Podstawy fizyki
– sezon 1
VII. Ruch drgający
Agnieszka Obłąkowska-Mucha
WFIiS
, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek,
D11, pok. 111
amucha@agh.edu.pl
http://home.agh.edu.pl/~amucha
Ruch skutkiem działania siły
A.Obłąkowska-Mucha
2
▸
Przypominamy: ruch ciała spowodowany jest (nie-)działaniem siły. Można
znaleźć położenie, prędkość i przyspieszenie ciała, jeżeli znamy siłę, która na
ciało działa.
▸
Do tej pory pokazano dwa przykłady:
𝐹
𝑔
= mg
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑚𝑔
𝑎(𝑡) = 𝑔
𝑣(𝑡) = 𝑣
0
+ 𝑎𝑡
𝑥 𝑡 = 𝑥
0
+ 𝑣
0
𝑡 +
1
2
𝑎𝑡
2
Rozwiązujemy:
𝑚
𝑑𝑣 (𝑡)
𝑑𝑡
= 𝐹 (𝑟 , 𝑣 , 𝑡)
𝑣 𝑡 =
𝑚𝑔
𝑏
(1 − 𝑒
−
𝑏
𝑚
𝑡
)
•
ruch ciała w polu siły ciężkości
𝐹
𝑜𝑝
= −𝑏𝑣
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑚𝑔 − 𝑏𝑣
•
ruch ciała w polu siły ciężkości z
oporem powietrza
sprawdzam!:
Siła harmoniczna
A.Obłąkowska-Mucha
3
▸
Załóżmy, że chcemy opisać ruch pod wpływem siły postaci:
𝑭 𝒙 = −𝒌𝒙
i.
Jaką sytuację fizyczną opisuje taka siła?
ii.
Napiszmy równania ruchu:
iii.
Rozwiążmy równania ruchu:
iv.
Zinterpretujmy rozwiązania.
Jest to siła proporcjonalna do przemieszczenia i skierowana
przeciwnie do przemieszczenia
–
SIŁA HARMONICZNA
𝒎
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= −𝒌𝒙
𝒎
𝒅
𝟐
𝒙
𝒅𝒕
𝟐
= −𝒌𝒙
𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜑
𝑣 𝑡 = −𝐴𝜔 sin 𝜔𝑡 + 𝜑
𝑎 𝑡 = −𝐴𝜔
2
cos (𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑨
- amplituda,
𝝎
– częstość,
𝝋
-
faza początkowa
Ruch harmoniczny - interpretacja
A.Obłąkowska-Mucha
4
▸
Ruch pod wpływem siły harmonicznej nazywamy
ruchem harmonicznym
.
Nie każdy ruch okresowy jest ruchem harmonicznym.
𝒙
𝒎𝒂𝒙
= 𝑨
𝒗
𝒎𝒂𝒙
= 𝑨𝝎
𝒂
𝒎𝒂𝒙
= 𝑨𝝎
𝟐
▸
Położenie, prędkość i
przyspieszenie
ciała są okresowymi funkcjami czasu!
Z.K
ą
ko
l
Energia drgań
A.Obłąkowska-Mucha
5
▸
Energia kientyczna i potencjalna w ruchu harmonicznym:
▸
Energia całkowita:
𝐸
𝑘
𝑡 =
1
2
𝑚𝑣
2
𝑡 =
1
2
𝑚𝐴
2
𝜔
2
𝑠𝑖𝑛
2
(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝐸
𝑝
𝑡 =
1
2
𝑚𝑥
2
𝑡 =
1
2
𝑘𝐴
2
𝑐𝑜𝑠
2
(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝐸
𝑐
= 𝐸
𝑝
𝑡 + 𝐸
𝑘
𝑡 =
1
2
𝑘𝐴
2
𝑐𝑜𝑠
2
(𝜔𝑡 + 𝜑)+𝑠𝑖𝑛
2
(𝜔𝑡 + 𝜑) =
1
2
𝑘𝐴
2
𝜔 =
𝑘
𝑚
Energia kinetyczna i potencjalna zmieniają się
okresowo z czasem,
całkowita energia jest stała
Ruch drgający w przykładach
A.Obłąkowska-Mucha
6
▸
Oscylator harmoniczny
– masa zawieszona na sprężynie. Ruch masy m
spowodowany jest siłą sprężystości sprężyny
𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜑
𝑣 𝑡 = −𝐴𝜔 sin 𝜔𝑡 + 𝜑
𝑎 𝑡 = −𝐴𝜔
2
cos (𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑻 =
𝟐𝝅
𝝎
= 𝟐𝝅
𝒎
𝒌
Ruch drgający w przykładach
A.Obłąkowska-Mucha
7
▸
Wahadło matematyczne
▸
Wahadło fizyczne
Ruch wahadła matematycznego i
fizycznego jest harmoniczny TYLKO
dla
MAŁYCH WYCHYLEŃ
, tzn.
takich, że:
𝐬𝐢𝐧 𝝋 = 𝝋
wyprowadzam!
