5. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej: iloraz różnicowy, pochodna funkcji w

punkcie, interpretacja geometryczna pochodnej, własności pochodnej, twierdzenie Lagrange’a,
pochodne wyższych rzędów, reguła de L’Hospitala.

h

x

f

h

x

f

x

f

h

)

(

)

(

lim

)

(

0

0

0

0















)

(

)

(

x

f

c

x

f

c















)

(

)

(

)

(

)

(

x

g

x

f

x

g

x

f

















)

(

)

(

)

(

)

(

x

g

x

f

x

g

x

f

















)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

















)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f







































)

(

)

(

)

(

x

g

x

g

f

x

g

f











Wzór funkcji

Pochodna

funkcji

Uwagi

dla

dla

Zadanie 1. Oblicz z definicji pochodne funkcji:

a)

b)

Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, oblicz pochodną funkcji f w punkcie

, gdy:

c)

d)

e)

f)

Zadanie 2. Oblicz pochodne funkcji korzystając z wzorów.

a)

x

x

x

f

sin

)

(

2





b)

4

3

8

5

2

)

(

x

x

x

x

f





c)

3

2

2

)

(

x

x

x

x

f







d)

9

3

2

3

2

1

)

(

x

x

x

x

f







e)

1

5

3

)

(

3

5







x

x

x

f

f)



 



4

2

3

)

(

x

x

x

x

x

f









g)

x

x

x

f

cos

)

(





h)

x

x

x

f

sin

)

(

2





i)



 



4

2

3

)

(

x

x

x

x

x

f









j)

2

3

1

)

(







x

x

x

f

k)

2

sin

)

(

2







x

x

x

x

f

l)





7

5

3

)

(

x

x

x

f





m)

2

3

)

(

2







x

x

x

f

n)

x

x

f

2

sin

)

(



o)

2

sin

)

(

x

x

f



p)





1

2

5

3

sin

)

(

3

4









x

x

x

x

f

q)

2

3

sin

)

(

x

x

x

f





Twierdzenie de L’Hospitala

. Jeżeli funkcje

oraz

są określone w otoczeniu punktu

i

albo

i

oraz istnieje

granica ilorazu pochodnych

(właściwa lub niewłaściwa) to istnieje także granica

oraz

.

Twierdzenie jest również prawdziwe dla granic, gdy x dąży do

.

Zadanie 5. Oblicz granice:

a)

b)

c)

d)

Twierdzenie Lagrange’a

Jeżeli funkcja

jest ciągła w przedziale i istnieje

dla ,

to istnieje punkt

taki, że

Wartość

interpretujemy jako średnią szybkość zmian wartości w przedziale

Zadanie 3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:

a)

1

5

3

)

(

3

5







x

x

x

f

b)

Pochodne wyższych rzędów

Zadanie 4. Znaleźć pochodne drugiego, trzeciego i czwartego rzędu dla funkcji:

a)

x

x

x

f

sin

)

(

2





b)

2

3

1

)

(







x

x

x

f

c)





7

5

3

)

(

x

x

x

f



