Metody statystyczne

Andrzej Okuniewski

1

Zadanie 1

i

1

2

3

4

5

6

a

i

16.8

17.5

16.3

17.2

18.1

16.4

b

i

18.5

18.3

17.9

18.0

18.7

—

Liczność zbioru wyników:

n

a

= 6

n

b

= 5

Średnie:

a =

1

n

a

n

a

X

i=1

a

i

=

102.3

6

= 17.05

b =

1

n

b

n

b

X

i=1

b

i

=

91.4

5

= 18.28

Wariancje typu σ

n−1

:

σ

2

a

=

1

n − 1

n

a

X

i=1

(a

i

− a)

2

=

2.375

6 − 1

= 0.475

σ

2

b

=

1

n − 1

n

b

X

i=1

(b

i

− b)

2

=

0.448

5 − 1

= 0.112

Odchylenia standardowe:

σ

a

=

p

σ

2

a

= 0.69

σ

b

=

q

σ

2

b

= 0.34

Parametry t -Studenta dla α = 0.05:

t

a

= t(α, n

a

− 1) = t(0.05, 5) = 2.5706

t

b

= t(α, n

b

− 1) = t(0.05, 4) = 2.7765

Przedziały ufności:

a = a ± t

a

σ

a

√

n

a

= 17.05 ± 0.80

b = b ± t

b

σ

b

√

n

b

= 18.28 ± 0.48

1.1

Test F -Snedecora

F =

σ

2

a

σ

2

b

=

0.475

0.112

= 4.242

F

k

(0.05, 5, 4) = 6.256

F < F

k

Serie a i b są zgodne pod względem precyzji.

www.chemmix.artnet.pl

1

Metody statystyczne

Andrzej Okuniewski

1.2

Test t -Studenta

σ

2

zb

=

σ

2

a

(n

a

− 1) + σ

2

b

(n

b

− 1)

n

a

+ n

b

− 2

=

2.823

9

= 0.32

t =

|a − b|

σ

zb

r

n

a

n

b

n

a

+ n

b

=

1.23

√

0.32

r

30

11

= 3.56

t

k

(0.05, 9) = 2.2622

t > t

k

Serie a i b nie są zgodne pod względem dokładności.

2

Zadanie 2

y = 16.00 ± 0.085

z = 5.0 ± 0.46

⇓

y

0

= 16

∆y = 0.085

z

0

= 5

∆z = 0.46

x = 2y + 2 ln z = 32 + 2 ln 5 = 35.21887582

∂x

∂y

= 2

∂x

∂z

=

2

z

∆x =






∂x

∂y

(y

0

, z

0

)






∆y +






∂x

∂z

(y

0

, z

0

)






∆z = 2 · 0.085 +

2

5

· 0.46 = 0.354

x = 35.22 ± 0.36

3

Zadanie 3

ln y = a + x

⇒

Y = A + X

Wyprowadzenie wzoru na regresję szczątkową Y = A + X:

Uwaga:

X

≡

n

X

i=1

S(A) =

X

(A + X

i

− Y

i

)

2

Szukamy ekstremum funkcji S(A):

∂S

∂A

= 2

X

(A + X

i

− Y

i

) = 0

www.chemmix.artnet.pl

2

Metody statystyczne

Andrzej Okuniewski

X

(A + X

i

− Y

i

) = 0

A

X

1 +

X

X

i

=

X

Y

i

Po uproszczeniu:

A · n =

X

Y

i

−

X

X

i

A =

P Y

i

−

P X

i

n

Waga przekształcenia (nie stosujemy w obliczeniach na kolokwium):

W

i

=

 ∂Y

i

∂y



−2

=

 1

y

i



−2

= y

2

i

A =

P W

i

Y

i

−

P W

i

X

i

P W

i

x

i

y

i

X

i

= x

i

Y

i

= ln y

i

0.5

0.9

0.5

−0.10536

1.0

1.3

1.0

0.26236

1.5

2.2

1.5

0.78846

2.0

3.7

2.0

1.30833

2.5

6.1

2.5

1.80829

3.0

10.0

3.0

2.30259

P

10.5

6.36467

Współczynnik wynosi zatem:

a = A =

P Y

i

−

P X

i

n

=

6.36467 − 10.5

6

= −0.68922

4

Zadanie 4

Dane:

n

a

= 12

a = 15.3

σ

a

= 1.12

n

b

= 18

b = 13.8

σ

b

= 0.86

4.1

Test F -Snedecora

F =

σ

2

a

σ

2

b

=

 1.12

0.86



2

= 1.696

F

k

(0.05, 17, 11) = 2.69

F < F

k

Serie a i b są zgodne pod względem precyzji.

