CAŁKI PODWÓJNE - część pierwsza

Przykład 1. Oblicz całkę podwójną

Z Z

D

(e

5x

y + 1) dx dy,

gdzie obszar

D =

©

(x, y) ∈ R

2

:

1 ≤ x ≤ 2,

3e

−x

≤ y ≤ e

x

ª

.

Rozpoczniemy od naszkicowania na płaszczyźnie X0Y obszaru D. Najpierw prowadzimy
dwie proste prostopadłe do osi 0X przechodzące przez x = 1 oraz x = 2. Kolejnym
etapem jest naszkicowanie dwóch funkcji wykładniczych. Malejącej funkcji y = 3e

−x

oraz rosnącej y = e

x

. Obszar ograniczony przez te cztery krzywe to nasz obszar D, który

na rysunku cieniujemy - patrz ryc.1.

Kolejna procedura to przejście od całki podwójnej do całki iterowanej. Zabieg ten

polega na rozbiciu symbolu

RR

na dwie całki pojedyncze oznaczone. Jedna z tych dwóch

całek będzie całką względem dx, druga - względem dy. Jedna z nich będzie całką ze-
wnętrzną (odnoszącą się do zmiennej niezależnej), a druga - wewnętrzną (odnoszącą się
do zmiennej zależnej). Od nas zależy wybór, która z całek będzie zewnętrzna, a która
wewnętrzna; wynik pozostanie taki sam w obydwu konfiguracjach (o ile nie popełnimy
błędu).

1

Przyjmimy, że w naszym zadaniu rolę całki zewnętrznej będzie pełniła całka wzglę-

dem dx. Musimy wskazać granice tej całki. W tym celu przyglądamy się obszarowi D
na wykresie oraz zakresowi zmienności współrzędnych odciętych (x) tego obszaru. To
znaczy rzutujemy prostopadle na oś 0X obszar D i odnajdujemy ekstremalne wartości
współrzędnych odciętych. U nas minimalna wartość współrzędnej odciętej to x = 1, a
maksymalna to x = 2. W tych granicach zmienia się x. Te dwie wartości (1 oraz 2) stają
się granicami całki względem dx. Dolną granicą jest liczba 1, a górną liczba 2.

Nieco inaczej rzecz ma się z całką wewnętrzną, u nas - całką względem dy. Jej granice

zależą bowiem od wartości, jakie przyjmuje x. Sytuację tę obrazuje ryc.2.

Wyobrażamy sobie, że na osi 0X obserwujemy punkt x (oznaczony na tej rycinie przez

grubą kropkę i podpisany x). Następnie zastanawiamy się, jak dla takiego x zmienia się
w obszarze D współrzędna y. Otóż zmienia się ona od "dolnej" funkcji wykładniczej do
"górnej" funkcji wykładniczej. Dla ustalonego x na osi odciętych współrzędna y będzie
się więc zmieniać od y = 3e

−x

do y = e

x

. Formuły po prawej stronie znaku "=" stają

się granicami: (odpowiednio) dolną i górną wewnętrznej całki po dy.

2

Zamieniamy zatem całkę podwójną na iterowaną:

Z Z

D

(e

5x

y + 1) dx dy =

2

Z

1

µ

e

x

Z

3e

−x

(e

5x

y + 1) dy

¶

dx.

Alternatywny zapis całki iterowanej jest następujący:

Z Z

D

(e

5x

y + 1) dx dy =

2

Z

1

dx

e

x

Z

3e

−x

(e

5x

y + 1) dy.

Obliczmy więc naszą całkę. Metoda jest następująca: przepisujemy symbol całki

zewnętrznej, a obliczamy całkę wewnętrzną. Pamiętamy, że całkujemy funkcję dwóch
zmiennych - zatem w przypadku całkowania względem zmiennej y, będziemy traktywać
zmienną x jako stałą (parametr). Stałą moża wyłączać przed symbol całki, natomiast
całka ze stałej jest równa tej stałej razy argument (po którym całkowanie się odbywa).

Zatem

Z Z

D

(e

5x

y + 1) dx dy =

2

Z

1

µ

e

x

Z

3e

−x

(e

5x

y + 1) dy

¶

dx =

2

Z

1

µ

e

5x

e

x

Z

3e

−x

y dy +

e

x

Z

3e

−x

1 dy

¶

dx =

=

2

Z

1

µ

e

5x

·

y

2

2

¸

e

x

3e

−x

+ [y]

e

x

3e

−x

¶

dx =

2

Z

1

µ

e

5x

µ

(e

x

)

2

2

−

(3e

−x

)

2

2

¶

+ e

x

− 3e

−x

¶

dx =

=

2

Z

1

µ

e

5x

µ

e

2x

2

−

9e

−2x

2

¶

+e

x

−3e

−x

¶

dx =

2

Z

1

µ

1
2

e

5x

·e

2x

−

9
2

e

5x

·e

−2x

+e

x

−3e

−x

¶

dx =

=

2

Z

1

µ

1
2

e

7x

−

9
2

e

3x

+ e

x

− 3e

−x

¶

dx =

·

1
2

·

1
7

e

7x

−

9
2

·

1
3

e

3x

+ e

x

+ 3e

−x

¸

2

1

=

=

1

14

e

7·2

−

3
2

e

3·2

+ e

2

+ 3e

−2

−

µ

1

14

e

7·1

−

3
2

e

3·1

+ e

1

+ 3e

−1

¶

=

=

1

14

e

14

−

3
2

e

6

+ e

2

+ 3e

−2

−

1

14

e

7

+

3
2

e

3

− e − 3e

−1

≈ 85251.

.

3

Przykład 2. Oblicz całkę podwójną

Z Z

D

xy

2

dx dy,

gdzie obszar

D =

©

(x, y) ∈ R

2

:

1 ≤ x

2

+ y

2

≤ 4,

x ≤ 0,

y ≥ 0

ª

.

Szkicujemy na płaszczyźnie X0Y obaszar D. Ponieważ równanie

x

2

+ y

2

= 1

określa okrąg o środku w punkcie (0, 0) i promieniu równym 1, zaś równanie

x

2

+ y

2

+ 4

określa okrąg o środku w punkcie (0, 0) i promieniu równym 2, to rozwiązaniem podwój-
nej nierówności

1 ≤ x

2

+ y

2

≤ 4

jest różnica między dwoma kołami o środkach w punkcie (0, 0): tym większym - o promie-
niu równym 2 oraz tym mniejszym - o promieniu równym 1. Ze względu zaś na warunek,
że

x ≤ 0 oraz y ≥ 0,

ograniczamy się do II ćwiartki układu współrzędnych - patrz ryc.3.

4

W przypadku, gdy obszar D jest kołem, fragmentem koła lub fragmentem różnicy

dwóch kół, stosujemy zamianę współrzędnych (x, y) na współrzędne biegunowe. Współ-
rzędne biegunowe określamy następująco:

½

x = r cos α
y = r sin α.

Jakobian tego przekształcenia wynosi r.

W zadanym obszarze D określamy zmienność r (długości promienia wodzącego) oraz

α (kąta, jaki zakreśla w obszarze D promień wodzący r począwszy od osi 0X, przeciwnie
do ruchu wskazówek zegara).

Mamy więc:

½

r ∈ h1; 2i
α ∈

­

π

2

; π

®

.

Zmieniając współrzędne (x, y) na (r, α), musimy zastąpić w funkcji podcałkowej

zmienną x wyrażeniem r cos(α) oraz zmienną y wyrażeniem r sin(α). Ponadto w cał-
ce wyrażonej przy użyciu nowych zmiennych należy funkcję podcałkową przemnożyć
przez jakobian (= r).

Otrzymujemy więc:

Z Z

D

xy

2

dx dy =

π

Z

π

2

µ

2

Z

1

r cos α

| {z }

x

·(r sin α

| {z }

y

)

2

·

r

|{z}

jakobian

dr

¶

dα =

=

π

Z

π

2

µ

2

Z

1

r

4

cos α sin

2

α dr

¶

dα =

π

Z

π

2

µ

cos α sin

2

α

2

Z

1

r

4

dr

¶

dα =

=

π

Z

π

2

µ

cos α sin

2

α

·

r

5

5

¸

2

1

¶

dα =

π

Z

π

2

µ

cos α sin

2

α

µ

2

5

5

−

1

5

5

| {z }

31

5

¶¶

dα =

=

31

5

π

Z

π

2

cos α sin

2

α dα =

°

°

°

°

°

°

°

°

sin α = t
cos α dα = dt

α

π

2

π

t 1 0

°

°

°

°

°

°

°

°

=

=

31

5

0

Z

1

t

2

dt =

31

5

·

t

3

3

¸

0

1

=

31

5

µ

0

3

3

−

1

3

3

¶

=

31

5

·

µ

−

1
3

¶

= −

31
15

.

5