www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM PODSTAWOWY
5
KWIETNIA
2014
C
ZAS PRACY
: 170
MINUT
Zadania zamkni˛ete
Z
ADANIE
1
(1
PKT
)
Która z liczb jest najwi˛eksza?
A)
1
25
−
1
2
B) 25
1
2
C)
(
0, 2
)
−
2
D)
(
0, 2
)
4
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
1
25
−
1
2
=
25
1
2
=
√
25
=
5
25
1
2
=
√
25
=
5
(
0, 2
)
−
2
=
1
5
−
2
=
5
2
=
25
(
0, 2
)
4
=
1
5
4
=
1
625
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
2
(1
PKT
)
Gdy do 50% liczby 73 dodamy 73% liczby 50, to otrzymamy
A) 1
B) 73
C)
73
100
D) 100
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
50%
·
73
+
73%
·
50
=
50
100
·
73
+
73
100
·
50
=
100
100
·
73
=
73.
Odpowied´z: B
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
3
(1
PKT
)
Wska ˙z nierówno´s´c, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej:
x
6
0
-3
A)
|
x
−
1, 5
| <
4, 5
B)
|
x
+
1, 5
| <
4, 5
C)
|
x
+
6
| <
9
D)
|
x
+
3
| <
3, 5
R
OZWI ˛
AZANIE
Skorzystamy z interpretacji geometrycznej zbioru rozwi ˛
aza ´n nierówno´sci:
|
x
−
a
| <
b.
Zbiór ten składa si˛e z liczb, które s ˛
a odległe (na osi liczbowej) od liczby a o mniej ni ˙z b.
´Srodkiem danego przedziału jest x
=
−
3
+
6
2
=
1, 5 i ma on długo´s´c 6
− (−
3
) =
9. Zatem
jest to zbiór liczb, które s ˛
a odległe od 1,5 o mniej ni ˙z 4,5.
x
6
0
-3
1,5
Zbiór ten jest wi˛ec rozwi ˛
azaniem nierówno´sci
|
x
−
1, 5
| <
4, 5.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
4
(1
PKT
)
Wykres funkcji kwadratowej f
(
x
) =
x
2
−
6x
+
10 powstaje z wykresu funkcji g
(
x
) =
x
2
+
1
przez przesuni˛ecie o 3 jednostki
A) w prawo
B) w lewo
C) w gór˛e
D) w dół
R
OZWI ˛
AZANIE
Zapiszmy podan ˛
a funkcj˛e w postaci kanonicznej
x
2
−
6x
+
10
= (
x
−
3
)
2
+
1.
Wida´c, ˙ze wykres ten powstaje z wykresu y
=
x
2
+
1 przez przesuni˛ecie o 3 jednostki w
prawo (bo wierzchołek jest w punkcie
(
3, 1
)
).
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
-5
-1
+3
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
y=x +1
2
y=(x-3) +1
2
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
5
(1
PKT
)
Prosta o równaniu y
=
√
3x
−
3 jest nachylona do osi Ox pod k ˛
atem
A) 30
◦
B) 45
◦
C) 60
◦
D) 0
◦
R
OZWI ˛
AZANIE
Tangens k ˛
ata nachylenia prostej o równaniu y
=
ax
+
b do osi Ox jest równy a. Liczymy
tg α
=
√
3
⇒
α
=
60
◦
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
6
(1
PKT
)
Liczby rzeczywiste a, b, c spełniaj ˛
a warunki: a
+
b
= −
4, b
+
c
=
7 i c
+
a
=
1. Wtedy suma
a
+
b
+
c jest równa
A)
−
10
B) 8
C) 4
D) 2
R
OZWI ˛
AZANIE
Mamy tak naprawd˛e dany układ równa ´n
a
+
b
= −
4
b
+
c
=
7
c
+
a
=
1.
Dodaj ˛
ac te równania stronami mamy
2a
+
2b
+
2c
=
4.
Zatem a
+
b
+
c
=
2.