𝑻 = 𝟐𝝅
𝒍
𝒈
Drgania tłumione
A.Obłąkowska-Mucha
8
▸
Załóżmy teraz, że masa drgająca na sprężynie zanurzona jest w gęstej
cieczy.
▸
Obserwujemy tłumienie drgań – ruch odbywa się pod wpływem siły
sprężystości
𝐅
𝐬
= −𝒌𝒙
i siły tłumiącej
𝐅
𝐭ł
= −𝒃𝒗
:
𝒎
𝒅
𝟐
𝒙
𝒅𝒕
𝟐
= −𝒌𝒙 − 𝒃
𝒅𝒙
𝒅𝒕
▸
Rozwiązanie równania ruchu oscylatora tłumionego:
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒
−
𝑏𝑡
2𝑚
cos(𝜔
′
𝑡 + 𝜑)
𝜔
′
=
𝑘
𝑚
−
𝑏
2
4𝑚
2
▸
Energia:
𝐸 𝑡 =
1
2
𝑘𝐴 𝑒
−
𝑏𝑡
2𝑚
sprawdzam!
II Zas.Dyn.New:
𝛽
Drgania tłumione w zależności od tłumienia
A.Obłąkowska-Mucha
9
▸
Rozwiązanie równania ruchu oscylatora tłumionego:
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒
− 𝑏𝑡
2𝑚
cos(𝜔
′
𝑡 + 𝜑)
amplituda drgań tłumionych
𝜷 =
𝒃
𝟐𝒎
=
𝟏
𝝉
𝜷 −
współczynnik tłumienia,
𝝉
-
stała czasowa
𝜔
′
=
𝑘
𝑚
−
𝑏
2
4𝑚
2
= 𝜔
0
2
− 𝛽
2
częstość kołowa drgań tłumionych
▸
W zależności od współczynnika
tłumienia:
•
gdy
𝑏
2
< 4𝑚𝑘 drgania tłumione,
•
gdy
𝑏
2
= 4𝑚𝑘 tłumienie krytyczne
,
•
gdy
𝑏
2
> 4𝑚𝑘 aperiodyczny powrót do
stanu
równowagi
𝛽 =
𝑏
2𝑚
współczynnik tłumienia
częstość kołowa
drgań własnych
Drgania z siłą wymuszającą
A.Obłąkowska-Mucha
10
▸
Tłumienie drgań można kompensować działając siłą wymuszającą, np.
okresową:
𝐹
𝑧
= 𝐹
0
𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡
𝒎
𝒅
𝟐
𝒙
𝒅𝒕
𝟐
+ 𝒃
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+ 𝒌𝒙 = 𝑭
𝟎
𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕
𝜷 =
𝒃
𝟐𝒎
=
𝟏
𝝉
;
𝝎
𝟎
=
𝒌
𝒎
; 𝜶
𝟎
=
𝑭
𝟎
𝒎
II Z.D.N:
▸
Rozwiązujemy?
𝒅
𝟐
𝒙
𝒅𝒕
𝟐
+
𝟏
𝝉
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+ 𝝎
𝟎
𝒙 = 𝜶
𝟎
𝒔𝒊𝒏 𝝎𝒕
Załóżmy, że rozwiązanie jest postaci:
𝒙 𝒕 = 𝑨
𝟎
𝝎 𝒔𝒊𝒏( 𝝎𝒕 + 𝝋(𝝎))
co oznacza drgania niegasnące, ale zarówno
amplituda, jak i przesunięcie
fazowe są funkcją częstości siły wymuszającej
𝜔
Drgania z siłą wymuszającą
A.Obłąkowska-Mucha
11
▸
Pokazać można, że amplituda drgań z siłą wymuszającą wynosi:
𝐴
0
𝜔 =
𝛼
0
𝜔
0
2
− 𝜔
2 2
+ 4𝛽
2 1/2
a przesunięcie fazowe:
𝑡𝑔 𝜑 = −
2𝛽𝜔
𝜔
0
2
− 𝜔
2
▸
Gdy częstość siły wymuszającej
𝜔
będzie w
pobliżu częstości drgań własnych
𝜔
0
, a
tłumienie
𝛽
nie będzie za duże:
amplituda wzrośnie do maksimum!
