Elektronika inaczej cz. 34 –

uk³ady logiczne

Algebra logiki

Y=X

X

X1

Y=X1 + X2

X2

.

Y=X1

X1

X2

X2

a)

b)

c)

Rys. 1 Symbole elementów logicznych

X1

X2

Y

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

dnim oznaczeniem pochodz¹cym z jêzyka
angielskiego jest OR.

Symbol elementu logicznego reali-

zuj¹cego t¹ funkcjê pokazuje rysunek 1b.
Tablica stanów ma postaæ nastêpuj¹c¹:

W dziedzinie elementów logicznych

wykorzystywany jest tak¿e element reali-
zuj¹cy zmianê wartoœci na przeciwn¹.
Wartoœæ 1 zastêpowana jest wartoœci¹ 0
i odwrotnie. Operacja ta nazywana jest
negacj¹. Z angielskiego oznaczana jest ja-
ko NOT. Przeciwne znaczenie wartoœci na-
zywane jest dope³nieniem i oznaczane
kresk¹ nad symbolem zmiennej.

Symbol elementu logicznego negacji

pokazany jest na rysunek 1c. Negacjê
oznacza charakterystyczne kó³ko na wyj-
œciuelementu. Znak kó³ka umieszczony na
wejœciu elementu logicznego oznacza ne-
gacjê zmiennej wejœciowej. Umieszczo-
ny na wyjœciu dotyczy negacji zmiennej
wyjœciowej.

Dla uproszczenia operowaliœmy tylko

dwoma zmiennymi wejœciowymi. Zmien-
nych wejœciowych realizuj¹cych iloczyn
lub sumê logiczn¹ mo¿e byæ wiêcej.

Zasadnicze znaczenie w analizie za-

le¿noœci logicznych (uk³adów logicznych)
ma twierdzenie de Morgana. Twierdzenie
to nazywane jest czêsto to¿samoœci¹ i opi-
suj¹ je nastêpuj¹ce zale¿noœci logiczne:

lub

Ilustracj¹ twierdzenia de Morgana

jest rysunek 2 przedstawiaj¹cy tzw. ele-
menty równowa¿ne. Dzia³anie elemen-
tów logicznych z rysunku 2a okreœla na-
stêpuj¹ca tablica stanów:

Element taki nazywany jest elemen-

tem NIE–LUB (z angielskiego NOR).

Elementy z rysunekunek 2b funkcjo-

nuj¹ wed³ug kolejnej tablicy stanów:

Nazywane

s¹

elementami

NIE–I (NAND). Obie te operacje s¹ do-
pe³nieniami, odpowiednio operacji OR
czy AND.

Elementy logiczne NAND i NOR s¹

czêœciej stosowane ni¿ elementy OR
i AND z uwagi na prostsz¹ realizacjê
w technice uk³adów scalonych. Wszystkie
z³o¿one funkcje logiczne mog¹ byæ reali-
zowane za pomoc¹ prostych elementów
NAND lub NOR.

Opiszemy prost¹ sytuacjê korzystaj¹c

z jêzyka zmiennych cyfrowych i operacji
logicznych. Chcemy napiæ siê kawy lub
herbaty w zak³adowym (szkolnym) barku.
Wykorzystuj¹c zale¿noœci logiczne rozwa-
¿ymy warunki realizacji tego zamiaru.
Rozpoczniemy od ustalenia zmiennych
wejœciowych X i zmiennej wyjœciowej Y:
X1 = 1 (jest kawa), X1 = 0 (nie ma
kawy),

X2 = 1 (jest herbata), X1 = 0 (nie ma
herbaty),
X3 = 1 (barek jest otwarty), X3 = 0
(barek jest zamkniêty),
Y = 1 (otrzymaliœmy napój), Y = 0 (nic
z tego).

Wyra¿enie opisuj¹ce t¹ sytuacjê ma

nastêpuj¹c¹ postaæ: jeœli jest herbata lub
kawa i barek jest otwarty to siê napijemy.
W formie zale¿noœci logicznej:

Uk³ady logiczne realizuj¹ce t¹ funkcjê

pokazane s¹ na rysunku. 3.