Odpowied´z: D
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
7
(1
PKT
)
Dla ka ˙zdego k ˛
ata ostrego α wyra ˙zenie cos
2
α
+
sin
2
α
·
cos
2
α
+
cos
4
α
jest równe
A) 2 sin
2
α
B) 2 cos
2
α
C) 1
D) 2
R
OZWI ˛
AZANIE
Korzystaj ˛
ac z jedynki trygonometrycznej mamy
cos
2
α
+
sin
2
α
·
cos
2
α
+
cos
4
α
=
=
cos
2
α
+
cos
2
α
(
sin
2
α
+
cos
2
α
) =
cos
2
α
+
cos
2
α
=
2 cos
2
α
.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
8
(1
PKT
)
Zbiorem warto´sci funkcji, której wykres przedstawiono na rysunku jest przedział:
x
y
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
-5
-4
A)
h−
4, 2
i
B)
h−
4, 5
i
C)
h−
2, 3
i
D)
h−
4, 3
i
R
OZWI ˛
AZANIE
Zbiór warto´sci odczytujemy z wykresu:
h−
4, 3
i
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
9
(1
PKT
)
Dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej x, wyra ˙zenie 9x
4
+
12x
2
+
4 jest równe
A)
(
3x
2
+
2
)(
3x
2
−
2
)
B)
(
3x
2
+
2
)(
3x
2
+
2
)
C)
(
3x
2
−
2
)(
3x
2
−
2
)
D)
(
3x
2
−
4
)(
3x
2
+
2
)
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Zauwa ˙zmy, ˙ze podane wyra ˙zenie to pełen kwadrat.
9x
4
+
12x
2
+
4
= (
3x
2
+
2
)
2
= (
3x
2
+
2
)(
3x
2
+
2
)
.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
10
(1
PKT
)
Liczba log
0,5
50
−
log
0,5
25 jest równa
A) log
0,5
25
B) 1
C)
−
1
D) log
0,5
1250
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
log
0,5
50
−
log
0,5
25
=
log
0,5
50
25
=
log
1
2
2
=
log
1
2
1
2
−
1
= −
1.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
11
(1
PKT
)
Punkty A, B, C, D, E, F, G, H, I, J dziel ˛
a okr ˛
ag o ´srodku S na dziesi˛e´c równych łuków. Oblicz
miar˛e k ˛
ata SHE zaznaczonego na rysunku.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
S
A) 54
◦
B) 72
◦
C) 36
◦
D) 45
◦
R
OZWI ˛
AZANIE
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Dorysujmy odcinek SE.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
S
Zauwa ˙zmy, ˙ze trójk ˛
at HSE jest równoramienny i k ˛
at HSE jest k ˛
atem ´srodkowym opar-
tym na łuku HE o długo´sci równej
3
10
długo´sci okr˛egu. Zatem
]HSE
=
3
10
·
360
◦
=
108
◦
oraz
]SHE
=
180
◦
−
]HSE
2
=
180
◦
−
108
◦
2
=
36
◦
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
12
(1
PKT
)
Na rysunku poni ˙zej przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej y
=
ax
+
b.
+1
x
-1
+1
y
-1
Jakie nierówno´sci spełniaj ˛
a współczynniki a i b?
A) a
> −
1 i b
> −
1
B) a
< −
1 i b
< −
1
C) a
> −
1 i b
< −
1
D) a
< −
1 i b
> −
1
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Dana prosta przecina o´s Oy powy ˙zej prostej y
= −
1, wi˛ec b
> −
1. Ponadto z wykresu
wida´c, ˙ze
a
= (
a
+
b
) −
b
=
f
(
1
) −
f
(
0
) < −
1.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
13
(1
PKT
)
Nierówno´s´c 2x
−
5mx
+
4
<
8 jest spełniona przez ka ˙zd ˛
a liczb˛e rzeczywist ˛
a je ˙zeli
A) m
=
0
B) m
=
1
2
C) m
=
5
2
D) m
=
2
5
R
OZWI ˛
AZANIE
Zapiszmy nierówno´s´c w postaci
(
2
−
5m
)
x
<
4.
Wykresem lewej strony jest prosta i je ˙zeli ma ona w cało´sci znajdowa´c si˛e poni ˙zej prostej
y
=
4, to musi to by´c pozioma prosta, czyli musimy mie´c m
=
2
5
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
14
(1
PKT
)
Punkt M
= (
a, b
)
jest ´srodkiem odcinka o ko ´ncach A
= (
5, a
)
i B
= (−
3,
−
5
)
. Wówczas
A) a
=
b
B) a
=
b
+
3
C) a
=
b
+
5
D) b
=
a
+
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Ze wzoru na współrz˛edne ´srodka odcinka mamy układ równa ´n
(
a
=
5
−
3
2
b
=
a
−
5
2
.