▸
Może dojść do zjawiska
REZONANSU
Rezonans
A.Obłąkowska-Mucha
12
▸
Częstość rezonansowa (obliczymy ją poprzez znalezienie maksimum
A
0
(𝜔)
):
𝜔
𝑟
= 𝜔
0
2
− 2𝛽
2
▸
Odpowiada ona amplitudzie rezonansowej:
𝐴
𝑟
=
𝛼
0
2𝛽 𝜔
0
2
− 2𝛽
2
▸
Dla drgań swobodnych, dla których:
𝜔
𝑟
=
𝜔
0
przesunięcie fazowe
𝜑
pomiędzy siłą a wychyleniem wynosi:
𝜑 =
𝜋
2
.
▸
Oznacza to, że siła wymuszająca jest przesunięta o
𝜋
2
w stosunku do
wychylenia.
▸
Ale za to prędkość (policz!) jest w fazie z siłą wymuszającą!
▸
Moc zależy od prędkości, zatem w warunkach rezonansu dochodzi do
maksymalnej absorbcji mocy przez oscylator
– znaczenie przy rezonansie
elektrycznym
Drgania, rezonanse i życie
A.Obłąkowska-Mucha
13
Składanie drgań harmonicznych
A.Obłąkowska-Mucha
14
▸
Zasada superpozycji
– jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm drganiom, to
jego wychylenie jest sumą wychyleń wynikających z każdego ruchu z osobna.
▸
Składanie drgań zachodzących w tych
samych kierunkach
:
𝑥
1
𝑡 = 𝐴
1
cos (𝜔
1
𝑡 + 𝜑
1
)
𝑥
2
𝑡 = 𝐴
2
cos (𝜔
2
𝑡 + 𝜑
2
)
𝒙
𝒘
𝒕 = 𝒙
𝟏
𝒕 + 𝒙
𝟐
(𝒕)
▸
Składanie drgań w kierunkach
wzajemnie prostopadłych
:
𝑥 𝑡 = 𝐴
𝑥
cos (𝜔
𝑥
𝑡 + 𝜑
𝑥
) y 𝑡 = 𝐴
𝑦
cos (𝜔
𝑦
𝑡 + 𝜑
𝑦
)
𝒚(𝒙)
Składanie drgań (jeden kierunek)
A.Obłąkowska-Mucha
15
▸
Skłądamy drgania o tej samej (lub nie) amplitudzie i częstości. Drgania są
przesunięte względem siebie o fazę :
𝑥
1
𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 ;
𝑥
2
𝑡 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
▸
W wyniku złożenia otrzymujemy (do policzenia, zwykła trygonometria!):
𝑥
𝑤
𝑡 = 𝑥
1
𝑡 + 𝑥
2
𝑡 = 2𝐴 cos
𝜑
2
cos 𝜔𝑡 +
𝜑
2
▸
Są to drgania o amplitudzie wypadkowej
zależnej od fazy
𝜑
:
•
dla
𝜑 = 𝜋
;
𝑥
𝑤
= 0
– całkowite
wygaszenie
drgań,
•
dla
𝜑 = 2𝜋
;
𝑥
𝑤
= 2Acos ω𝑡
–
dwukrotny wzrost amplitudy drgań -
wzmocnenie
,
𝜑 = 2𝜋
amplituda wypadkowa
•
Jeżeli różnica faz pozostaje stała w czasie –
drgania koherentne
Dudnienia
A.Obłąkowska-Mucha
16
▸
Nakładanie się drgań o bardzo zbliżonych częstościach:
𝑥
1
(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔 +
∆𝜔
2
)𝑡
x
2
𝑡 = 𝐴 sin(𝜔 −
∆𝜔
2
)𝑡
𝑥
𝑤
𝑡 = 𝑥
1
𝑡 + 𝑥
2
𝑡 = 𝐴 sin(𝜔 −
∆𝜔
2
)𝑡 + sin(𝜔 +
∆𝜔
2
)𝑡
▸
Korzystając z tożsamości trygonometrycznych:
sin 𝛼 + 𝛽 = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽
𝑥
𝑤
𝑡 = 2𝐴 cos ∆𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡
wolnozmieniająca się
amplituda wypadkowa
▸
Efekt sumowania
– drgania z pierwotną
częstością, ale obwiednia zmienia się
powoli w czasie (efekty
dźwiękowe,
elektrotechnika)
2𝐴 cos ∆𝜔𝑡
sin 𝜔𝑡
Składanie niekoherentne
A.Obłąkowska-Mucha
17
▸
Jeżeli różnica faz drgań składowych zmienia się z upływem czasu w dowolny
sposób, to również amplituda drgań wypadkowych zmienia się z czasem –
niekoherentne składanie drgań
.
