Inżynieria Środowiska

2011/12

Materiały

do wykładu 4

27 10 2011

siła zachowawcza

W

AA

=

0

W

AB(l

1

)

=

W

AB(l

2

)

W

AA

=

W

AB(s)

+

W

BA(l

1

)

B

W

AA

=

W

AB(s)

+

W

BA(l

2

)

A

s

l

1

l

2

mg

mg

h

A

B

mg

C

mg

D

s

x



g

W

AB

= 

mg⋅h = mg h cos = mg h−1

W

BC

= 

mg⋅s = mg s cos



2

=

mg s⋅0 =0

W

CD

= 

mg⋅h = mg h cos0 = mg h1

W

DA

= 

mg⋅s = mg s cos



2

=

mg s⋅0 =0

W

AA

=

W

AB



W

BC



W

CD



W

DA

−

mgh0mgh0=0

praca siły mg na zamkniętej drodze

s

A

B

C

D

praca siły mg na zamkniętej drodze

a

b

c

d

α

β

γ

δ

⃗

mg

⃗

mg

⃗

mg

⃗

mg

W

AA

=

W

a

+

W

b

+

W

c

+

W

d

y

a

y

b

y

c

y

d

y

W

AA

= −

mg a cos α−mg b cosβ+mg c cos γ+mg d cos δ

W

AA

= −

mg (a

y

+

b

y

)+

mg (c

y

+

d

y

) =

0

praca siły tarcia na drodze zamkniętej

A

B

⃗

T

⃗

T

⃗

T

f = const.

⃗

T

s

W

(

AB)

=⃗

T⋅⃗s = T s cosπ = =−T s

W

(

AA)

=−

Ts−Ts−Ts−Ts = −4T s ≠ 0

C

D

s

s

s

W

(

BC )

=⃗

T⋅⃗s = T s cos π = =−T s

W

(

CD)

=⃗

T⋅⃗s = T s cos π = =−T s

W

(

DA)

=⃗

T⋅⃗s = T s cos π = =−T s

praca siły tarcia na drodze A-B

A

B

⃗

T

⃗

T

⃗

T

f = cons.

⃗

T

s

W

1( AB)

=−

T s

C

D

s

s

s

W

2( AB)

=

W

AD

+

W

DC

+

W

CB

=−

T s−T s−T s =−3T s

E

pB

=

E

pA

−

W

1( AB)

=

E

pA

+

Ts

E

pB

=

E

pA

−

W

2( AB)

=

E

pA

+

3Ts

?



F = 

F r

W = F⋅s = − E

p



r 

siła zachowawcza

praca siły zachowawczej

zmiana energii potencjalnej

wyłącznie!

A

B

W

AB

E

pA

E

pB

E

pA



E

p

=

E

pB

E

pA

−

E

pB

=− 

E

p

=

W

AB

praca siły zachowawczej

dowolna wartość E

pA

lub E

pB

E

pB

=

E

pA

−

W

AB

praca
siły zachowawczej
na drodze AB

energia
potencjalna
w punkcie B

energia
potencjalna
w punkcie A

energia mechaniczna

E = E

k

+

E

p

E

k

=

mV

2

2

E

p

energia kinetyczna

energia(e) potencjalna(e)

E

pA

+

E

kA

=

E

pB

+

E

kB

zasada zachowania energii mechanicznej

A

B

W

AB

E

pA

E

pB

⃗

V

A

⃗

V

B

A

B

W

AB

E

pA

E

pB

⃗

V

A

⃗

V

B

zasada zachowania energii mechanicznej

E

pA

+

m V

A

2

2

=

E

pB

+

m V

B

2

2

E

pA

−

E

pB

=

m V

B

2

2

−

mV

A

2

2

E

pA

−

E

pB

=

W

AB

W

AB

=

m V

B

2

2

−

mV

A

2

2

W

AB

>

0⇒ V

B

>

V

A

W

AB

<

0⇒ V

B

<

V

A

mg

mg

h

A

B

E

pA

E

pB

E

pB

=

E

pA

+Δ

E

p

=

E

pA

−

W

AB

=

E

pA

−[

mg h(−1)]

E

pB

=

E

pA

+

mg h>E

pA

y

energia

potencjalna

siły mg

E

pA

=

E

pB

+Δ

E

p

=

E

pB

−

W

BA

=

E

pB

−[

mg h(1)]

E

pA

=

E

pB

−

mg h<E

pB

mg

mg

h

A

B

E

pA

E

pB

y

energia

potencjalna

siły mg

zasada zachowania energii mechanicznej w polu siły mg

mg

mg

h

A

B

E

pA

E

pB

y

V

B

V

A

W

AB

=

m V

B

2

2

−

mV

A

2

2

mV

B

2

2

=

m V

A

2

2

+

W

AB

W

AB

= ⃗

mg⋅⃗h = mg h cos π = mg h(−1)

mV

B

2

2

=

m V

A

2

2

−

mgh

V

B

<

V

A

⃗

F

⃗

F = −k ⃗x

siła sprężystości

x=0

x

x

k

m

x=0

x

k

m

x

F

k

1

k

2

k

2

>

k

1

siła sprężystości

x

F

1

F

2

F

2

>

F

1

W

0, x

=

∫

0

x

⃗

F⋅⃗

dx =

∫

0

x

−

kx dx=−k

[

x

2

2

]

0

x

W

0, x

= −

1
2

k x

2

praca siły sprężystości

W

x ,0

=

∫

x

o

⃗

F⋅⃗

dx =

∫

x

0

−

kx dx=−k

[

x

2

2

]

x

0

W

x ,0

=

1
2

k x

2

x=0

x

k

m

m

x

⃗

F

x=0

x

k

m

m

x

⃗

F

W

0,0

=

W

0, x

+

W

x ,0

=−

1
2

k x

2

+

1

2

k x

2

=

0

siła zachowawcza

E

p

(

x) =

1

2

k x

2

energia potencjalna siły sprężystości

x = 0 ⇒ E

p

=

0

E

p

(

x) = E

p

(

0)−W

0, x

=

0−(

−

k x

2

2

) =

1

2

k x

2

(wybór)

x=0

x

k

m

⃗

F

x

m

x

E

p

0

E

p

(

x)

energia potencjalna siły sprężystości

k

2

>

k

1

x

E

p

0

E

p

(

x)

k

1

k

2

x

1

x

2

−

x

1

−

x

2

x

E

p2

0

E

p

(

x)

k

1

k

2

x

1

−

x

1

E

p1

k

2

>

k

1