Rachunek różniczkowy
funkcji jednej zmiennej
Definicja. Zał. że f : a,b , x0 "(a,b). Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0
( )
f (x)- f (x0 ).
nazywamy odwzorowanie Õ : a,b \ x0 okreÅ›lone równaniem Õ(x) =
( ) { }
x - x0
f (x)- f (x0 ) f (x0 + h)- f (x0 )
2
f (x0 ) = lim Õ(x) = lim = lim nazywamy pochodnÄ… f w punkcie x0 ;
xx0 xx0
x - x0 h0 h
f (x)- f (x0 ) f (x0 + h)- f (x0 )
(x0 ) = lim = lim nazywamy pochodnÄ… lewostronnÄ… w punkcie x0 ;
f-2
-
xx0
x - x0 h0- h
f (x)- f (x0 ) f (x0 + h)- f (x0 ) nazywamy pochodnÄ… prawostronnÄ… w punkcie x0 .
2
f+(x0 ) = lim = lim
+
xx0
x - x0 h0+ h
2
Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna x0 , gdy f (x)istnieje i jest skończona.
Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna na (a,b), gdy " f jest różniczkowalna w x0 .
x"(a,b)
Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna na a,b , gdy f jest różniczkowalna w x0 "(a,b) oraz
[ ]
pochodne jednostronne w punktach a,b istnieją i są skończone.
Definicja. Zał. że f : a,b jest różniczkowalna. Funkcję, która każdemu punktowi x "(a,b)
( )
2
przyporzÄ…dkowuje f (x) nazywamy pochodnÄ… funkcji f .
2
Mówimy, że f : a,b jest pochodną, jeśli istnieje F : a,b taka, że " f (x) = F (x).
( ) ( )
x"(a,b)
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f : a,b jest różniczkowalna w x0 "(a,b), to f jest ciągła w x0 .
( )
Twierdzenie. Jeżeli f , g : a,b są różniczkowalne w x0 "(a,b). Wtedy:
( )
2 2 2
(1) h = f + g jest funkcją różniczkowalną w x0 i h (x0 ) = f (x0 )+ g (x0 );
2 2 2
(2) h = f - g jest funkcją różniczkowalną w x0 i h (x0 ) = f (x0 )- g (x0 );
2 2 2
(3) h = f Å" g jest funkcjÄ… różniczkowalnÄ… w x0 i h (x0 ) = f (x0 )Å" g(x0 )+ f (x0 )Å" g (x0 );
2 2
f f (x0 )Å" g(x0 )- f (x0 )Å" g (x0 ).
2
(4) h = i g(x0 ) `" 0 jest funkcją różniczkowalną w x0 i h (x0 ) =
2
g
(g(x0 ))
2
Twierdzenie. Funkcja f : a,b jest różniczkowalna w x0 i f (x) = c Ô! istnieje Õ : a,b
( ) ( )
taka, że Õ(x0 ) = 0 i Õ jest ciÄ…gÅ‚a w x0 oraz " f x = f x0 + c x - x0 +Õ x x - x0 .
( ) ( ) ( ) ( )( )
x" a,b
( )
Twierdzenie. ZaÅ‚. że f : a,b , x0 "(a,b), f (a,b) ‚" (c,d), g : c,d , f jest
( ) ( )
różniczkowalna w x0 , a g w f x0 . Wtedy h = g f jest różniczkowalna w x0 oraz
( )
2 2 2
h x0 = f x0 Å" g f x0 .
( ) ( ) ( )
( )
Twierdzenie. Zał. że f : a,b jest różnowartościowa, ciągła i różniczkowalna w x0 "(a,b),
( )
-1
-1 -1
2
f (x0 ) `" 0 . Wtedy f jest różniczkowalna w y0 = f (x0 ) oraz (f (y0 ))2 = ( f (x0 )) .
1
Definicja. Zał. że f : A , x0 " A. Wtedy:
(1) funkcja f posiada maksimum lokalne w x0 , gdy ´" " f (x)d" f (x0 );
>0 x"A)"(x0 -´ ,x0 +´ )
(2) funkcja f ma Å›cisÅ‚e maksimum lokalne w x0 , gdy ´" " f (x)< f (x0 );
>0 x"A)"(x0 -´ ,x0 +´ )\{x0}
(3) funkcja f posiada minimum lokalne w x0 , gdy ´" " f (x)e" f (x0 );
>0 x"A)"(x0 -´ ,x0 +´ )
(4) funkcja f ma Å›cisÅ‚e maksimum lokalne w x0 , gdy ´" " f (x) > f (x0 ).
>0 x"A)"(x0 -´ ,x0 +´ )\{x0}
Twierdzenie. Zał. że f : a,b jest różniczkowalna na (a,b). Wtedy, jeżeli f przyjmuje
[ ]
2
ekstremum lokalne w x0 "(a,b), to f (x0 ) = 0 .