Z pierwszego równania a
=
1, a wtedy z drugiego b
= −
2.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
15
(1
PKT
)
Stosunek długo´sci trzech kraw˛edzi prostopadło´scianu o obj˛eto´sci 240 jest równy 2:3:5. Pole
powierzchni tego prostopadło´scianu jest równe:
A) 124
B) 248
C) 496
D) 62
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Powiedzmy, ˙ze kraw˛edzie prostopadło´scianu maj ˛
a długo´sci: 2a, 3a, 5a.
2a
3a
5a
Z podanej obj˛eto´sci mamy
240
=
2a
·
3a
·
5a
=
30a
3
/ : 30
8
=
a
3
⇒
a
=
2.
Pole powierzchni prostopadło´scianu jest wi˛ec równe
2
(
3a
·
2a
+
3a
·
5a
+
2a
·
5a
) =
62a
2
=
248.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
16
(1
PKT
)
Ci ˛
ag
(
a
n
)
okre´slony dla n > 1 jest arytmetyczny oraz a
3
=
15 i a
4
=
11. Pierwszy wyraz tego
ci ˛
agu jest równy
A) a
1
=
23
B) a
1
=
3
C) a
1
=
19
D) a
1
=
7
R
OZWI ˛
AZANIE
Ró ˙znica ci ˛
agu
(
a
n
)
jest równa
r
=
a
4
−
a
3
=
11
−
15
= −
4.
St ˛
ad
a
2
=
a
3
−
r
=
15
+
4
=
19
a
1
=
a
2
−
r
=
19
+
4
=
23.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
17
(1
PKT
)
Kwot˛e 1000 zł wpłacamy do banku na 3 lata. Kapitalizacja odsetek jest dokonywana w tym
banku co kwartał, a roczna stopa procentowa wynosi 8%. Po trzech latach otrzymamy kwot˛e
A) 1000
· (
1, 08
)
12
B) 1000
· (
1, 2
)
3
C) 1000
· (
1, 02
)
12
D) 1000
· (
1, 02
)
3
Materiał pobrany z serwisu
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Oprocentowanie roczne wynosi 8%, czyli kwartalne wynosi
8%
4
=
2%.
Korzystamy ze wzoru na procent składany.
K
12
=
1000
· (
1
+
0, 02
)
12
=
1000
· (
1, 02
)
12
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
18
(1
PKT
)
Pole równoległoboku o bokach długo´sci 6 i 10 oraz k ˛
acie ostrym 30
◦
jest równe
A) 60
B) 30
√
3
C) 30
D) 60
√
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy równoległobok.
10
6
h
30
o
Sposób I
Ze wzoru z sinusem na pole równoległoboku mamy
P
=
6
·
10 sin 30
◦
=
60
·
1
2
=
30.
Sposób II
Obliczamy wysoko´s´c równoległoboku.
h
6
=
sin 30
◦
=
1
2
⇒
h
=
3.
Zatem
P
=
10
·
3
=
30.
Odpowied´z: C
Materiał pobrany z serwisu
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
19
(1
PKT
)
K ˛
at α w trójk ˛
acie prostok ˛
atnym przedstawionym na rysunku spełnia warunek sin α
=
5
13
.
Bok CA tego trójk ˛
ata ma długo´s´c:
26
α
A
B
C
A) 10
B) 24
C) 12
D) 5
R
OZWI ˛
AZANIE
Z podanego sinusa obliczamy długo´s´c boku BC.
5
13
=
sin α
=
BC
AB
=
BC
26
⇒
BC
=
10.
St ˛
ad
AC
=
p
AB
2
−
BC
2
=
√
676
−
100
=
√
576
=
24.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
20
(1
PKT
)
Odległo´s´c mi˛edzy ´srodkami okr˛egów o równaniach
(
x
−
4
)
2
+ (
y
+
3
)
2
=
16 oraz
(
x
+
3
)
2
+
(
y
−
2
)
2
=
9 jest równa
A)
√
74
B)
√
26
C) 5
√
2
D)
√
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Pierwszy okr ˛
ag ma ´srodek A
= (
4,
−
3
)
, a drugi B
= (−
3, 2
)
. Odległo´s´c ´srodków jest wi˛ec
równa
AB
=
q
(−
3
−
4
)
2
+ (
2
+
3
)
2
=
√
49
+
25
=
√
74.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
21
(1
PKT
)
Pole powierzchni bocznej sto ˙zka wynosi 8π. Je ˙zeli przekrój osiowy sto ˙zka jest trójk ˛
atem
równobocznym, to pole tego przekroju jest równe:
A) 4π
B) 8
√
3
C) 4
√
3
D) 8π
Materiał pobrany z serwisu
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Szkicujemy sto ˙zek.
