 | Pobierz cały dokument lista zadan 2015 id 270224 Nieznany .pdf Rozmiar 267,5 KB |
Analiza matematyczna 2
Lista zadań
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Lista 1
1. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
(a)
∞
Z
1
dx
x
2
+ x
;
(b)
∞
Z
1
√
x dx
x + 1
;
(c)
∞
Z
π
x sin x dx;
(d)
∞
Z
0
arc ctg x dx;
(e)
∞
Z
−∞
dx
x
2
−4x + 13
;
(f)
∞
Z
−∞
xe
−x
dx.
2. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
(a)
∞
Z
4
dx
x (
√
x + 1)
;
(b)
∞
Z
9
dx
√
x + 3
;
(c)
∞
Z
1
x(x + 1) dx
x
4
+ x + 1
;
(d)
∞
Z
0
(2
x
+ 1) dx
3
x
+ 1
;
(e)
∞
Z
π
(x + sin x) dx
x
3
;
(f)
∞
Z
2
√
2 + cos x
dx
√
x−1
.
3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
(a)
∞
Z
1
(
√
x + 1) dx
x (x + 1)
;
(b)
∞
Z
5
x
2
dx
√
x
5
− 3
;
(c)
∞
Z
2
e
1
x
− 1
dx;
(d)
∞
Z
1
sin
2
1
x
dx;
(e)
∞
Z
1
x
2
dx
x
3
−sin x
.
4. (a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y =
1
x
2
+ 4
oraz osią Ox.
(b) Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru D =
(x, y) ∈ R
2
: x 0, 0 ¬ y ¬ e
−x
.
(c) Uzasadnić, że pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji y =
1
x
√
x
(x 1) wokół osi Ox ma skończoną
wartość.
5. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
(a)
1
Z
0
dx
√
x(x + 1)
;
(b)
e
Z
0
ln x dx
x
;
(c)
0
Z
−1
dx
x(x + 1)
;
(d)
π
Z
π
2
dx
sin x
;
(e)
5
Z
3
2
x
dx
√
2
x
− 8
.
6. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
(a)
4
Z
0
arc tg x dx
√
x
;
(b)
2
Z
0
e
x
dx
x
3
;
(c)
4
Z
0
dx
x
2
+
√
x
;
(d*)
2
Z
0
dx
√
16 − x
4
.
7. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:
(a)
1
Z
0
x
3
+ 1
dx
√
x (x
2
+ 1)
;
(b)
π
Z
0
sin
3
x dx
x
4
;
(c)
1
Z
0
(e
x
− 1) dx
√
x
3
;
(d*)
π
Z
π
2
dx
√
sin x
;
(e*)
2
Z
1
dx
x
2
−
√
x
.
8. Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych:
(a)
∞
Z
−∞
x
3
cos x dx
x
2
+ 4
;
(b)
∞
Z
−∞
e
x
dx
e
x
+ 1
;
(c)
∞
Z
−∞
e
−|x+5|
dx;
(d
9
Z
−4
dx
p|x|
;
(e)
1
Z
−1
sin x
x
2
dx.
1
| Pobierz cały dokument lista zadan 2015 id 270224 Nieznany .pdf Rozmiar 267,5 KB |