Twierdzenie Rolle a. Zał. że f : a,b jest ciągła i różniczkowalna na (a,b) oraz f (a) = f (b).
[ ]
2
Wtedy " f (x0 ) = 0 .
x0"(a,b)
Twierdzenie Lagrange a. Zał. że f : a,b jest ciągła i różniczkowalna na (a,b). Wtedy
[ ]
2
" f (c)(b - a) = f (b)- f (a).
c"(a,b)
Twierdzenie Cauchy ego. Zał. że f , g : a,b są ciągłe i różniczkowalne na (a,b). Wtedy
[ ]
2 2
" ( f (b)- f (a))g (c) = (g(b)- g(a))f (c).
c"(a,b)
Twierdzenie. Zał. że f : a,b jest ciągła i różniczkowalna na (a,b). Wtedy:
[ ]
2
(1) f jest niemalejÄ…ca na (a,b) Ô! " f (c) e" 0 ;
c"(a.b)
2
(2) f jest rosnÄ…ca na a,b , gdy " f c > 0 ;
( ) ( )
c" a.b
( )
2
(3) f jest nierosnÄ…ca na (a,b) Ô! " f (c)d" 0 ;
c"(a.b)
2
(4) f jest malejÄ…ca na a,b , gdy " f c < 0 .
( ) ( )
c" a.b
( )
2
Twierdzenie. Jeżeli f : a,b jest różniczkowalna, to f ma własność Darobux, tzn.
( )
2
" " " f (x) = y .
2 2
x1,x2"(a,b) y"( f (x1), f (x2 )) x"(x1,x2 )
Reguła d Hospitala. Zał. że - " d" a < b d" +" , f , g : a,b są różniczkowalne na (a,b) oraz
( )
2
symbol f x
îÅ‚ Å‚Å‚ ( ) f (x)
2
" g (x) `" 0 . Jeżeli lim f x == lim g x oraz lim = A" , to lim = A .
( ) ( )
ïÅ‚nieozn.śł
x"(a,b) xa xa xa xa
2
g x g(x)
( )
ðÅ‚ ûÅ‚
Twierdzenie. Zał. że ( fn ) jest ciągiem funkcji różniczkowalnych, fn : a,b , f : a,b
[ ] [ ]
n
2 2
oraz fn f . Jeżeli " fn jest funkcją ciągłą oraz ( fn ) jest jednostajnie zbieżny do g : a,b ,
[ ]
n
n"
ëÅ‚öÅ‚
2 2 ÷Å‚
to f jest różniczkowalna oraz " f x = g xìÅ‚ = lim fn .
( ) ( )
(lim fn)2
x" a,b n" n"
[ ]
íÅ‚Å‚Å‚
2
n
2
Wniosek. Zał. że fn : a,b jest różniczkowalna fn : a,b są ciągłe oraz s n = fn x ,
[ ] [ ] ( ) ( )
"
n=1
"
2 2
fn zbiega jednostajnie do u : a,b , to s jest różniczkowalna oraz " s x = u x ,
[ ] ( ) ( )
"
x" a,b
n=1
2
" "
ëÅ‚
2
ìÅ‚ fn(x)öÅ‚ = fn(x).
÷Å‚
" "
íÅ‚ n=1 Å‚Å‚ n=1
" "
Twierdzenie. Szeregi xn , xn-1 mają ten sam promień zbieżności r , oraz
"an "nan
n=0 n=1
2
" "
ëÅ‚ öÅ‚
" ìÅ‚ xn ÷Å‚ = xn-1 .
"an "nan
x"(-r,r)
íÅ‚ n=0 Å‚Å‚ n=1
2
Definicja. Zał. że f : a,b jest różniczkowalna w x0 . Jeżeli f posiada pochodną w x0 , to
( )
pochodną tę nazywamy pochodną drugiego rzędu w x0 i oznaczamy
2 2
f (x)- f (x0 ). Mówimy, że funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na
2 2 2
f (x0 ) = ( f (x0 ))2 = lim
xx0
x - x0
2 2
(a,b), gdy " f (x) istnieje i jest skończona.
x"(a,b)
Zał. że f : a,b , n" oraz f jest n-krotnie różniczkowalna na a,b , x0 " a,b . Jeżeli
( ) ( ) ( )
(n)
istnieje pochodna funkcji f w x0 , to pochodną tę nazywamy pochodną (n +1) rzędu w x0 , oraz
(n+1) (n)
f (x0 ) = (f (x0 ))2 .
n (n)
Definicja. Mówimy, że funkcja f : a,b jest klasy C na (a,b), jeżeli f jest określona i
( )
ciągła na (a,b).
" n
Mówimy, że funkcja f : a,b jest klasy C (jest  gładka ) na (a,b), gdy " f jest klasy C .
