MO

Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18

1

Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –

ZADANIE 18

Z4/18.1. Zadanie 18

Narysować metodą punktów szczególnych wykresy sił przekrojowych dla ramy płaskiej

przedstawionej na rysunku Z4/18.1. Wymiary ramy podane są w metrach.

A

B

C

D

E

F

[m]

2,0

5,0

2,0

4,

0

6,0

12,0 kN/m

16

,0

k

N/

m

10,0 kN

24,0 kNm

Rys. Z4/18.1. Rama płaska

Analiza kinematyczna ramy przedstawionej na rysunku Z4/18.1 znajduje się w zadaniu 17. Zgodnie z

tamtym zadaniem rysunek Z4/18.2 przedstawia wartości i zwroty reakcji podporowych.

A

B

C

D

E

F

[m]

2,0

5,0

2,0

4,0

6,

0

12,0 kN/m

16

,0

k

N/m

10,0 kN

24,0 kNm

14,57 kN

84,57 kN

64,0 kN

Rys. Z4/18.2. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w ramie płaskiej

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18

2

W dalszej części przy wyznaczaniu wartości siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu

zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:

•

siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać
z minusem

•

siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy
zapisywać z plusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy
zapisywać z minusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego
będziemy zapisywać z plusem.

Z4/18.2. Wykres siły normalnej

Zgodnie z wytycznymi przedstawionymi w rozdziale 4 we wszystkich przedziałach siła normalna

będzie stała.

A

14,57 kN

64,0 kN

N

AB

Rys. Z4/18.3. Siła normalna w przedziale AB

Rysunek Z4/18.3 przedstawia siłę normalną w przedziale AB. Zgodnie z nim siła ta wynosi

N

AB

=

14,57 kN

.

(Z4/18.1)

Pręt ten jest więc rozciągany.

Rysunek Z4/18.4 przedstawia siłę normalną w przedziale BC. Zgodnie z nim siła ta wynosi

N

BC

=

64,0 kN

.

(Z4/18.2)

Pręt ten jest więc rozciągany.

Rysunek Z4/18.5 przedstawia siłę normalną w przedziale CD. Zgodnie z nim siła ta wynosi

N

CD

=

16,0⋅4,0=64,0 kN

.

(Z4/18.3)

Pręt ten jest więc rozciągany.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18

3

A

B

[m]

6,0

24,0 kNm

14,57 kN

64,0 kN

N

BC

Rys. Z4/18.4. Siła normalna w przedziale BC

D

E

F

[m]

2,0

4,

0

12,0 kN/m

16

,0

kN/

m

10,0 kN

84,57 kN

N

CD

Rys. Z4/18.5. Siła normalna w przedziale CD

E

10,0 kN

N

DE

Rys. Z4/18.6. Siła normalna w przedziale DE

Rysunek Z4/18.6 przedstawia siłę normalną w przedziale DE. Zgodnie z nim siła ta wynosi

N

DE

=

0,0 kN

.

(Z4/18.4)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18

4

F

16

,0

k

N/m

84,57 kN

N

DF

Rys. Z4/18.7. Siła normalna w przedziale DF

Rysunek Z4/18.7 przedstawia siłę normalną w przedziale DF. Zgodnie z nim siła ta wynosi

N

DF

=−

84,57 kN

.

(Z4/18.5)

Pręt ten jest więc ściskany.

Rysunek Z4/18.8 przedstawia ostateczny wykres siły normalnej w ramie płaskiej. Aby był on czytelny

nie został narysowany w jednakowej skali dla całej ramy.

N [kN]

64,0

14

,5

7

84

,5

7

0,0

Rys. Z4/18.8. Wykres siły normalnej w ramie płaskiej

Z4/18.3. Wykres siły poprzecznej

Zgodnie z rozdziałem 4 w przedziałach CD oraz DF siła poprzeczna będzie funkcją liniową natomiast

w pozostałych przedziałach będzie miała wartość stałą. W punkcie C nie działa żadna siła skupiona
prostopadła do osi pręta więc siła poprzeczna nie dozna skoku w tym punkcie.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18

5

A

14,57 kN

64,0 kN

T

AB

Rys. Z4/18.9. Siła poprzeczna w przedziale AB

Rysunek Z4/18.9 przedstawia siłę poprzeczną w przedziale AB. Zgodnie z nim siła ta wynosi

T

AB

=

64,0 kN

.

(Z4/18.6)

T

BC

A

B

[m]

6,0

24,0 kNm

14,57 kN

64,0 kN

Rys. Z4/18.10. Siła poprzeczna w przedziale BC

Rysunek Z4/18.10 przedstawia siłę poprzeczną w przedziale BC. Zgodnie z nim siła ta w tym

przedziale oraz z lewej strony punktu C wynosi.