Uk³ady te wykorzystuj¹ elementy lo-

giczne AND i OR. Spróbujmy to samo zre-
alizowaæ korzystaj¹c z elementów z nega-
cj¹ (NAND i NOR). Odpowiednie uk³ady
logiczne pokazuje rysunek 4. Ich analizê
pozostawiam Czytelnikom.

Zwarcie wejϾ bramki NAND lub

NOR przekszta³ca jej dzia³anie do bramki
NOT (rys. 4a).

W rozpatrzonym przyk³adzie mieli-

œmy doczynienia z prostymi sytuacjami,
które mo¿na by³o przedstawiæ jako dwa
stany (jest lub nie ma – 1 albo 0). Czêsto
jednak wielkoœci wejœciowe mog¹ przyj-
mowaæ wiele dyskretnych (stopniowych)
wartoœci np. liczb dziesiêtnych. Do ich
rozró¿nienia niezbêdne oka¿e siê wyko-
rzystanie wiêkszej liczby zmiennych dwu-
stanowych (0 lub 1). Nazywanych tak¿e
binarnymi lub dwójkowymi.

Spróbujemy przedstawiæ kolejne cy-

fry dziesiêtne od 0÷9 za pomoc¹ liczb
dwójkowych. Jedna cyfra przyjmuj¹ca
stan 0 lub 1 mo¿e przedstawiæ dwie war-
toœci. Dwie cyfry dwójkowe umo¿liwiaj¹

X2

+

X2

X1

X2

Y=X1

b)

X1

Y=X1 . X2

Y=X1 . X2

X1

X2

X2

X2

+

Y=X1

X1

a)

Rys. 2 Elementy logiczne równowa¿ne

X1

X

2Y

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

X1

X2

Y

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

X1

X

2Y

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Przyk³ady realizacji funkcji
logicznej

X2

X3

. X3

X2

X1

b)

X1 X3

.

Y=

. X3

X1

. X3

X2

+

X2

X1

X3

X1+X2

Y=(X1+X2) X3

a)

.

Rys. 3 Realizacja funkcji za pomoc¹

elementów OR i AND

Kodowanie i dekodowanie –

liczby dwójkowe

14

11/98

uzyskanie 2×2 = 4 kombinacji i tym sa-
mym przedstawienie 4 wartoœci. Dodanie
kolejnej cyfry dwójkowej zwiêksza dwu-
krotnie iloœæ mo¿liwych wartoœci. Zapis
sk³adaj¹cy siê z n cyfr dwójkowych umo¿-
liwia przedstawienie 2n wartoœci. Trzy
cyfry umo¿liwiaj¹ przedstawienie 8 war-
toœci. Chc¹c uzyskaæ nasze 10 wartoœci
musimy wykorzystaæ cztery cyfry dwójko-
we, chocia¿ za ich pomoc¹ mo¿emy
przedstawiæ a¿ 16 wartoœci. Cyfry te
oznaczymy kolejno n0, n1, n2, n3.

Proces przedstawienia kolejnych war-

toœci liczby dziesiêtnej za pomoc¹ odpo-
wiedniego zestawu 0 i 1 cyfr binarnych
nazywa siê kodowaniem. Kodem nazwie-
my tablicê, w której ka¿dej liczbie zmien-
nej dyskretnej przypisuje siê kombinacjê
cyfr dwójkowych.

Istniej wiele kodów stworzonych do

ró¿nych celów. Najbardziej popularnym
jest tzw. naturalny kod dwójkowy. W ko-
dzie tym poszczególne pozycje cyfr posia-
daj¹ tzw. wagê. Wag¹ nazwiemy cyfrê 2
podniesion¹ do potêgi odpowiadaj¹cej
pozycji cyfry. Potêgi te zaczynaj¹ siê od 0.
Na pozycji skrajnej prawej zawsze wystê-
puj¹ jednoœci (20 = 1). Waga tej pozycji

wynosi 1. Jedynka binarna na tej pozycji
odpowiada 1 dziesiêtnej. Zero odpowia-
da 0 dziesiêtnemu. Kolejna pozycja ma
wagê

2

(21

=

2),

nastêpna

22 = 4, kolejna 23 = 8 itd. Pojêcie wagi
pomaga przy zamianie liczb dwójkowych
na dziesiêtne np.:

Kod zawarty w powy¿szej tablicy pre-

zentuje kod binarny dla pierwszych dzie-
siêciu cyfr dziesiêtnych. Jest on czêsto wy-
korzystywany do przedstawiania cyfr
dziesiêtnych i nazywany jest kodem bi-
narno – dziesiêtnym, kodem BCD.

