Materiały przygotowane w ramach projektu „Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią na
zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Materiały do zajęć:

Równania różniczkowe



Równanie różniczkowe zwyczajne.



Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych.



Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego.

Materiały pomocnicze dla studentów

Analiza matematyczna i algebra liniowa

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

2

1. Organizacja zajęć.

Temat 5: Równania różniczkowe.

1. Równanie różniczkowe zwyczajne – definicja i podstawowe pojęcia
2. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
3. Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

2. Literatura:

1) Krysicki W., Włodarski L. [2008], „Analiza matematyczna w zadaniach część II”,

wydanie 27, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.

2) Matwiejew N. M. [1974], „Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych”, PWN,

Warszawa.

Materiały pomocnicze dla studentów

Analiza matematyczna i algebra liniowa

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

3

3. Materiały do zajęć:

Temat 5: Równania różniczkowe.

zad. 1) Rozwiązać równanie różniczkowe: 𝑦

′

= 𝑥

2

zad. 2) Rozwiązać problem Cauchy’ego: {

𝑦

′

= √𝑥

𝑦(1) = 1

zad. 3) Rozwiązać równania różniczkowe/problemy Cauchy’ego:

a) 2𝑥

2 𝑑𝑦

𝑑𝑥

= 𝑦

b) 𝑦

′

=

𝑦 ln 𝑦

sin

2

𝑥

c) {

𝑦

′

=

𝑦

2

+1

𝑥𝑦

𝑦(−2) = 1

d) 𝑦

′′

= 𝑥

2

e) sin 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥

= 𝑦 cos 𝑥

f) (1 + 𝑥

2

)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

= √1 − 𝑦

2

g) {

𝑦

′

= (𝑥 − 𝑦)

2

+ 1

𝑦(0) =

1

2

h) 𝑦

′

= 2𝑥 + 3𝑦 + 1

i) 2𝑥𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥

− 𝑥

2

− 2𝑦

2

= 0

j) (𝑥 − 1)(𝑦

2

− 𝑦 + 1) − (2𝑦 − 1) (𝑥

2

+ 𝑥 +

5

4

)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

= 0

k) 𝑦

′

−

𝑦

𝑥

=

1

2𝑦

l) 𝑦

′

− 2𝑥𝑦 = 2𝑥

3

𝑦

2

m) 𝑦

′

= 1 +

1

𝑥

−

1

𝑦

2

+1

−

1

𝑥(𝑦

2

+1)

n) 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥

− 𝑦 = 2𝑥

3

o) {

𝑦

′

= (2𝑥 + 𝑦 − 3)

2

− 2(2𝑥 + 𝑦 − 3) − 1

𝑦(0) = 2

p) {

𝑦

′

− 𝑥𝑦 = 𝑥𝑒

𝑥

2

𝑦(0) = 4

q)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

− 2𝑦 = 2𝑒

3𝑥

Materiały pomocnicze dla studentów

Analiza matematyczna i algebra liniowa

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

4

r)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

− 4𝑦 = 2𝑒

4𝑥

s)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

+ 2𝑦 = 𝑥

2

t)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

+ 𝑦 = 7 sin 3𝑥

zad. 4) Cenowa elastyczność popytu jest funkcją postaci 𝐸𝑓(𝑥) = 4𝑥

2

. Wyznaczyć funkcję

popytu 𝑓, jeśli 𝑓(0) = 1.

zad. 5) Równanie logistyczne

𝑑𝑥

𝑑𝑡

= 𝑥(𝑎 − 𝑏𝑥) opisuje wzrost populacji pewnego gatunku

w izolowanym środowisku (np. żółwi olbrzymich na jednej z wysp archipelagu
Galapagos). Przez 𝑥(𝑡) oznaczamy wielkość (zagęszczenie) populacji, 𝑎 (współczynnik
rozrodczości gatunku) i 𝑏 (współczynnik konkurencji między osobnikami jednego
gatunku) są pewnymi stałymi empirycznymi.
a) Znaleźć rozwiązanie tego równania.
b) Wyznaczyć stałą 𝐶 jeśli dla 𝑎 = 2, 𝑏 =

1

2

populacja początkowa 𝑥(0) = 2.

Narysować wykresy otrzymanego rozwiązania dla kilku wybranych wartości
parametrów 𝑎 i 𝑏.

c) Wykazać, że 𝑥(𝑡) →

𝑎

𝑏

(tzw. pojemności środowiska) gdy 𝑡 → +∞ dla wszystkich

wartości 𝑥(0) > 0. Zinterpretować otrzymany wynik.

Materiały pomocnicze dla studentów

Analiza matematyczna i algebra liniowa

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

5

Zadania do samodzielnego rozwiązania.

zad. 1) Rozwiązać równania:

a) 𝑦

′

= 2𝑦

b) 𝑦

′

=

𝑥

3 +

𝑦
𝑥

+

𝑦

𝑥

c) (𝑥 − 1)(𝑦

2

− 3𝑦 + 2) − (𝑦 − 1)(𝑥

2

+ 1)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

= 0

d) 𝑥

2 𝑑𝑦

𝑑𝑥

= sin

1

𝑥

e) sin

2

𝑥 + (

𝑑𝑦

𝑑𝑥

)

2

= 1

f) cos 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥

= 3 sin 𝑦 (5 cos

3

𝑥 − 3 cos 𝑥)

g) (𝑥 + 𝑦)

2

(

𝑑𝑦

𝑑𝑥

+ 1) = 1

h) 𝑥

2 𝑑𝑦

𝑑𝑥

= 𝑥

2

+ 𝑥𝑦 + 𝑦

2

i) 𝑒

𝑥

2

𝑑𝑦

𝑑𝑥

= −𝑥𝑦

j)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

− 𝑥𝑦 = 𝑥𝑒

𝑥

2

k) 𝑦

′

+ 𝑦 + 𝑥√𝑦 = 0

l)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

sin 𝑥 + 𝑦 cos 𝑥 = sin(2𝑥)

m) 𝑥

2

+ (

𝑑𝑦

𝑑𝑥

)

2

= 1

n) 𝑒

−

1
𝑥

𝑦

3

+ 𝑥

2

𝑦

2 𝑑𝑦

𝑑𝑥

= 0

o) 𝑥

2

+ 𝑦

2

= 2𝑥𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥

p) 𝑦

′

−

𝑦

𝑥

= 2𝑥

2

q) cos 𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥

+ 2𝑦 sin 𝑥 = 2 sin 𝑥

r)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

+ 2𝑦 = 25𝑥

2

𝑒

3𝑥

s)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

+ 𝑦 = 𝑒

−𝑥

t)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

+ 2𝑦 = 𝑥

2

− 𝑥 − 1

u) 𝑦

′

− 𝑦 = 𝑥

2

− 2𝑥 + 3

v)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

− 𝑦 = 5 cos(2𝑥)

w)

𝑑𝑦

𝑑𝑥

− 𝑦 = 𝑥𝑒

2𝑥

Materiały pomocnicze dla studentów

Analiza matematyczna i algebra liniowa

© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

6

Odpowiedź (jeśli nie podano inaczej 𝐶 ∈ ℝ):

a) 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒

2𝑥

b) 𝑦(𝑥) = 𝑥(−3 ± √9 + 2𝑥 + 2𝐶)

c) 𝑦(𝑥) = 1, 𝑦(𝑥) = 2 + 𝐶𝑒

− arctg 𝑥

√𝑥

2

+ 1

d) 𝑦(𝑥) = cos

1

𝑥

+ 𝐶

e) 𝑦(𝑥) = ± sin 𝑥 + 𝐶

f) 𝑦(𝑥) = arcsin(𝐶𝑒

6 sin 𝑥 − 5 sin

3

𝑥

)

g) 𝑦(𝑥) = √3𝑥 + 𝐶

3

h) 𝑦(𝑥) = 𝑥 tg(ln |𝑥| + 𝐶)

i) 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒

1
2

𝑒

−𝑥2

j) 𝑦(𝑥) = 𝑒

𝑥

2

+ 𝐶𝑒

1
2

𝑥

2

k) 𝑦(𝑥) = (2 − 𝑥 + 𝐶𝑒

−

1
2

𝑥

)

2

l) 𝑦(𝑥) =

−

1
2

cos(2𝑥) + 𝐶

sin 𝑥

m) 𝑦(𝑥) = ±

1

2

(𝑥√1 − 𝑥

2

+ arcsin 𝑥) + 𝐶

n) 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒

−

1
𝑥

o) 𝑦(𝑥) = ±√𝑥

2

+ 𝐶𝑥

p) 𝑦(𝑥) = 𝑥

3

+ 𝐶𝑥

q) 𝑦(𝑥) = 1 + 𝐶 cos

2

𝑥

r) 𝑦(𝑥) = (5𝑥

2

− 2𝑥 +

2

5

) 𝑒

3𝑥

+ 𝐶𝑒

−2𝑥

s) 𝑦(𝑥) = (𝑥 + 𝐶)𝑒

−𝑥

t) 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒

−2𝑥

+

1

2

𝑥

2

− 𝑥

u) 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒

𝑥

− 𝑥

2

− 3

v) 𝑦(𝑥) = 2 sin(2𝑥) − cos(2𝑥) + 𝐶𝑒

𝑥

w) 𝑦(𝑥) = (𝑥 − 1)𝑒

2𝑥

+ 𝐶𝑒

𝑥