Analiza matematyczna 1

lista zada« nr 7

liczba e

Rozgrzewka

1. Wyznacz granice:

lim

n→∞



1 +

1

n + 1



n

,

lim

n→∞



1 −

2

n

2

+ 1



n

2

.

2. Rozstrzygnij zbie»no±¢ szeregów:

X

n

2

n

n!

n

n

,

X

n

3

n

n!

n

n

.

‚wiczenia

1. Wyznacz granice:

lim

n→∞



1 +

n

n

2

+ 1



2n

,

lim

n→∞

 4

n

+ 2

n

4

n

− 2

n



2

n

,

lim

n→∞

n

√

n!

n

.

2. Podaj promie« zbie»no±¢ szeregu P

n

n!

n

n

x

n

.

Odpoczynek

1. Udowodnij, »e ci¡g o wyrazach (1 +

1

n

)

n

jest rosn¡cy, a ci¡g o wyrazach (1 +

1

n

)

n+1

jest malej¡cy.

2. Czy ci¡g (1 +

1

n

)

n+

1
2

jest rosn¡cy lub malej¡cy?

3. Czy szereg P

n

e

n

n!

n

n

jest zbie»ny?

4. Czy szereg P

n

n

n

e

n

n!

jest zbie»ny?

5. Udowodnij, »e je±li ci¡g (ε

n

)

jest zbie»ny do zera, to

lim

n→∞



1 +

x + ε

n

n



n

= exp(x).

6. Udowodnij, »e dla dowolnego ci¡gu (ε

n

)

takiego, »e ε

n

∈ {−1, 1}

, liczba P

∞
n=0

ε

n

n!

jest niewy-

mierna.

Mateusz Kwa±nicki