T

BC

=

T

C



L



=−

14,57 kN

.

(Z4/18.7)

W punkcie C nie działa żadna siła skupiona więc wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu C

wynosi

T

C



P



=−

14,57 kN

.

(Z4/18.8)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18

6

D

E

F

[m]

2,0

5,0

4,

0

12,0 kN/m

16

,0

kN/

m

10,0 kN

84,57 kN

T

C

(P)

D

E

F

[m]

2,0

4,

0

16

,0

k

N/

m

10,0 kN

84,57 kN

T

D

(L)

a)

b)

Rys. Z4/18.11. Siła poprzeczna w przedziale CD

Rysunek Z4/18.11 a) przedstawia siłę poprzeczną z prawej strony punktu C. Zgodnie z nim siła ta

wynosi.

T

C



P



=−

84,5710,012,0⋅5,0=−14,57 kN

.

(Z4/18.9)

Jak widać wartość ta równa się wartości obliczonej ze wzoru (Z4/18.8).

Rysunek Z4/18.11 b) przedstawia siłę poprzeczną z lewej strony punktu D. Zgodnie z nim siła ta

wynosi.

T

C



P



=−

84,5710,0=−74,57 kN

.

(Z4/18.10)

Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału CD ma wartości jednakowych znaków. W przedziale
tym nie będzie ona miała więc miejsca zerowego.

T

DE

E

10,0 kN

Rys. Z4/18.12. Siła poprzeczna w przedziale DE

Rysunek Z4/18.12 przedstawia siłę poprzeczną w przedziale DE. Zgodnie z nim siła ta w tym

przedziale oraz z prawej strony punktu D wynosi.

T

D



P



=

T

DE

=

10,0 kN

.

(Z4/18.11)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18

7

F

4,

0

16

,0

k

N/

m

84,57 kN

[m]

T

D

(D)

F

84,57 kN

T

F

a)

b)

Rys. Z4/18.13. Siła poprzeczna w przedziale DF

Rysunek Z4/18.13 a) przedstawia siłę poprzeczną z dolnej strony punktu D. Zgodnie z nim siła ta

wynosi.

T

D



D



=−

16,0⋅4,0=−64,0 kN

.

(Z4/18.12)

Rysunek Z4/18.13 b) przedstawia siłę poprzeczną w punkcie F. Zgodnie z nim siła ta wynosi.

T

F

=

0,0 kN

.

(Z4/18.13)

Jak więc widać siła poprzeczna w przedziale DF ma ma miejsce zerowe w punkcie F.

Rysunek Z4/18.14 przedstawia ostateczny wykres siły normalnej w ramie płaskiej. Aby był on

czytelny nie został narysowany w jednakowej skali dla całej ramy.

T [kN]

14,57

64

,0

74

,5

7

10,0

64,0

0,0

Rys. Z4/18.14. Wykres siły poprzecznej w ramie płaskiej

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18

8

Z4/18.4. Wykres momentu zginającego

Zgodnie z rozdziałem 4 w przedziałach CD i DF moment zginający będzie funkcją kwadratową

natomiast w pozostałych przedziałach będzie funkcją liniową.

A

6,

0

14,57 kN

64,0 kN

M

B

(D)

A

14,57 kN

64,0 kN

M

A

[m]

a)

b)

Rys. Z4/18.15. Momenty zginające w przedziale AB

Zgodnie z rysunkiem Z4/18.15 a) moment zginający w punkcie A wynosi

M

A

=

0,0 kNm

.

(Z4/18.14)

Zgodnie z rysunkiem Z4/18.15 b) moment zginający z dolnej strony punktu B wynosi

M

B



D



=

64,0⋅6,0=384,0 kNm

.

(Z4/18.15)

Moment ten rozciąga prawą część pręta.

Zgodnie z rysunkiem Z4/18.16 a) moment zginający z prawej strony punktu B wynosi

M

B



P



=

64,0⋅6,0−24,0=360,0 kNm

.

(Z4/18.16)

Zgodnie z rysunkiem Z4/18.16 b) moment zginający z lewej strony punktu C wynosi

M

C



L



=−

14,57⋅2,064,0⋅6,0−24,0=330,9 kNm

.

