projekcją kierunku jest koło, a płaszczyzny punkt.
Projekcja sferyczna
Punkty przecięcia
prostych ze sferÄ… 
bieguny (odpowiadajÄ…
płaszczyznom lub
kierunkom)
Projekcja stereograficzna i
cyklograficzna
Projekcja sferyczna daje wynik 3D, czyli trudny
do używania. Dlatego dalszym krokiem jest
wytworzenie płaskiego obrazu.
globus mapa
Projekcja stereograficzna i
cyklograficzna
W tym celu:
 sferę projekcji przecinamy poziomą płaszczyzną
(płaszczyzną projekcji) przechodzącą przez środek sfery.
Wielkie koło wewnątrz sfery to koło projekcji.
biegun punkty oczne
oÅ› projekcji
koło projekcji
Projekcja stereograficzna i
cyklograficzna
Następnie:
 A
ączymy biegun z punktem ocznym na przeciwległej półkuli.
Punkt przecięcia tej prostej z kołem projekcji jest projekcją.
Zasada rzutu stereograficznego
z
normalna
do ściany hkl
rzut
płaszczyzna
rzutowania
obserwator
Projekcja stereograficzna
N
P
Q
punkt oznacza siÄ™
punkt oznacza siÄ™
pełnym symbolem,
pustym symbolem,
S
jeśli rzutowany
jeśli rzutowany
biegun jest ponad
biegun jest poniżej
kołem projekcji
koła projekcji
Projekcja stereograficzna i
cyklograficzna
Projekcja cyklograficzna: jeżeli punktem wyjścia jest
projekcja sferyczna bezpośrednia;
Projekcja stereograficzna: jeżeli punktem wyjścia jest
projekcja sferyczna pośrednia;
Projekcja stereograficzna i
cyklograficzna
projekcja stereograficzna:
 obrazem kierunków są elipsy i koła;
 obrazem płaszczyzn są punkty;
projekcja cyklograficzna:
 obrazem kierunków są punkty;
 obrazem płaszczyzn są elipsy i koła.
Przykład: projekcja stereograficzna
ścian sześcianu
Sześcian orientujemy tak, że
oÅ› c jest skierowana pionowo
w gorÄ™, w stronÄ™ punktu
ocznego N.
Przykład: projekcja stereograficzna
ścian sześcianu
Punkty i linie na
zewnętrznej
sferze to projekcja
sferyczna
PÅ‚aszczyzny =
punkty (bieguny)
Przykład: projekcja stereograficzna
ścian sześcianu
Szara
powierzchnia =
płaszczyzna
projekcji
Fig 6.5 of Klein (2002)
Manual of Mineral Science,
John Wiley and Sons
Przykład: projekcja stereograficzna
ścian sześcianu
C
°
B
B
°
° °
A
C
°
A
Przykład: projekcja stereograficzna
ścian sześcianu
Przykład: projekcja
cyklograficzna ścian
sześcianu
Do czego służy ta zabawa:
Do graficznego opisywania kątów między
ścianami, kierunkami itd.
Kąt między płaszczyznami w krysztale = kąt
między kierunkami prostopadłymi do płaszczyzn.
Obie projekcje zachowuje kÄ…ty.
Jak odczytać kąty z projekcji
stereograficznej?
KÄ…t (biegunowy) Á - kÄ…t miÄ™dzy
osiÄ… c i biegunem
odpowiadającym płaszczyz
nie
krystalicznej, mierzony w dół od
bieguna północnego.
Kąt Ć  kąt mierzony na
płaszczyz
nie poziomej, od osi b
(zerowego południka) w kierunku
wskazówek zegara.
Jak odczytać kąty z projekcji
stereograficznej?
przykład:
 kÄ…ty Á i Ć pÅ‚aszczyzny (111)
w krysztale o strukturze
regularnej
Jak odczytać kąty z projekcji
stereograficznej?
D i E  projekcja sferyczna
D' i E'  projekcja
stereograficzna
OdlegÅ‚ość GD' = f(Á) gdy
Á 90 D G
gdy Á 0 D O
Fig 6.6 of Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons
Jak odczytać kąty z projekcji
stereograficznej?
O
Á
x
Ściśle
mówiąc:
Á/2
Á
x
= tg
R
2
Jak odczytać kąty z projekcji
stereograficznej?
Zatem, 2-D
odległości od środka
płaszczyzny projekcji
i kÄ…ty sÄ… ze sobÄ…
zwiÄ…zane.
Fig 6.5 of Klein (2002)
Manual of Mineral Science,
John Wiley and Sons
Jak odczytać kąty z projekcji
stereograficznej?
Np. małe koła (gdy
środek koła leży na osi
projekcji):
 Tym samym kÄ…tom Á
odpowiadają okręgi o
różnym promieniu
Jak odczytać kąty z projekcji
stereograficznej?
Np. małe koła (gdy
środek koła nie leży na
osi projekcji);
 Obrazem jest koło, ale
środkiem koła nie jest
obraz osi stożka.
Jak odczytać kąty z projekcji
stereograficznej?
Np. wielkie koła
 Obrazem wielkiego koła w płaszczyz
nie równikowej
jest koło ograniczające płaszczyznę rzutu;
 Obrazem wielkiego koła pionowego jest linia prosta
Jak odczytać kąty z projekcji
stereograficznej?
Wielkie koła
 Obrazem wielkich kół
nachylonych pod kÄ…tem do
płaszczyzny równikowej są
krzywe (wycinki kół);
Jak odczytać kąty z projekcji
stereograficznej?
W praktyce do prezentacji rzutu stereograficznego
stosuje się siatkę  południków i  równoleżników
zwaną siatką Wulfa, mającą następujące cechy:
Oś z przebija siatkę w środku koła
Ściany równoległe do osi z - pas (hk0) stanowi
wielkie koło projekcji
Dodatni biegun osi x znajduje się pod płaszczyzną
projekcji
pas osi x
oÅ› y
oÅ› z
oÅ› x
pas osi
y
Koło równikowe
= płaszczyzna
pozioma
Proste linie = pionowe
płaszczyzny
40 0
20 60 60 20
0 80
80 40
Á
Wielkie koła =
nachylone
płaszczyzny
Siatka Wulfa
Á
Õ
Znajdowanie kątów między
płaszczyznami
Aby znalez
ć kąt między
płaszczyznami w krysztale
trzeba:
 zrobić rzut stereograficzny
kryształu;
 sprowadzić bieguny
odpowiednich płaszczyzn na
ten sam południk lub
równoleżnik (przez obrót);