www.chemmix.artnet.pl

3

Metody statystyczne

Andrzej Okuniewski

4.2

Test t -Studenta

σ

2

zb

=

σ

2

a

(n

a

− 1) + σ

2

b

(n

b

− 1)

n

a

+ n

b

− 2

=

13.79 + 12.57

28

= 0.94

t =

|a − b|

σ

zb

r

n

a

n

b

n

a

+ n

b

=

1.5

√

0.94

r

216

30

= 4.15

t

k

(0.05, 28) = 2.0484

t > t

k

Serie a i b nie są zgodne pod względem dokładności. Jedna z nich jest prawdopo-
dobnie obarczona błędem systematycznym, więc serii nie można zaklasyfikować
do jednej zbiorowości.

5

Zadanie 5

log γ

±

= −0.509

√

c

c = 0.15 ± 0.01 M

⇓

c

0

= 0.15

∆c = 0.01

γ

±

(c) = 10

−0.509

√

c

γ

±

(c

0

) = 0.63513368653 . . .

∂γ

±

∂c

=

0.586008 · 10

−0.509

√

c

√

c

∂γ

±

∂c

(c

0

) = −0.960999

∆γ

±

=






∂γ

±

∂c

(c

0

)






· ∆c = 0.00960999

γ

±

= 0.63513 ± 0.00962

γ

±

= 0.6351 ± 0.0097

γ

±

= 0.635 ± 0.010

6

Zadanie 6

Sortujemy elementy serii niemalejąco:

4.31 ¬ 4.43 ¬ 4.48 ¬ 4.52 ¬ 4.75 ¬ 4.80

Obliczamy:

Q

1

=

x

2

− x

1

x

6

− x

1

=

4.43 − 4.31

4.80 − 4.31

= 0.245

www.chemmix.artnet.pl

4

Metody statystyczne

Andrzej Okuniewski

Q

6

=

x

6

− x

5

x

6

− x

1

=

4.80 − 4.75

4.80 − 4.31

= 0.102

Q

k

(0.05, 6) = 0.625

Q

1

< Q

k

Q

6

< Q

k

Wyniki krańcowe nie są obarczone błędem grubym, więc pozostałe też nie.

7

Zadanie 7

Patrz: Zadanie 4.

8

Zadanie 8

y = ae

x

⇒

Y = AX

Wyprowadzenie wzoru na regresję szczątkową Y = AX:

Uwaga:

X

≡

n

X

i=1

S(A) =

X

(AX

i

− Y

i

)

2

Szukamy ekstremum funkcji S(A):

∂S

∂A

= 2

X

(AX

i

− Y

i

)X

i

= 0

X

(AX

2

i

− X

i

Y

i

) = 0

A

X

X

2

i

=

X

X

i

Y

i

Po uproszczeniu:

A

X

X

2

i

=

X

X

i

Y

i

A =

P X

i

Y

i

P X

2

i

Waga przekształcenia (nie stosujemy w obliczeniach na kolokwium):

W

i

=

 ∂Y

i

∂y



−2

= 1

−2

= 1

A =

P W

i

X

i

Y

i

P W

i

X

2

i

www.chemmix.artnet.pl

5

Metody statystyczne

Andrzej Okuniewski

x

i

y

i

X

i

= x

i

Y

i

= ln y

i

X

2

i

X

i

Y

i

e

Y

i

(Y

i

− e

Y

i

)

2

0.5

0.9

1.6

0.9

2.71828

1.48385

0.82195

0.00609

1.0

1.3

2.7

1.3

7.38906

3.53377

1.35517

0.00304

1.5

2.2

4.5

2.2

20.08554

9.85972

2.23429

0.00118

2.0

3.7

7.4

3.7

54.59815

27.33951

3.68372

0.00026

2.5

6.1

12.2

6.1

148.41316

74.31321

6.07343

0.00071

3.0

10.0

20.1

10.0

403.42879

200.85537

10.01339

0.00018

P

636.63298

317.38542

0.01146

a = A =

P X

i

Y

i

P X

2

i

=

317.38542

636.63298

= 0.49854

S

r

=

s

P(Y

i

− e

Y

i

)