Na liczbach binarnych mo¿na reali-

zowaæ operacje arytmetyczne wykorzy-
stuj¹c te same zasady co przy liczbach
dziesiêtnych. Operacje na liczbach dwój-
kowych wykonuj¹ w³aœnie komputery.
Zauwa¿my, ¿e w systemie dwójkowym
1 + 1 = 10, a 10 - 1 = 1.

Podobnie jak przy liczbach dziesiêt-

nych suma sk³ada siê liczby S na tej samej
pozycji i tzw. przeniesienia C na wy¿sz¹
pozycjê.

Przedstawimy

sumowanie

dwóch zmiennych X1 i X2 w postaci tabli-
cy stanów.

Uk³ad realizuj¹cy operacje dodawa-

nia dwóch cyfr binarnych nazywany jest
pó³sumatorem. Trzeba podkreœliæ, ¿e do-
dawanie nie jest równowa¿ne z funkcj¹
logiczn¹ OR. Dodawanie dwóch cyfr 1
daje sumê S = 0 i przeniesienie C = 1.

Suma logiczna da wynik 1. Na podstawie
tablicy stanów pó³sumatora mo¿na okre-
œliæ jego funkcje logiczn¹.

Dwie realizacje tej funkcji przedsta-

wiono na rysunku 5.

Proponujê samodzielne sprawdzenie

poprawnoœci tych uk³adów.

Funkcja S opisana podanym wy¿ej

równaniem jest czêsto wykorzystywana w
praktyce i nazywana jest ró¿nic¹
symetryczn¹ lub XOR. Okreœlona jest
nastêpuj¹c¹ tablic¹ stanów:

Zabieg odwrotny do kodowania, czy-

li realizuj¹cy ponowne odzyskanie zako-
dowanej liczby nazywany jest dekodowa-
niem. Dekodowanie mo¿e byæ przedsta-
wione w postaci wyra¿eñ logicznych
i zrealizowane na elementach logicz-
nych. Uk³ady dekoduj¹ce nazywane s¹
dekoderami.

Jako przyk³ad rozwa¿ymy funkcjê

i uk³ad dekodera wykrywaj¹cego kombi-
nacjê cyfr binarnych (0101) odpowiada-
j¹c¹ liczbie dziesiêtnej 5. Kolejnym pozy-
cjom liczby binarnej od n_0 do n_3 przy-
piszemy zmienne X1 do X4. Wyst¹pienie
podanej kombinacji po-winno na wyjœciu
uk³adu dawaæ stan Y = 1. Zadanie to re-
alizuje równanie logiczne o postaci:

Odpowiedni zaœ uk³ad logiczny deko-

dera pokazuje rysunek 6.

Uk³ad ten zawiera dwa inwertery

(NOT) i czterowejœciow¹ bramkê NOR.
Tak¿e proponujê Czytelnikom sprawdze-
nie poprawnoœci dzia³ania tego uk³adu.

D

n n n

n

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

2

0

0

1

0

3

0

0

1

1

4

0

1

0

0

5

0

1

0

1

6

0

1

1

0

7

0

1

1

1

8

1

0

0

0

9

1

0

0

1

3

2

1

0

X1

X2

S

C

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

C

X2

S

X1

b)

S

X2

C

X1

a)

Rys. 5 Realizacje pó³sumatora

X1

X2

S

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

X4

X3

X2

Y

X1

Rys. 6 Uk³ad logiczny dekodera

Liczba dziesiêtna Kod 1248

à

R.K.

X2 X3

.

X3

X2

+ X2 X3

.

X1 X3

.

. X3

X1

b)

X1

X2
X3

X3

X1

X1 + X2

a)

(X1+X2) X3

.

Rys. 4 Realizacja funkcji z wykorzystaniem

elementów NOR i NAND

15

11/98