MO

Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH

ZADANIE 2

1

Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH

PŁASKICH - ZADANIE 2

Z3/2.1. Zadanie 2

Wyznaczyć metodą Rittera siły normalne w prętach numer 2, 6 i 15 kratownicy przedstawionej na

rysunku Z3/2.1. Pręty pasa górnego z lewej i prawej strony tej kratownicy leżą na jednej prostej.

30,0 kN

18,0 kN

17,0 kN

6,0

6,0

6,0

6,0

3,

0

[m]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1

2

4

6

8

10

3

5

7

9

2,

0

Rys. Z3/2.1. Kratownica płaska

Z3/2.2. Analiza kinematyczna kratownicy płaskiej

Kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z3/2.1 składa się z 10 węzłów, 17 prętów kratownicy.

Podpory odbierają ponadto trzy stopnie swobody. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności będzie
miał więc postać

2

⋅

10

=

17



3

.

(Z3/2.1)

Jak więc widać kratownica płaska na rysunku Z3/2.1 spełnia warunek konieczny geometrycznej
niezmienności. Może ona być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Kratownica na rysunku Z3/2.1 zbudowana jest z trójkątów, może więc stanowić tarczę sztywną.

Rysunek Z3/2.2 przedstawia tą tarczę sztywną wraz z prętami podporowymi.

3

2

1

I

Rys. Z3/2.2. Zastępcza tarcza sztywna

Tarcza sztywna numer I jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Posiada ona trzy stopnie

swobody, które odbierają jej trzy pręty podporowe. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej
niezmienności.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH

ZADANIE 2

2

Kierunki prętów podporowych numer 1, 2 i 3 nie przecinają się w jednym punkcie. Został tym samym

spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Tarcza sztywna numer I jest więc
geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna. Także więc i kratownica płaska będzie układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z3/2.3. Wyznaczenie reakcji podporowych

Rysunek Z3/2.3 przedstawia założone zwroty reakcji podporowych na podporze przegubowo-

nieprzesuwnej i przegubowo-przesuwnej.

30,0 kN

18,0 kN

17,0 kN

6,0

6,0

6,0

6,0

3,

0

[m]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1

2

4

6

8

10

3

5

7

9

2,

0

H

1

V

1

V

9

Rys. Z3/2.3. Założone zwroty reakcji podporowych

Reakcję poziomą H

1

wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na kratownicę

płaską na oś poziomą X. Wynosi ona

 X =H

1

−18,0=0

H

1

=18,0 kN

.

(Z3/2.2)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Reakcję pionową V

1

wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na

kratownicę płaską względem punktu 9. Wynosi ona

 M

9

=V

1

⋅4⋅6,0−30,0⋅3⋅6,0−17,0⋅6,0−18,0⋅2,0=0

V

1

=28,25 kN

.

(Z3/2.3)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Reakcję pionową V

9

wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na

kratownicę płaską względem punktu 1. Wynosi ona

 M

1

=−V

9

⋅4⋅6,030,0⋅6,017,0⋅3⋅6,0−18,0⋅2,0=0

V

9

=18,75 kN

.

(Z3/2.4)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH

ZADANIE 2

3

W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił działających na

kratownicę płaską na oś pionową Y. Wynosi ona

 Y =V

1

V

9

−30,0−17,0=28,2518,75−30,0−17,0=0

.

(Z3/2.5)

Pionowe reakcje V

1

oraz V

9

zostały więc wyznaczone poprawnie. Rysunek Z3/2.4 przedstawia prawidłowe

wartości i zwroty reakcji podporowych.

30,0 kN

18,0 kN

17,0 kN

6,0

6,0

6,0

6,0

3,

0

[m]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1

2

4

6

8

10

3

5

7

9

2,

0

18,0 kN

28,25 kN

18,75 kN

Rys. Z3/2.4. Kratownica płaska w równowadze

Z3/2.4. Wyznaczenie sił normalnych metodą Rittera

Aby wyznaczyć siły normalne w prętach numer 2, 6 i 15 należy wykonać przekrój A-A przedstawiony

na rysunku Z3/2.5.

30,0 kN

18,0 kN

17,0 kN

6,0

6,0

6,0

6,0

3,

0

[m]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1

2

4

6

8

10

3

5

7

9

2,

0

18,0 kN

28,25 kN

18,75 kN

A

A

Rys. Z3/2.5. Przekrój A-A

Do obliczeń sił normalnych w prętach numer 2, 6 i 15 będziemy rozpatrywali równowagę lewej części

kratownicy płaskiej. Siły działające na tę część kratownicy płaskiej przedstawia rysunek Z3/2.6.

Punktem Rittera dla pręta numer 2 jest węzeł numer 6. Siłę normalną w tym pręcie wyznaczymy z

równania sumy momentów wszystkich sił działających na lewą część kratownicy płaskiej względem tego
punktu. Równanie to ma postać

 M

6

=−N

2

⋅3,028,25⋅2⋅6,0−30,0⋅6,0−18,0⋅3,0=0

.