2

n − 1

=

r

0.01146

5

= 0.0479

t(0.05, 5) = 2.5706

∆a = ∆A = t(α, r)S

r

1

pP X

2

i

= 2.5706 · 0.0479 ·

1

√

636.63298

= 0.0049

a = 0.4985 ± 0.0049

9

Zadanie 9

Dane:

d = 12.3 ± 0.5 cm

l = 15.1 ± 0.5 cm

⇓

d

0

= 12.3 cm

l

0

= 15.1 cm

∆d = 0.5 cm

∆l = 0.5 cm

V =

1

3

πr

2

h

V (d, l) =

1

3

π

d

2

4

1

3

p

4l

2

− d

2

=

π

24

d

2

p

4l

2

− d

2

V (d

0

, l

0

) = 546.223 cm

3

∂V

∂d

=

π

24

8dl

2

− 3d

3

√

4l

2

− d

2

∂V

∂d

(d

0

, l

0

) = 79.9852

∂V

∂l

=

π

6

d

2

l

√

4l

2

− d

2

∂V

∂l

(d

0

, l

0

) = 43.3675

www.chemmix.artnet.pl

6

Metody statystyczne

Andrzej Okuniewski

∆V =






∂V

∂d

(d

0

, l

0

)






∆d +






∂V

∂l

(d

0

, l

0

)






∆l = 39.9926 + 21.6838 = 61.6764 cm

3

V = (546 ± 62) cm

3

10

Zadanie 10

p =

b

1 + a ln T

⇒

1

p

=

1

b

+

a

b

ln T

Oznaczamy:

Y =

1

p

X = ln T

A =

a

b

B =

1

b

Otrzymując formę liniową:

Y = AX + B

T

i

p

i

X

i

Y

i

X

2

i

Y

2

i

X

i

Y

i

e

Y

i

Y

i

− e

Y

i

1.0

4.5

0.00000

0.22222

0.00000

0.04938

0.00000

0.20720

0.01502

1.6

2.0

0.47000

0.50000

0.22090

0.25000

0.23500

0.48284

0.01716

2.7

1.3

0.99325

0.76923

0.98655

0.59172

0.76404

0.78970

-0.02047

7.4

0.8

2.00148

1.33333

4.00592

1.77778

2.66864

1.38098

-0.04765

20.0

0.5

2.99573

2.00000

8.97441

4.00000

5.99146

1.96407

0.03593

P

6.46047

4.82479

14.1878

6.66888

9.65915

6 · 10

−16

n = 5

r = n − 2 = 3

Wyznaczamy wariancje S

XX

, S

Y Y

i kowariancję S

XY

:

S

XX

= n

X

X

2

i

−

X

X

i



2

= 5 · 14.1878 − 6.46047

2

= 29.2013

S

Y Y

= n

X

Y

2

i

−

X

Y

i



2

= 5 · 6.66888 − 4.82479

2

= 10.0658

S

XY

= n

X

X

i

Y

i

−

X

X

i

X

Y

i

= 5 · 9.65915 − 6.46047 · 4.82479 = 17.1254

Stąd:

A =

S

XY

S

XX

=

17.1254

29.2013

= 0.58646

B = Y − AX =

4.82479

5

− 0.58646 ·

6.46047

5

= 0.20720

www.chemmix.artnet.pl

7

Metody statystyczne

Andrzej Okuniewski

Wyliczamy wariancję resztową, odczytujemy parametr t -Studenta:

S

r

=

v
u
u
t

S

Y Y

−

S

2

XY

S

XX

n(n − 2)

= 0.03873

t(0.05, 3) = 3.1824

Oraz wyznaczamy przedziały ufności:

∆A = t(P, r) · S

r

·

r

n

S

XX

= 0.05101

∆B = t(P, r) · S

r

·

s

P X

2

i

S

XX

= 0.08592

Powracając do pierwotnych oznaczeń:

a = A · b =

A

B

b =

1

B

Stąd:

b =

1

0.20720

= 4.82631

a = 0.58646 · 4.82631 = 2.83043

∆b =

s

 ∂b

∂B



2

∆B

2

=






−

1

B

2






∆B = 2.00132

∆a =

s

 ∂a

∂A



2

∆A

2

+

 ∂a

∂b



2

∆b

2

=

p

b

2

∆A

2

+ A

2

∆b

2

= 1.19924

∆a =

s

 ∂a

∂A



2

∆A

2

+

 ∂a

∂B



2

∆B

2

=

r

∆A

2

B

2

+

A

2

∆B

2

B

4

= 1.19924

Ostatecznie:

a = 2.8 ± 1.3

b = 4.8 ± 2.1

Duża niepewność wyznaczonych parametrów wynika z niewielkiej ilości danych
doświadczalnych.