a
a/2
a/2
Z obrazka wida´c, ˙ze promie ´n podstawy sto ˙zka jest równy połowie boku trójk ˛
ata równo-
bocznego b˛ed ˛
acego przekrojem. Zapiszmy informacj˛e o polu powierzchni bocznej.
8π
=
πrl
=
π
·
a
2
·
a
⇒
a
2
=
16
⇒
a
=
4.
W takim razie pole przekroju jest równe (korzystamy ze wzoru na pole trójk ˛
ata równobocz-
nego).
P
=
a
2
√
3
4
=
16
√
3
4
=
4
√
3.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
22
(1
PKT
)
Dany jest ci ˛
ag
(
a
n
)
o wyrazie ogólnym a
n
=
n
2
+
1, gdzie n > 1. Wówczas
A) a
n
+
1
=
n
2
+
2n
B) a
n
+
1
=
n
2
C) a
n
+
1
=
n
2
+
2n
+
2
D) a
n
+
1
=
n
2
−
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy (podstawiamy we wzorze n
+
1 zamiast n)
a
n
+
1
= (
n
+
1
)
2
+
1
=
n
2
+
2n
+
1
+
1
=
n
2
+
2n
+
2.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
23
(1
PKT
)
Rzucamy czterokrotnie symetryczn ˛
a monet ˛
a. Prawdopodobie ´nstwo, ˙ze otrzymamy co naj-
mniej dwa orły jest równe
A)
11
16
B)
5
8
C)
5
16
D)
7
8
Materiał pobrany z serwisu
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Obliczmy, ile jest zdarze ´n elementarnych
|
Ω
| =
2
·
2
·
2
·
2
=
16.
Sposób I
Wypisujemy zdarzenia sprzyjaj ˛
ace
(
o, o, o, o
)
(
r, o, o, o
)
,
(
o, r, o, o
)
,
(
o, o, r, o
)
,
(
o, o, o, r
)
(
r, r, o, o
)
,
(
r, o, r, o
)
,
(
r, o, o, r
)
,
(
o, r, r, o
)
,
(
o, r, o, r
)
,
(
o, o, r, r
)
.
Jest wi˛ec 11 zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych i prawdopodobie ´nstwo jest równe
11
16
.
Sposób II
Zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych jest sporo, wi˛ec łatwiej jest wypisa´c zdarzenia, które nie s ˛
a sprzyjaj ˛
a-
ce, czyli takie, w których otrzymali´smy mniej ni ˙z dwa orły:
(
r, r, r, r
)
,
(
o, r, r, r
)
,
(
r, o, r, r
)
,
(
r, r, o, r
)
,
(
r, r, r, o
)
.
W takim razie zdarze ´n sprzyjaj ˛
acych jest 16
−
5
=
11 i prawdopodobie ´nstwo jest równe
11
16
.
Odpowied´z: A
Zadania otwarte
Z
ADANIE
24
(2
PKT
)
Rozwi ˛
a ˙z nierówno´s´c 3x
−
2x
2
6 0.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozwi ˛
azujemy nierówno´s´c
3x
−
2x
2
6 0 /
· (−
1
)
2x
2
−
3x > 0
2x
x
−
3
2
> 0
x
∈ (−
∞, 0
i ∪
3
2
,
+
∞
.
Odpowied´z:
(−
∞, 0
i ∪
3
2
,
+
∞
Materiał pobrany z serwisu
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
25
(2
PKT
)
K ˛
at α jest ostry oraz tg α
=
2. Oblicz warto´s´c wyra ˙zenia
cos
3
α
−
cos α
sin
3
α
−
sin α
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy (korzystamy z jedynki trygonometrycznej).
cos
3
α
−
cos α
sin
3
α
−
sin α
=
cos α
(
cos
2
α
−
1
)
sin α
(
sin
2
α
−
1
)
=
−
cos α sin
2
α
−
sin α cos
2
α
=
sin α
cos α
=
tg α
=
2.
Odpowied´z: 2
Z
ADANIE
26
(2
PKT
)
Niesko ´nczony ci ˛
ag geometryczny
(
a
n
)
jest okre´slony wzorem a
n
= (−
6
) ·
3
n−2
2
n+3
, dla n > 1.
Oblicz iloraz q tego ci ˛
agu.
R
OZWI ˛
AZANIE
Iloraz ci ˛
agu geometrycznego jest równy ilorazowi jego dwóch s ˛
asiednich wyrazów, wi˛ec np.
q
=
a
2
a
1
=
(−
6
) ·
3
0
2
5
(−
6
) ·
3
−1
2
4
=
2
4
2
5
·
3
−
1
=
3
2
.
Odpowied´z: q
=
3
2
Z
ADANIE
27
(2
PKT
)
Liczby a i b s ˛
a nieparzyste i daj ˛
a przy dzieleniu przez 4 ró ˙zne reszty. Wyka ˙z, ˙ze suma kwa-
dratów tych liczb nie jest podzielna przez 4.
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli liczby a i b s ˛
a nieparzyste i daj ˛
a ró ˙zne reszty z dzielenia przez 4, to musz ˛
a przy
dzieleniu przez 4 dawa´c reszty 1 i 3. Bez zmniejszania ogólno´sci mo ˙zemy przyj ˛
a´c, ˙ze a
=
4m
+
1, b
=
4n
+
3. W takim razie
a
2
+
b
2
= (
4m
+
1
)
2
+ (
4n
+
3
)
2
=
16m
2
+
8m
+
1
+
16n
2
+
24n
+
9
=
=
4
(
4m
2
+
2m
+
4n
2
+
6n
+
2
) +
2.
Wida´c teraz, ˙ze liczba ta nie dzieli si˛e przez 4 (daj˛e reszt˛e 2 przy dzieleniu przez 4).
Z
ADANIE
28
(2
PKT
)
Wiadomo, ˙ze a
>
0 i a
2
+
1
a
2
=
a
+
1
a
. Wyka ˙z, ˙ze a
+
1
a
=
2.
Materiał pobrany z serwisu
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Niech x
=
a
+
1
a
. Wtedy x
>
0 oraz
x
2
=
a
+
1
a
2
=
a
2
+
2
·
a
·
1
a
+
1
a
2
=
2
+
a
2
+
1
a
2
.
W takim razie dan ˛
a równo´s´c mo ˙zemy zapisa´c w postaci
x
2
=
2
+
x
x
2
−
x
−
2
=
0
∆
=
1
+
8
=
9
x
=
1
−
3
2
= −
1
lub
x
=
1
+
3
2
=
2.
Poniewa ˙z x
>
0, mamy st ˛
ad x
=
2.
Z
ADANIE
29
(2
PKT
)
Oblicz sum˛e wszystkich liczb trzycyfrowych, których cyfra jedno´sci jest równa 3 lub 8.
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczby, o których mowa s ˛
a kolejnymi wyrazami ci ˛
agu arytmetycznego o ró ˙znicy 5:
a
1
=
103, a
2
=
108, a
3
=
113, . . . , a
n
=
998.
Obliczmy, ile wyrazów ma ten ci ˛
ag.
998
=
a
n
=
a
1
+ (
n
−
1
)
r
998
=
103
+
5
(
n
−
1
)
895
=
5
(
n
−
1
)
/ : 5
179
=
n
−
1
⇒
n
=
180.
W takim razie suma tych liczb jest równa
S
180
=
a
1
+
a
n
2
·
n
=
103
+
998
2
·
180
=
1101
·
90
=
99090.
Odpowied´z: 99090
Z
ADANIE
30
(2
PKT
)
Punkt E jest ´srodkiem boku BC równoległoboku ABCD, a odcinek AE przecina przek ˛
atn ˛
a
BD w punkcie F. Wyka ˙z, ˙ze
|
FD
| =
2
|
BF
|
.
Materiał pobrany z serwisu
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
A
B
C
D
F
E
Zauwa ˙zmy, ˙ze trójk ˛
aty AFD i EFB maj ˛
a równe k ˛
aty, wi˛ec s ˛
a podobne. W takim razie
FD
FB
=
DA
BE
=
CB
BE
=
2.
Z
ADANIE
31
(4
PKT
)
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójk ˛
atnego jest równe 9
√
3 cm
2
, a jego pole po-
wierzchni bocznej jest równe 18
√
3 cm
2
. Oblicz obj˛eto´s´c tego ostrosłupa.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
A
B
C
S
D
a
H
E
h
Wiemy, ˙ze trójk ˛
at równoboczny w podstawie ma pole 9
√
3, wi˛ec mamy
9
√
3
=
a
2
√
3
4
⇒
a
2
=
36
⇒
a
=
6.
W takim razie z podanego pola powierzchni bocznej mamy równanie
3
·
1
2
ah
=
18
√
3
3
·
1
2
·
6h
=
18
√
3
/ : 9
h
=
2
√
3.
Materiał pobrany z serwisu
15
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Obliczmy jeszcze długo´s´c odcinka DE – jest ona równa długo´sci promienia okr˛egu wpisa-
nego w postaw˛e.
DE
=
1
3
·
AD
=
1
3
·
a
√
3
2
=
√
3.
Z trójk ˛
ata prostok ˛
atnego DES mamy
H
=
p
h
2
−
DE
2
=
√
12
−
3
=
3.
Obj˛eto´s´c ostrosłupa jest wi˛ec równa
V
=
1
3
·
P
p
·
H
=
1
3
·
9
√
3
·
3
=
9
√
3.
Odpowied´z: V
=
9
√
3 cm
3
Z
ADANIE
32
(4
PKT
)
W rombie ABCD dane s ˛
a A
= (−
1,
−
5
)
i punkt przeci˛ecia przek ˛
atnych S
= (
2,
−
2
)
. Wierz-
chołek B le ˙zy na prostej y
=
1
3
x
−
4. Oblicz współrz˛edne pozostałych wierzchołków rombu.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
+1
+2
+5
x
-5
-2
-1
+1
y
A
B
C
D
S
Poniewa ˙z przek ˛
atne rombu dziel ˛
a si˛e na połowy, punkt S jest ´srodkiem odcinków AC i
BD. To pozwala łatwo wyznaczy´c współrz˛edne punktu C
= (
x
C
, y
C
)
.
(
2,
−
2
) =
S
=
A
+
C
2
=
−
1
+
x
C
2
,
−
5
+
y
C
2
(
4
= −
1
+
x
C
⇒
x
C
=
5
−
4
= −
5
+
y
C
⇒
y
C
=
1.
Zatem C
= (
5, 1
)
.
Mo ˙zemy teraz napisa´c równanie przek ˛
atnej BD rombu – jest to prosta prostopadła do
AC i przechodz ˛
aca przez S. Równanie prostej BD napiszemy na kilka sposobów.
Materiał pobrany z serwisu
16
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób I
Je ˙zeli punkt P
= (
x, y
)
le ˙zy na prostej BD to
AP
=
CP
AP
2
=
CP
2
(
x
+
1
)
2
+ (
y
+
5
)
2
= (
x
−
5
)
2
+ (
y
−
1
)
2
x
2
+
2x
+
1
+
y
2
+
10y
+
25
=
x
2
−
10x
+
25
+
y
2
−
2y
+
1
12y
= −
12x
y
= −
x.
Szukamy teraz punktu wspólnego B prostych BD i danej prostej y
=
1
3
x
−
4.
(
y
= −
x
y
=
1
3
x
−
4
Mamy zatem
−
x
=
1
3
x
−
4
4
=
4
3
x
⇒
x
=
3.
St ˛
ad y
= −
x
= −
3 i B
= (
3,
−
3
)
. Pozostało wyznaczy´c współrz˛edne punktu D.
(
2,
−
2
) =
S
=
B
+
D
2
=
3
+
x
D
2
,
−
3
+
y
D
2
(
4
=
3
+
x
D
⇒
x
D
=
1
−
4
= −
3
+
y
D
⇒
y
D
= −
1.
Zatem D
= (
1,
−
1
)
.
Sposób II
Równanie prostej BD mo ˙zemy napisa´c jako równanie prostej prostopadłej do AC i prze-
chodz ˛
acej przez S. Najpierw wyznaczmy równanie prostej AC. Szukamy prostej w postaci
y
=
ax
+
b. Podstawiaj ˛
ac współrz˛edne punktów A i C mamy
(
−
5
= −
a
+
b
1
=
5a
+
b.
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 6
=
6a, czyli a
=
1. Współczynnika b
mo ˙zemy nie oblicza´c, bo nie jest nam potrzebny. Prosta BD jako prostopadła do AC ma rów-
nanie postaci y
= −
x
+
b. Współczynnik b wyznaczmy podstawiaj ˛
ac współrz˛edne punktu
S.
−
2
= −
2
+
b
⇒
b
=
0.
Zatem prosta BD ma równanie y
= −
x. Współrz˛edne punktów B i D wyznaczamy tak samo
jak w poprzednim sposobie.
Materiał pobrany z serwisu
17
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób III
Równanie prostej BD mo ˙zna łatwo napisa´c korzystaj ˛
ac ze wzoru na równanie prostej pro-
stopadłej do wektora
→
v
= [
p, q
]
i przechodz ˛
acej przez punkt P
= (
x
0
, y
0
)
p
(
x
−
x
0
) +
q
(
y
−
y
0
) =
0.
W naszej sytuacji
→
v
=
−→
AC
= [
5
+
1, 1
+
5
] = [
6, 6
]
i P
=
S
= (
2,
−
2
)
. Prosta BD ma wi˛ec równanie
6
(
x
−
2
) +
6
(
y
+
2
) =
0
/ : 6
x
−
2
+
y
+
2
=
0
y
= −
x.
Współrz˛edne punktów B i D wyznaczamy tak samo jak w I sposobie.
Odpowied´z: B
= (
3,
−
3
)
, C
= (
5, 1
)
, D
= (
1,
−
1
)
Z
ADANIE
33
(5
PKT
)
Grupa znajomych postanowiła raz w tygodniu wynajmowa´c sal˛e gimnastyczn ˛
a. Jednorazo-
wa opłata za wynaj˛ecie sali wynosiła 240 zł i podzielono j ˛
a na równe cz˛e´sci tak, aby ka ˙zdy
ze znajomych płacił tyle samo. W drugim tygodniu do grupy doł ˛
aczyły jeszcze dwie osoby
i wówczas opłata przypadaj ˛
aca na ka ˙zdego ze znajomych zmniejszyła si˛e o 4 złote. Ile osób
liczyła ta grupa w pierwszym tygodniu u ˙zytkowania sali?
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli oznaczymy liczb˛e znajomych przez n, to pocz ˛
atkowo ka ˙zda z osób miała płaci´c
240
n
złotych. Po doł ˛
aczeniu dwóch osób opłata zmniejszyła si˛e o 4 złote i jednocze´snie wynosiła
240
n
+
2
. Mamy wi˛ec równanie
240
n
−
4
=
240
n
+
2
/
·
n
(
n
+
2
)
240
(
n
+
2
) −
4n
(
n
+
2
) =
240n
/ : 4
60
(
n
+
2
) −
n
(
n
+
2
) =
60n
60n
+
120
−
n
2
−
2n
=
60n
n
2
+
2n
−
120
=
0
∆
=
4
+
4
·
120
=
484
=
22
2
n
=
−
2
−
22
2
<
0
∨
n
=
−
2
+
22
2
=
10.
Ujemne rozwi ˛
azanie odrzucamy i mamy n
=
10.
Odpowied´z: 10 osób
Materiał pobrany z serwisu
18
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2014 Matura 15 03 2014 odpid 28 Nieznany (2)
2014 Matura 05 04 2014
2014 Matura 05 04 2014 odp
2014 Matura 05 04 2014
2013 biologia czerwiec odpid 28 Nieznany (2)
2014 05 04 THE ESSENTIALS OF A HEALTHY FAMILY part 3
matura probna 2014 3 id 288983 Nieznany
1 04 2014 Pietrzykid 8830 Nieznany (2)
2014 Matura 29 04 2014 odp
14 04 2014 Lechowskiid 15338 Nieznany (2)
EKONOMETRIA I PROGNOZOWANIE PROCESÓW EKONOMICZNYCH 05.04.2014, IV rok, Ćwiczenia, Ekonometria i prog
12 05 2014 Lechowskiid 13360 Nieznany (2)
15 04 2014 Korycinskaid 16080 Nieznany (2)
15 04 2014 Pietrzykid 16081 Nieznany (2)
2014 10 28 Ekonomia
więcej podobnych podstron