Kolokwium nr 1 z „Rachunku prawdopodobieństwa i Statystyki”; kierunek Informatyka; 30.11.2012

Zestaw A

Zad. 1. W czasie spotkania, na którym było 8 par małżeńskich (w sumie 16 osób) wybrano losowo 3 mężczyzn i 3 kobiety.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wybranych osób: a) nie będzie męża i żony, b) będzie dokładnie jedno
małżeństwo, c) będą dokładnie dwa małżeństwa, d) znajdą się najstarsza z kobiet i najstarszy z mężczyzn.

Zad. 2. Z kwadratu

2

,

0

2

,

0



wybrano losowo punkt o współrzędnych

 

y

x,

. Wyznaczyć p-stwo

 





1

,

min



y

x

P

.

Zad. 3. Pewien wyrób jest produkowany przez trzy fabryki. Wiadomo, że stosunek ilościowy produkcji poszczególnych
fabryk wynosi, odpowiednio, 1:2:2 oraz, że pierwsza fabryka produkuje 90%, druga 80%, a trzecia 70% wyrobów
pierwszego gatunku. Wybrano losowo jeden wyrób spośród partii wyrobów pochodzących ze wspomnianych fabryk.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że: a) losowo wzięty wyrób jest wyrobem pierwszego gatunku, b) wylosowany wyrób
został wyprodukowany w drugiej z fabryk, jeśli wiadomo, że okazał się on wyrobem pierwszego gatunku.

Zad. 4. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

 





























tym.

poza

,

0

,

6

4

gdy

,

6

1

,

4

0

gdy

,

12

x

x

x

x

x

f

Wyznaczyć: a) dystrybuantę zm. los. X ,

b)





5

4,

X

P



, c) p-stwo, że w 3 niezależnych doświadczeniach co najmniej raz X przyjmie wartość z przedziału

5

4,

.

Zad. 5. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o średniej



2 i odchyleniu standardowym 3. Wyznaczyć:

a)





5

,

2

5







X

P

, b)





6

2





X

P

, c) wartość oczekiwaną zm. los.

20

10





X

Y

, d) wariancję zm. los.

20

10





X

Y

.

Zad. 6. Wiadomo, że

 

1

,

0

~ N

X

. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej

X

Y

2



.

____________________________________________________________________________________________

Kolokwium nr 1 z „Rachunku prawdopodobieństwa i Statystyki”; kierunek Informatyka; 30.11.2012

Zestaw B

Zad. 1. W czasie spotkania, na którym było 7 par małżeńskich (w sumie 14 osób) wybrano losowo 3 mężczyzn i 3 kobiety.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wybranych osób: a) nie będzie męża i żony, b) będzie dokładnie jedno
małżeństwo, c) będą dokładnie dwa małżeństwa, d) znajdą się najstarsza z kobiet i najstarszy z mężczyzn.

Zad. 2. Z kwadratu

4

,

0

4

,

0



wybrano losowo punkt o współrzędnych

 

y

x,

. Wyznaczyć p-stwo

 





2

,

max



y

x

P

.

Zad. 3. Mamy do dyspozycji trzy urny z kulami koloru białego i czarnego. W pierwszej jest 6 kul białych i 4 czarne, w drugiej
2 białe i 8 czarnych, a w trzeciej 5 białych i 5 czarnych. Postępujemy następująco: rzucamy symetryczną, sześcienną kostką
do gry i: jeśli wypadną mniej niż 3 oczka, to losujemy jedną kulę z urny pierwszej, jeśli 3 oczka, to losujemy jedną kulę
z urny drugiej, w pozostałych przypadkach losujemy jedną kulę z urny trzeciej. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) wylosowana kula jest biała, b) wylosowana kula pochodzi z urny trzeciej, jeśli wiadomo, że okazała się ona kulą białą.

Zad. 4. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

 





























tym.

poza

,

0

,

6

2

gdy

,

12

2

1

,

2

0

gdy

,

6

x

x

x

x

x

f

Wyznaczyć: a) dystrybuantę zm. los. X ,

b)





4

2,

X

P



, c) p-stwo, że w 4 niezależnych doświadczeniach co najmniej raz X przyjmie wartość z przedziału

4

2,

.

Zad. 5. Zmienna losowa X ma rozkład normalny o średniej



4 i odchyleniu standardowym 5. Wyznaczyć:

a)





5

,

1

14









X

P

, b)





15

4





X

P

, c) wartość oczekiwaną zm. los.

8

2





X

Y

, d) wariancję zm. los.

8

2





X

Y

.

Zad. 6. Wiadomo, że

 

1

,

0

~ N

X

. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej

X

Y

3



.