11

Zadanie 11

• y = ax

b

⇒

ln y = ln ax

b

⇒

ln y = ln a + b ln x

Układ: ln y = f (ln x).

• y =

1

ax+b

⇒

1
y

= ax + b

Układ:

1
y

= f (x).

www.chemmix.artnet.pl

8

Metody statystyczne

Andrzej Okuniewski

• y = ae

b

x

⇒

ln y = ln ae

b

x

⇒

ln y = ln a + b ·

1

x

Układ: ln y = f (

1

x

).

• y = ae

−x

+ b

Układ: y = f (e

−x

).

12

Zadanie 12

y = ax + 2

Uwaga:

X

≡

n

X

i=1

S(a) =

X

(ax

i

+ 2 − y

i

)

2

Należy zminimalizować wartość funkcji S(a):

∂S

∂a

= 2

X

(ax

2
i

+ 2x

i

− x

i

y

i

) = 0

a

X

x

2
i

+ 2

X

x

i

−

X

x

i

y

i

= 0

Po uproszczeniu:

a

X

x

2
i

+ 2

X

x

i

=

X

x

i

y

i

Stąd:

a =

P x

i

y

i

− 2

P x

i

P x

2
i

x

i

y

i

x

2
i

x

i

y

i

0

2.10

0

0.00

1

2.95

1

2.95

2

4.03

4

8.06

3

5.01

9

15.03

P

6

14

26.04

a =

P x

i

y

i

− 2

P x

i

P x

2
i

= 1.00286

13

Zadanie 13

Sortujemy obie serie:

i

1

2

3

4

5

a

i

11.01

11.44

11.58

11.64

11.76

b

i

11.25

11.33

11.38

11.52

11.67

www.chemmix.artnet.pl

9

Metody statystyczne

Andrzej Okuniewski

Liczność zbioru wyników:

n

a

= 5

n

b

= 5

Średnie:

a =

1

n

a

n

a

X

i=1

a

i

= 11.49

b =

1

n

b

n

b

X

i=1

b

i

= 11.43

Mediany (dla n = 5 mediana znajduje się na pozycji i = 3):

e

a = a

3

= 11.58

e

b = b

3

= 11.38

Nie uwzględniamy mody (dominanty) dla zmiennej losowej typu rzeczywistego.
Natomiast obliczamy wariancje typu σ

n−1

:

σ

2

a

=

1

n − 1

n

a

X

i=1

(a

i

− a)

2

=

0.111

5 − 1

= 0.084

σ

2

b

=

1

n − 1

n

b

X

i=1

(b

i

− b)

2

=

0.336

5 − 1

= 0.028

Odchylenia standardowe:

σ

a

=

p

σ

2

a

= 0.29

σ

b

=

q

σ

2

b

= 0.17

Rozstępy (rozpiętości):

R

a

= a

max

− a

min

= 0.75

R

b

= b

max

− b

min

= 0.42

Współczynniki asymetrii (C -Pearsona):

As

a

=

3(a −

e

a)

σ

a

=

3 · (−0.09)

0.29

= −0.93

As

b

=

3(b − e

b)

σ

b

=

3 · (0.05)

0.17

= 0.88

Skośność:

ρ

a

=

P

n

a

i=1

(a

i

− a)

3

n

a

· σ

3

a

=

−0.083

5 · 0.29

3

= −0.68

ρ

b

=

P

n

b

i=1

(b

i

− b)

3

n

b

· σ

3

b

=

0.0076

5 · 0.17

3

= 0.31

Eksces (spłaszczenie, wydłużenie):

ε

a

=

P

n

a

i=1

(a

i

− a)

4

n

a

· σ

4

a

− 3

=

0.058

5 · 0.29

4

− 3

= −0.0196

www.chemmix.artnet.pl

10

Metody statystyczne

Andrzej Okuniewski

ε

b

=

P

n

b

i=1

(b

i

− b)

4

n

b

· σ

4

b

− 3

=

0.0045

5 · 0.17

4

− 3

= −0.0015

Parametr t -Studenta dla α = 0.05:

t

a

= t

b

= t(α, n − 1) = t(0.05, 4) = 2.7765

Przedziały ufności dla wartości średniej:

a = a ± t

a

σ

a

√

n

a

= 11.49 ± 0.37

b = b ± t

b

σ

b

√

n

b

= 11.43 ± 0.22

Wykonujemy Test F -Snedecora:

F =

σ

2

a

σ

2

b

=

0.084

0.028

= 3.000

F

k

(0.05, 4, 4) = 6.388

F < F

k

Serie a i b są zgodne pod względem precyzji i dlatego można wykonać test
t -Studenta:

σ

2

zb

=

σ

2

a

(n

a

− 1) + σ

2

b

(n

b

− 1)

n

a

+ n

b

− 2

=

0.448

8

= 0.056

t =

|a − b|

σ

zb

r

n

a

n

b

n

a

+ n

b

=

0.06

√

0.056

r

25

10

= 0.4009

t

k

(0.05, 9) = 2.2622

t < t

k

Serie a i b są zgodne pod względem dokładności. Można więc wyniki tych serii
połączyć w serię x uzyskując:

x = 11.46

e

x = 11.48

σ

x

= 0.23

∆x = 0.17

x = 11.46 ± 0.17

14

Zadanie 14

Dane:

n

a

= 8

a = 12.3%

σ

a

= 0.39

n

b

= 8

b = 12.1%

σ

b

= 0.32

www.chemmix.artnet.pl

11

Metody statystyczne

Andrzej Okuniewski

14.1

Test F -Snedecora

F =

σ

2

a

σ

2

b

=

 0.39

0.32



2

= 1.49

F

k

(0.05, 7, 7) = 3.79

F < F

k

Serie a i b są zgodne pod względem precyzji.

14.2

Test t -Studenta

σ

2

zb

=

σ

2

a

(n

a

− 1) + σ

2

b

(n

b

− 1)

n

a

+ n

b

− 2

=

1.7815

14

= 0.13

t =

|a − b|

σ

zb

r

n

a

n

b

n

a

+ n

b

=

0.2

√

0.13

r

64

16

= 1.1094

t

k

(0.05, 14) = 2.1448

t < t

k

Serie a i b są zgodne pod względem dokładności, więc mogą zostać połączone w
jedną.

15

Wartości krytyczne testu F -Snedecora (F

k

)

(α = 0.05)

r2 

r1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

∞

1

161.45

199.50

215.71

224.58

230.16

233.99

236.77

238.88

240.54

241.88

243.91

245.95

248.01

249.05

250.10

251.14

252.20

254.31

2

18.513

19.000

19.164

19.247

19.296

19.330

19.353

19.371

19.385

19.396

19.413

19.429

19.446

19.454

19.462

19.471

19.479

19.496

3

10.128

9.5521

9.2766

9.1172

9.0135

8.9406

8.8867

8.8452

8.8123

8.7855

8.7446

8.7029

8.6602

8.6385

8.6166

8.5944

8.5720

8.5264

4

7.7086

6.9443

6.5914

6.3882

6.2561

6.1631

6.0942

6.0410

5.9988

5.9644

5.9117

5.8578

5.8025

5.7744

5.7459

5.7170

5.6877

5.6281

5

6.6079

5.7861

5.4095

5.1922

5.0503

4.9503

4.8759

4.8183

4.7725

4.7351

4.6777

4.6188

4.5581

4.5272

4.4957

4.4638

4.4314

4.3650

6

5.9874

5.1433

4.7571

4.5337

4.3874

4.2839

4.2067

4.1468

4.0990

4.0600

3.9999

3.9381

3.8742

3.8415

3.8082

3.7743

3.7398

3.6689

7

5.5914

4.7374

4.3468

4.1203

3.9715

3.8660

3.7870

3.7257

3.6767

3.6365

3.5747

3.5107

3.4445

3.4105

3.3758

3.3404

3.3043

3.2298

8

5.3177

4.4590

4.0662

3.8379

3.6875

3.5806

3.5005

3.4381

3.3881

3.3472

3.2839

3.2184

3.1503

3.1152

3.0794

3.0428

3.0053

2.9276

9

5.1174

4.2565

3.8625

3.6331

3.4817

3.3738

3.2927

3.2296

3.1789

3.1373

3.0729

3.0061

2.9365

2.9005

2.8637

2.8259

2.7872

2.7067

10

4.9646

4.1028

3.7083

3.4780

3.3258

3.2172

3.1355

3.0717

3.0204

2.9782

2.9130

2.8450

2.7740

2.7372

2.6996

2.6609

2.6211

2.5379

11

4.8443

3.9823

3.5874

3.3567

3.2039

3.0946

3.0123

2.9480

2.8962

2.8536

2.7876

2.7186

2.6464

2.6090

2.5705

2.5309

2.4901

2.4045

12

4.7472

3.8853

3.4903

3.2592

3.1059

2.9961

2.9134

2.8486

2.7964

2.7534

2.6866

2.6169

2.5436

2.5055

2.4663

2.4259

2.3842

2.2962

13

4.6672

3.8056

3.4105

3.1791

3.0254

2.9153

2.8321

2.7669

2.7144

2.6710

2.6037

2.5331

2.4589

2.4202

2.3803

2.3392

2.2966

2.2064

14

4.6001

3.7389

3.3439

3.1122

2.9582

2.8477

2.7642

2.6987

2.6458

2.6022

2.5342

2.4630

2.3879

2.3487

2.3082

2.2664

2.2229

2.1307

15

4.5431

3.6823

3.2874

3.0556

2.9013

2.7905

2.7066

2.6408

2.5876

2.5437

2.4753

2.4034

2.3275

2.2878

2.2468

2.2043

2.1601

2.0658

16

4.4940

3.6337

3.2389

3.0069

2.8524

2.7413

2.6572

2.5911

2.5377

2.4935

2.4247

2.3522

2.2756

2.2354

2.1938

2.1507

2.1058

2.0096

17

4.4513

3.5915

3.1968

2.9647

2.8100

2.6987

2.6143

2.5480

2.4943

2.4499

2.3807

2.3077

2.2304

2.1898

2.1477

2.1040

2.0584

1.9604

18

4.4139

3.5546

3.1599