(Z4/18.17)

Momenty (Z4/18.16) i (Z4/18.17) rozciągają dolną część pręta.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18

9

A

B

[m]

6,

0

24,0 kNm

14,57 kN

64,0 kN

A

B

[m]

2,0

6,0

24,0 kNm

14,57 kN

64,0 kN

M

B

(P)

M

C

(L)

a)

b)

Rys. Z4/18.16. Momenty zginające w przedziale BC

D

E

F

[m]

2,0

5,0

4,

0

12,0 kN/m

16

,0

k

N/m

10,0 kN

84,57 kN

M

C

(P)

D

E

F

[m]

2,0

4,

0

16

,0

k

N/

m

10,0 kN

84,57 kN

M

D

(L)

a)

b)

Rys. Z4/18.17. Momenty zginające w przedziale CD

Zgodnie z rysunkiem Z4/18.17 a) moment zginający z prawej strony punktu C wynosi

M

C



P



=

84,57⋅5,016,0⋅4,0⋅

1
2

⋅

4,0−10,0⋅7,0−12,0⋅5,0⋅

1
2

⋅

5,0=330,9 kNm

.

(Z4/18.18)

Moment ten jest równy momentowi zginającemu wyznaczonemu ze wzoru (Z4/18.17).

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18

10

Zgodnie z rysunkiem Z4/18.16 b) moment zginający z lewej strony punktu D wynosi

M

D



L



=

16,0⋅4,0⋅

1
2

⋅

4,0−10,0⋅2,0=108,0 kNm

.

(Z4/18.19)

Momenty (Z4/18.18) i (Z4/18.19) rozciągają dolną część pręta.

E

2,0

10,0 kN

[m]

M

D

(P)

E

10,0 kN

M

E

a)

b)

Rys. Z4/18.18. Momenty zginające w przedziale DE

Zgodnie z rysunkiem Z4/18.18 a) moment zginający z prawej strony punktu D wynosi

M

D



P



=−

10,0⋅2,0=−20,0kNm

.

(Z4/18.20)

Moment ten rozciąga górną część pręta.

Zgodnie z rysunkiem Z4/18.18 b) moment zginający w punkcie E wynosi

M

E

=

0,0 kNm

.

(Z4/18.21)

F

4,0

16

,0

k

N/

m

84,57 kN

[m]

M

D

(D)

F

84,57 kN

M

F

a)

b)

Rys. Z4/18.19. Momenty zginające w przedziale DF

Zgodnie z rysunkiem Z4/18.19 a) moment zginający z dolnej strony punktu D wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18

11

M

D



D



=−

16,0⋅4,0⋅

1
2

⋅

4,0=−64,0 kNm

.

(Z4/18.22)

Moment ten rozciąga lewą część pręta.

Zgodnie z rysunkiem Z4/18.19 b) moment zginający w punkcie F wynosi

M

F

=

0,0 kNm

.

(Z4/18.23)

W punkcie tym wykres momentu zginającego ma ekstremum.

Rysunek Z4/18.20 przedstawia ostateczny wykres momentu zginającego w ramie płaskiej. Aby był on

czytelny nie został narysowany w jednakowej skali dla całej ramy.

M [kNm]

33

0,9

0,0

384,0

36

0,0

0,0

20

,0

0,0

128,0

10

8,

0

[m]

2,0

5,0

2,0

Rys. Z4/18.20. Wykres momentu zginającego w ramie płaskiej

Z4/18.5. Sprawdzenie wykresów sił przekrojowych

W celu sprawdzenia wykresów siły normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego

przedstawionych na rysunkach Z4/18.8, Z4/18.14 i Z4/18.20 wykonamy sprawdzenie równowagi sił oraz
momentów w węzłach B i D ramy płaskiej.

Rysunek Z4/18.21 a) przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w węźle B. Jak widać

spełnione są równania sumy rzutów na oś poziomą X i pionową Y.

Rysunek Z4/18.21 b) przedstawia równowagę momentów skupionego oraz zginających w węźle B.

Jak widać spełnione jest równanie sumy momentów względem punktu B.

Rysunek Z4/18.22 a) przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w węźle D. Jak widać

spełnione są równania sumy rzutów na oś poziomą X i pionową Y.

Rysunek Z4/18.22 b) przedstawia równowagę momentów skupionego oraz zginających w węźle D.

Jak widać spełnione jest równanie sumy momentów względem punktu D.

Na tej podstawie możemy stwierdzić, że wykresy sił przekrojowych w ramie płaskiej zostały

wykonane poprawnie.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z4/18. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 18

12

24,0 kNm

64,0 kN

64,0 kN

14,57 kN

14,57 kN

B

24,0 kNm

B

384,0 kNm

360,0 kNm

X

Y

a)

b)

Rys. Z4/18.21. Równowaga węzła B

64,0 kN

D

64,0 kN

84,57 kN

74,57 kN

10,0 kN

D

20,0 kNm

128,0 kNm

108,0 kNm

X

Y

a)

b)

Rys. Z4/18.22. Równowaga węzła D

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni