CAŁKA NIEOZNACZONA







c

x

F

dx

x

f

)

(

)

(

, gdzie

)

(

)

(

x

f

x

F





)

(x

F

- funkcja pierwotna

)

(x

f

Własności:

















dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

)

(

)

(

)

(

)

(

,







dx

x

f

c

dx

x

f

c

)

(

)

(

Całki podstawowe:



 c

dx

0







c

a

a

dx

a

x

x

ln

,

0



a

c

x

dx

x









cos

sin

c

x

dx

x







cosh

sinh







c

x

dx







c

e

dx

e

x

x







c

x

dx

x

sin

cos

c

x

dx

x







sinh

cosh











c

n

x

dx

x

n

n

1

1

,

1





n









c

x

x

dx

arctg

1

2









c

x

x

dx

ctg

sin

2









c

x

x

dx

ctgh

sinh

2







c

x

dx

x

ln

1









c

x

x

dx

arcsin

1

2







c

x

x

dx

tg

cos

2







c

x

x

dx

tgh

cosh

2

Całkowanie przez podstawienie:

Całkowanie przez części:

Wzór:













dt

t

t

f

dx

x

f

)

(

)

(

)

(





)

(t

x





dt

t

dx

)

(













du

v

v

u

dv

u









c

x

f

dx

x

f

x

f

)

(

ln

)

(

)

(

Podstawienie uniwersalne:

Wzory rekurencyjne:

t

x



2

tg

















dx

x

n

n

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

sin

1

cos

sin

1

sin

dt

t

dx

2

1

2





2

1

2

sin

t

t

x





2

2

1

1

cos

t

t

x





















dx

x

n

n

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

cos

1

sin

cos

1

cos

Całka funkcji wymiernej:















dx

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

tg

tg

1

1

tg







dx

c

bx

ax

2

1

















dx

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

ctg

ctg

1

1

ctg

0

















dx

x

x

x

x

a

2

1

1

- rozkład na ułamki















dx

x

n

n

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

sinh

1

cosh

sinh

1

sinh

0













dx

x

x

a

2

1

1

- podstawienie

1

x

x

t



















dx

x

n

n

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

cosh

1

sinh

cosh

1

cosh

















dx

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

tgh

tgh

1

1

tgh

0

























dx

a

a

b

x

a

4

2

1

2

=











b

ax

2

arctg

2

















dx

x

x

n

dx

x

n

n

n

2

1

ctgh

ctgh

1

1

ctgh

Własności funkcji

trygonometrycznych:

hiperbolicznych:

Funkcje hiperboliczne:

1

cos

sin

2

2





x

x

1

sinh

cosh

2

2





x

x

x

x

x

cos

sin

2

2

sin



x

x

x

cosh

sinh

2

2

sinh



x

x

x

2

2

sin

cos

2

cos





x

x

x

2

2

sinh

cosh

2

cosh





2

sinh

x

x

e

e

x







2

cosh

x

x

e

e

x