▸
Drgania wypadkowe typu:
𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑡 cos 𝜔𝑡 + 𝜑(𝑡)
nazywamy modulowanymi, gdy:
•
𝐴 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡; 𝜑 𝑡 - modulowana jest faza – FM
•
𝜑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡;
𝑑𝐴
𝑑𝑡
≪ 𝜔𝐴𝑚𝑎𝑥 - modulowana amplituda - AM
Analiza harmoniczna
A.Obłąkowska-Mucha
18
▸
Analiza harmoniczna
– metoda przedstawienia złożonych drgań modulowanych
w postaci szeregu prostych drgań harmonicznych
▸
G.Fourier
– dowolne drganie można przedstawić jako sumę prostych drgań
harmonicznych o wielokrotnościach pewnej podstawowej częstości kątowej
𝜔:
𝑥 𝑡 =
𝐴
𝑛
sin(𝑛 ∙ 𝜔𝑡 + 𝜑
𝑛
)
𝑁
𝑛=0
▸
Pierwszy wyraz szeregu
– częstotliwość
podstawowa
𝜔, następne – częstotliwości
harminiczne-
„pierwsza”, „druga”, itp.
▸
W ten sposób można za pomocą prostych
drgań harminicznych przedstawić drganie o
dowolnym kształcie, np. piłokształtnym,
trójkątnym, prostokątnym..
Analiza harmoniczna
A.Obłąkowska-Mucha
19
▸
Analiza harmoniczna
– metoda przedstawienia złożonych drgań modulowanych
w postaci szeregu prostych drgań harmonicznych
▸
G.Fourier (1807)
– dowolne drganie można przedstawić jako sumę prostych
drgań harmonicznych o wielokrotnościach pewnej podstawowej częstości
kątowej
𝜔:
𝑥 𝑡 =
𝐴𝑛 sin(𝑛 ∙ 𝜔𝑡 + 𝜑
𝑛
)
𝑁
𝑛=0
▸
Pierwszy wyraz szeregu
– częstotliwość
podstawowa
𝜔, następne – częstotliwości
harminiczne-
„pierwsza”, „druga”, itp.
▸
W ten sposób można za pomocą prostych
drgań harminicznych przedstawić drganie o
dowolnym kształcie, np. piłokształtnym,
trójkątnym, prostokątnym..
Krzywe Lissajous
A.Obłąkowska-Mucha
20
▸
Składania drgań harmonicznych o tych samych częstościach
𝜔
w kierunkach
wzajemnie protopadłych:
𝑥 𝑡 = 𝐴
𝑥
sin(𝜔𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝐴
𝑦
sin(𝜔𝑡 + 𝜑)
▸
Jules Lissajous (1857) - demonstracja wyniku, gdy:
𝜑 = 0°, 90°, 180°
•
𝜑 = 0°
:
𝑦 𝑥 =
𝐴
𝑦
𝐴
𝑥
𝑥
- linia prosta
•
𝜑 = 180°
:
𝑦 𝑥 = −
𝐴
𝑦
𝐴
𝑥
𝑥
- linia prosta
•
𝜑 = 90°
:
𝑥 𝑡 = 𝐴
𝑥
sin(𝜔𝑡) 𝑦 𝑡 = 𝐴
𝑦
𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
𝒙
𝟐
𝑨
𝒙
𝟐
+
𝒚
𝟐
𝑨
𝒚
𝟐
= 𝟏
– elipsa, okrąg
Krzywe Lissajous
– dowolna faza
A.Obłąkowska-Mucha
21
▸
Inne różnice faz, ale te same częstości – elipsy, ale w kierunkach innych niż
osie ukł. współrzędnych.
▸
Przypadek ogólny – dowolne fazy, częstości, amplitudy – krzywe Lissajous:
Podsumowanie
A.Obłąkowska-Mucha
22
▸
Rozwiązanie równania ruchu pod wpływem siły o zadanej postaci pozwala na
wyznaczenie położenia, prędkości i przyspieszenia.
▸
Ruch pod wpływem siły harmonicznej – rozwiązanie, parametry, przykłady:
•
prosty oscylator harmoniczny,
•
wahadło matematyczne,
•
wahadło fizyczne.
▸
Ruch z tłumieniem – równanie, rozwiązanie, interpretacja.
▸
Ruch drgający pod wpływem siły wymuszającej. Rezonans.
▸
Składanie drgań:
•
wzmocnienie, wygaszenie, drgania koherentne,
•
dudnienia,
•
analiza harmoniczna
•
krzywe Lissajous
▸
Pokazy
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
IMIR drgania EM prady zmienne i Nieznany
14 IMIR drgania elektromagnetyc Nieznany (2)
IMIR drgania EM prady zmienne i Nieznany
14 IMIR drgania elektromagnetyczne
5 IMIR przykłady drgania
drgania, AGH Imir materiały mix, Studia
IMIR przykłady drgania
IMIR materialu drgania id 21187 Nieznany
IMIR materialy drgania
IMIR materiału drgania
Hałas i drgania mechaniczne
drgania mechaniczne
Wykład 7 Drgania sieci krystalicznej
więcej podobnych podstron