2.9277

2.7729

2.6613

2.5767

2.5102

2.4563

2.4117

2.3421

2.2686

2.1906

2.1497

2.1071

2.0629

2.0166

1.9168

19

4.3807

3.5219

3.1274

2.8951

2.7401

2.6283

2.5435

2.4768

2.4227

2.3779

2.3080

2.2341

2.1555

2.1141

2.0712

2.0264

1.9795

1.8780

20

4.3512

3.4928

3.0984

2.8661

2.7109

2.5990

2.5140

2.4471

2.3928

2.3479

2.2776

2.2033

2.1242

2.0825

2.0391

1.9938

1.9464

1.8432

21

4.3248

3.4668

3.0725

2.8401

2.6848

2.5727

2.4876

2.4205

2.3660

2.3210

2.2504

2.1757

2.0960

2.0540

2.0102

1.9645

1.9165

1.8117

22

4.3009

3.4434

3.0491

2.8167

2.6613

2.5491

2.4638

2.3965

2.3419

2.2967

2.2258

2.1508

2.0707

2.0283

1.9842

1.9380

1.8894

1.7831

23

4.2793

3.4221

3.0280

2.7955

2.6400

2.5277

2.4422

2.3748

2.3201

2.2747

2.2036

2.1282

2.0476

2.0050

1.9605

1.9139

1.8648

1.7570

24

4.2597

3.4028

3.0088

2.7763

2.6207

2.5082

2.4226

2.3551

2.3002

2.2547

2.1834

2.1077

2.0267

1.9838

1.9390

1.8920

1.8424

1.7330

25

4.2417

3.3852

2.9912

2.7587

2.6030

2.4904

2.4047

2.3371

2.2821

2.2365

2.1649

2.0889

2.0075

1.9643

1.9192

1.8718

1.8217

1.7110

26

4.2252

3.3690

2.9752

2.7426

2.5868

2.4741

2.3883

2.3205

2.2655

2.2197

2.1479

2.0716

1.9898

1.9464

1.9010

1.8533

1.8027

1.6906

27

4.2100

3.3541

2.9604

2.7278

2.5719

2.4591

2.3732

2.3053

2.2501

2.2043

2.1323

2.0558

1.9736

1.9299

1.8842

1.8361

1.7851

1.6717

28

4.1960

3.3404

2.9467

2.7141

2.5581

2.4453

2.3593

2.2913

2.2360

2.1900

2.1179

2.0411

1.9586

1.9147

1.8687

1.8203

1.7689

1.6541

29

4.1830

3.3277

2.9340

2.7014

2.5454

2.4324

2.3463

2.2783

2.2229

2.1768

2.1045

2.0275

1.9446

1.9005

1.8543

1.8055

1.7537

1.6376

30

4.1709

3.3158

2.9223

2.6896

2.5336

2.4205

2.3343

2.2662

2.2107

2.1646

2.0921

2.0148

1.9317

1.8874

1.8409

1.7918

1.7396

1.6223

40

4.0847

3.2317

2.8387

2.6060

2.4495

2.3359

2.2490

2.1802

2.1240

2.0772

2.0035

1.9245

1.8389

1.7929

1.7444

1.6928

1.6373

1.5089

60

4.0012

3.1504

2.7581

2.5252

2.3683

2.2541

2.1665

2.0970

2.0401

1.9926

1.9174

1.8364

1.7480

1.7001

1.6491

1.5943

1.5343

1.3893

120

3.9201

3.0718

2.6802

2.4472

2.2899

2.1750

2.0868

2.0164

1.9588

1.9105

1.8337

1.7505

1.6587

1.6084

1.5543

1.4952

1.4290

1.2539

∞

3.8415

2.9957

2.6049

2.3719

2.2141

2.0986

2.0096

1.9384

1.8799

1.8307

1.7522

1.6664

1.5705

1.5173

1.4591

1.3940

1.3180

1.0000

www.chemmix.artnet.pl

12

Metody statystyczne

Andrzej Okuniewski

16

Wartości krytyczne testu t -Studenta (t

k

)

r 

α

0.400

0.300

0.200

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

1

1.3764

1.9626

3.0777

6.3137

12.7062

25.4519

63.6559

127.3211

636.5776

2

1.0607

1.3862

1.8856

2.9200

4.3027

6.2054

9.9250

14.0892

31.5998

3

0.9785

1.2498

1.6377

2.3534

3.1824

4.1765

5.8408

7.4532

12.9244

4

0.9410

1.1896

1.5332

2.1318

2.7765

3.4954

4.6041

5.5975

8.6101

5

0.9195

1.1558

1.4759

2.0150

2.5706

3.1634

4.0321

4.7733

6.8685

6

0.9057

1.1342

1.4398

1.9432

2.4469

2.9687

3.7074

4.3168

5.9587

7

0.8960

1.1192

1.4149

1.8946

2.3646

2.8412

3.4995

4.0294

5.4081

8

0.8889

1.1081

1.3968

1.8595

2.3060

2.7515

3.3554

3.8325

5.0414

9

0.8834

1.0997

1.3830

1.8331

2.2622

2.6850

3.2498

3.6896

4.7809

10

0.8791

1.0931

1.3722

1.8125

2.2281

2.6338

3.1693

3.5814

4.5868

11

0.8755

1.0877

1.3634

1.7959

2.2010

2.5931

3.1058

3.4966

4.4369

12

0.8726

1.0832

1.3562

1.7823

2.1788

2.5600

3.0545

3.4284

4.3178

13

0.8702

1.0795

1.3502

1.7709

2.1604

2.5326

3.0123

3.3725

4.2209

14

0.8681

1.0763

1.3450

1.7613

2.1448

2.5096

2.9768

3.3257

4.1403

15

0.8662

1.0735

1.3406

1.7531

2.1315

2.4899

2.9467

3.2860

4.0728

16

0.8647

1.0711

1.3368

1.7459

2.1199

2.4729

2.9208

3.2520

4.0149

17

0.8633

1.0690

1.3334

1.7396

2.1098

2.4581

2.8982

3.2224

3.9651

18

0.8620

1.0672

1.3304

1.7341

2.1009

2.4450

2.8784

3.1966

3.9217

19

0.8610

1.0655

1.3277

1.7291

2.0930

2.4334

2.8609

3.1737

3.8833

20

0.8600

1.0640

1.3253

1.7247

2.0860

2.4231

2.8453

3.1534

3.8496

21

0.8591

1.0627

1.3232

1.7207

2.0796

2.4138

2.8314

3.1352

3.8193

22

0.8583

1.0614

1.3212

1.7171

2.0739

2.4055

2.8188

3.1188

3.7922

23

0.8575

1.0603

1.3195

1.7139

2.0687

2.3979

2.8073

3.1040

3.7676

24

0.8569

1.0593

1.3178

1.7109

2.0639

2.3910

2.7970

3.0905

3.7454

25

0.8562

1.0584

1.3163

1.7081

2.0595

2.3846

2.7874

3.0782

3.7251

26

0.8557

1.0575

1.3150

1.7056

2.0555

2.3788

2.7787

3.0669

3.7067

27

0.8551

1.0567

1.3137

1.7033

2.0518

2.3734

2.7707

3.0565

3.6895

28

0.8546

1.0560

1.3125

1.7011

2.0484

2.3685

2.7633

3.0470

3.6739

29

0.8542

1.0553

1.3114

1.6991

2.0452

2.3638

2.7564

3.0380

3.6595

30

0.8538

1.0547

1.3104

1.6973

2.0423

2.3596

2.7500

3.0298

3.6460

35

0.8520

1.0520

1.3062

1.6896

2.0301

2.3420

2.7238

2.9961

3.5911

40

0.8507

1.0500

1.3031

1.6839

2.0211

2.3289

2.7045

2.9712

3.5510

45

0.8497

1.0485

1.3007

1.6794

2.0141

2.3189

2.6896

2.9521

3.5203

50

0.8489

1.0473

1.2987

1.6759

2.0086

2.3109

2.6778

2.9370

3.4960

55

0.8482

1.0463

1.2971

1.6730

2.0040

2.3044

2.6682

2.9247

3.4765

60

0.8477

1.0455

1.2958

1.6706

2.0003

2.2990

2.6603

2.9146

3.4602

65

0.8472

1.0448

1.2947

1.6686

1.9971

2.2945

2.6536

2.9060

3.4466

70

0.8468

1.0442

1.2938

1.6669

1.9944

2.2906

2.6479

2.8987

3.4350

75

0.8464

1.0436

1.2929

1.6654

1.9921

2.2873

2.6430

2.8924

3.4249

80

0.8461

1.0432

1.2922

1.6641

1.9901

2.2844

2.6387

2.8870

3.4164

85

0.8459

1.0428

1.2916

1.6630

1.9883

2.2818

2.6349

2.8822

3.4086

90

0.8456

1.0424

1.2910

1.6620

1.9867

2.2795

2.6316

2.8779

3.4019

95

0.8454

1.0421

1.2905

1.6611

1.9852

2.2775

2.6286

2.8741

3.3958

100

0.8452

1.0418

1.2901

1.6602

1.9840

2.2757

2.6259

2.8707

3.3905

∞

0.8416

1.0364

1.2816

1.6449

1.9600

2.2414

2.5758

2.8071

3.2905

17

Wartości krytyczne testu Q -Dixona Q

k

(r

10

)

n 

α

0.20

0.10

0.05

0.04

0.02

0.01

3

0.886

0.941

0.970

0.976

0.988

0.994

4

0.679

0.765

0.829

0.846

0.889

0.926

5

0.557

0.642

0.710

0.729

0.780

0.821

6

0.482

0.560

0.625

0.644

0.698

0.740

7

0.434

0.507

0.568

0.586

0.637

0.680

8

0.399

0.468

0.526

0.543

0.590

0.634

9

0.370

0.437

0.493

0.510

0.555

0.598

10

0.349

0.412

0.466

0.483

0.527

0.568

11

0.332

0.392

0.444

0.460

0.502

0.542

12

0.318

0.376

0.426

0.441

0.482

0.522

13

0.305

0.361

0.410

0.425

0.465

0.503

14

0.294

0.349

0.396

0.411

0.450

0.488

15

0.285

0.338

0.384

0.399

0.438

0.475

16

0.277

0.329

0.374

0.388

0.426

0.463

17

0.269

0.320

0.365

0.379

0.416

0.452

18

0.263

0.313

0.356

0.370

0.407

0.442

19

0.258

0.306

0.349

0.363

0.398

0.433

20

0.252

0.300

0.342

0.356

0.391

0.425

21

0.247

0.295

0.337

0.350

0.384

0.418

22

0.242

0.290

0.331

0.344

0.378

0.411

23

0.238

0.285

0.326

0.338

0.372

0.404

24

0.234

0.281

0.321

0.333

0.367

0.399

25

0.230

0.277

0.317

0.329

0.362

0.393

26

0.227

0.273

0.312

0.324

0.357

0.388

27

0.224

0.269

0.308

0.320

0.353

0.384

28

0.220

0.266

0.305

0.316

0.349

0.380

29

0.218

0.263

0.301

0.312

0.345

0.376

30

0.215

0.260

0.298

0.309

0.341

0.372

www.chemmix.artnet.pl

13