( )
n"
n n
Twierdzenie Leibniza. Jeżeli f , g : a,b sÄ… funkcjami klasy C , to f + g, f Å" g " C oraz
( )
n
n
n
n) n
(n) (n)
( f + g)( (x) = f (x)+ g (x), f Å" g x =
( )( ) ( ) ( ) ( )
"ëÅ‚ öÅ‚ f ( ) x Å" g(n) x .
ìÅ‚i ÷Å‚
i=0
íÅ‚ Å‚Å‚
Twierdzenie Taylora. ZaÅ‚. że f : ² jest klasy Cn+1 . Wtedy
(Ä…,
)
(n) (n+1)
2 2 2
f (a) f (a)(b - a) +& + f (a)(b - a) + f (c)(b - a) .
2 n n+1
" " f (b) = f (a)+ (b - a)+
a,b"(Ä… ,² ) c"(a,b)
1! 2! n! (n +1)!
Definicja. Ustalmy a "(Ä…, ² ). Wtedy
nn+1
( ) ( )
2 f a f c
f (a) ( ) ( )
nn+1
" " f x = f a + x
( ) ( ) ( - a +& + x
) ( - a + x
)n +1 ! ( - a .
)
x" ,² c" a,x
(Ä… ) ( )
1! n!
( )




Pn x
( )
Rn x,a
( )
Rn(x, a)
Rn to n-ta reszta Taylora w postaci Lagrange a. Wtedy lim = 0 .
n
xa
(x - a)
3
Jeżeli we wzorze Taylora podstawimy a = 0 to otrzymamy wzór MacLaurina
(n)
2 2
f (0) f
2
f (x) = f (0)+ f (0)x + x2 + & + xn + Rn(x,0).
2! n!
(n) (n)
Twierdzenie. Jeżeli f , g : ² "Cn+1 oraz f (a) = & = f (a) = 0 = g(a) = & = g (a) i
(Ä…,
)
n+1
( )
f x f a
( ) ( )
(n+1)
g (a) `" 0 , to lim = .
xa
g x
( ) g(n+1) a
( )
(n)
f (x0 )(x - x0 ) +&
n
2
Definicja. Zał. że f : a,b "C", x0 " a,b . f (x0 )+ f (x0 )(x - x0 )+ & +
( ) ( )
n!
nazywamy szeregiem Taylora (dla funkcji f względem środka x0 ).
i
( )
"
f x0
( )
Twierdzenie. Jeżeli lim Rn x, x0 = 0 , to f x = x
( ) ( ) ( - x0 i .
)
"
n"
i!
i=0
Definicja. Zał. że f : a,b "C", 0" a,b . Mówimy, że f jest funkcją analityczną, gdy f jest
( ) ( )
równa sumie swojego szeregu MacLaurina.
n
( )
Twierdzenie. Jeżeli f : a,b "C", 0, x " a,b oraz " " " f t d" M , to f jest funkcją
( ) ( ) ( )
M >0 t" 0,x n"
( )
analitycznÄ….
Twierdzenie. Jeżeli f rozwija się w szereg MacLaurina, to istnieje tylko jedno takie rozwinięcie.
2
Twierdzenie. Jeżeli f : a,b jest różniczkowalna na (a,b) oraz x0 "(a,b) i f zmienia znak
( )
przechodzÄ…c przez x0 , to f posiada ekstremum lokalne w x0 .
Definicja. Zał. że f : a,b "C2, x0 " a,b . Mówimy, że f ma punkt przegięcia w x0 , gdy "
( ) ( )
´ >0
taka, że:
(1) na przedziale (x0 - ´ , x0 ) f leży nad stycznÄ… do wykresu f w punkcie x0
2
(g(x) = f (x0 )+ f (x0 )(x - x0 )), a na przedziale (x0 , x0 + ´ ) f leży pod g ;
(2) albo zachodzi sytuacja odwrotna.
n-1
( )
2
Twierdzenie. Zał. że f : a,b "Cn, x0 " a,b oraz f x0 = & = f x0 = 0 . Wtedy:
( ) ( ) ( ) ( )
(n)
(1) jeżeli n = 2k i f (x0 ) < 0 , to f posiada maksimum lokalne w x0 ;
(n)
(2) jeżeli n = 2k i f (x0 ) > 0 , to f posiada minimum lokalne w x0 ;
2
(3) jeżeli n = 2k +1 i f (x0 ) dowolna, to f posiada punkt przegięcia w x0 .
Twierdzenie. Zał. że f : a,b "C2, c " a,b . Wtedy:
( ) ( )
2 2
(1) jeżeli f (c) > 0 , to krzywa y = f (x) jest dla pewnego otoczenia punktu c położona powyżej
stycznej do tej krzywej w punkcie (c, f (c)) (a więc skierowana wypukłością w dół);
2 2
(2) jeżeli f (c) < 0 , to krzywa y = f (x) jest dla pewnego otoczenia punktu c położona poniżej
stycznej do tej krzywej w punkcie (c, f (c)) (a więc skierowana wypukłością w górę).
4