(Z3/2.6)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH

ZADANIE 2

4

30,0 kN

6,0

3,

0

[m]

1

2

5

6

9

10

14

15

1

2

4

6

3

18,0 kN

28,25 kN

6,0

2,

0

N

2

N

15

N

6

Rys. Z3/2.6. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej w przekroju A-A

Siła normalna w pręcie numer 2 wynosi więc

N

2

=35,0 kN

.

(Z3/2.7)

Pręt ten jest więc rozciągany.

30,0 kN

6,0

3,

0

[m]

1

2

5

6

9

10

14

15

1

2

4

6

3

18,0 kN

28,25 kN

6,0

2,

5

2,

0

N

2

N

15

N

6

α

0,08305

⋅N

6

0,9965

⋅N

6

Rys. Z3/2.7. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej w przekroju A-A

Punktem Rittera dla pręta numer 6 jest węzeł numer 3. Przedstawia go rysunek Z3/2.7. Długość

słupka numer 10 wynosi 2,5 metra, ponieważ jego koniec w węźle numer 4 znajduje się w środku odcinka
łączącego węzły numer 2 i 6. Ze względu na to, że pręt numer 6 jest prętem pochyłym najwygodniej będzie
nam rozłożyć siłę normalną w tym pręcie na dwie siły składowe. Funkcje kąta nachylenia tego pręta
wynoszą

sin







=

3,0

−

2,5



0,5

2



6,0

2

=

0,08305

,

(Z3/2.8)

cos







=

6,0



0,5

2

6,0

2

=0,9965

.

(Z3/2.9)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH

ZADANIE 2

5

Pozioma siła składowa siły normalnej w pręcie numer 6 wynosi więc

N

6X

=

0,9965

⋅

N

6

.

(Z3/2.10)

Pionowa siła składowa siły normalnej w pręcie numer 6 wynosi więc

N

6Y

=0,08305⋅N

6

.

(Z3/2.11)

Zwroty sił składowych siły normalnej w pręcie numer 6 przedstawia rysunek Z3/2.7. Obie siły składowe są
przyłożone w węźle numer 4.

Siłę normalną w pręcie numer 6 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił

działających na lewą część kratownicy płaskiej względem węzła 3. Równanie to ma postać

 M

3

=0,9965⋅N

6

⋅2,528,25⋅6,0=0

.

(Z3/2.12)

Siła normalna w pręcie numer 6 wynosi więc

N

6

=−68,04 kN

.

(Z3/2.13)

Pręt ten jest więc ściskany.

Rys. Z3/2.8. Położenie punktu Rittera dla pręta numer 15

Rysunek Z3/2.8 przedstawia położenie punktu Rittera dla pręta numer 15, który znajduje się w

miejscu przecięcia się kierunków prętów numer 2 i 6. Korzystając z twierdzenia Talesa otrzymamy

62'
22'

=

21

1K

(Z3/2.14)

czyli otrzymamy

3,0

−

2,0

2

⋅

6,0

=

2,0

x

.

(Z3/2.15)

Ostatecznie odległość punktu K od węzła numer 1 wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

6,0

[m]

1

2

4

6

3

5

2,

0

3,

0

6,0

2'

2,

0

x

K

MO

Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH

ZADANIE 2

6

30,0 kN

6,0

3,

0

[m]

1

2

5

6

9

10

14

15

1

2

4

6

3

18,0 kN

28,25 kN

6,0

2,

5

2,

0

N

2

N

15

N

6

β

5

Rys. Z3/2.9. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej

30,0 kN

6,0

[m]

1

2

5

6

9

10

14

15

1

2

4

3

18,0 kN

28,25 kN

2,

0

N

2

N

15

N

6

β

24,0

K

0,4472

⋅N

15

0,8944

⋅N

15

Rys. Z3/2.10. Siły działające na lewą część kratownicy płaskiej

x

=

24,0 m

.

(Z3/2.16)

Rysunek Z3/2.9 przedstawia wszystkie siły działające na odciętą lewą część kratownicy płaskiej.

Funkcje kąta nachylenia pręta numer 15 do poziomu wynoszą

sin







=

3,0



3,0

2

6,0

2

=0,4472

,

(Z3/2.17)

cos







=

6,0



3,0

2

6,0

2

=0,8944

.

(Z3/2.18)

Pozioma siła składowa siły normalnej w pręcie numer 15 wynosi więc

N

15X

=0,8944⋅N

15

.

(Z3/2.19)

Pionowa siła składowa siły normalnej w pręcie numer 15 wynosi więc

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z3/2. WYZNACZANIE SIŁ NORMALNYCH W KRATOWNICACH PŁASKICH

ZADANIE 2

7

N

15Y

=0,4472⋅N

15

.

(Z3/2.20)

Zwroty sił składowych siły normalnej w pręcie numer 15 przedstawia rysunek Z3/2.9. Obie siły składowe
przyłożone są w węźle numer 3.

Siłę normalną w pręcie numer 15 wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił

działających na lewą część kratownicy płaskiej względem punktu K. Równanie to ma postać

 M

K

=−0,4472⋅N

15

⋅



24,0

6,0



30,0⋅



24,0

6,0



−28,25⋅24,0=0

.

(Z3/2.21)

Siła normalna w pręcie numer 15 wynosi więc

N

15

=16,55 kN

.

(Z3/2.22)

Pręt ten jest więc rozciągany.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni