1. Postulaty statyki

1)Zasada równoległoboku R=P

1

+P

2

2)Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy, gdy działają wzdłuż tej
samej prostej, są przeciwnie skierowane i mają te same wartości liczbowe
3)Działanie układu sił przyłożonych do ciał sztywnego nie ulegnie zmianie, gdy do układu dodamy
lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił tzw. układ zerowy
4)Zasada zesztywnienia – równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona
przez zesztywnienie tego ciała
5)Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej
prostej przeciwdziałanie
6)Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich
działanie odpowiednimi reakcjami.

2. Twierdzenie o trzech siłach

Aby 3 nierównoległe do siebie siły działające na ciało sztywne były
w równowadze, linie działania tych sił muszą się przecinać w jednym
punkcie, a same siły tworzyć trójkąt zamknięty.

3. Twierdzenie Varigonon

Moment względem dowolnego punktu O wypadkowej
dwóch sił równy jest sumie momentów sił wypadkowych

względem tego punktu.

𝑀

⃗⃗

0

= 𝑟

⃗⃗ × 𝑅⃗ gdzie 𝑅⃗ = 𝐹

1

+ 𝐹

2

4. Para sił

Układ dwóch sił równoległych

𝑃⃗

′

= −𝑃⃗ , 𝑃

′

= 𝑃 nie leżących

na jednej prostej Aby pary sił działające w jednej płaszczyźnie
znajdowały się w równowadze, suma momentów tych par musi
być równa zeru.

𝑀

0

+ 𝑀

0

′

= 𝑃(ℎ

1

− ℎ

2

) = 𝑃𝑎 = 𝑀

5. Moment siły

Momentem wektora a względem punktu (bieguna) O nazywamy iloczyn wektorowy

wektora r

A

= OA o początku w punkcie O i końcu w początku wektora a przez wektor a. Moment

wektora względem punktu będziemy oznaczać w następujący sposób

M

0

(a) = r

A

× a Wektor

momentu pary sił jest wektorem swobodnym. Jeżeli mamy n par sił działających na ciało w jednej
płaszczyźnie, to moment wypadkowy jest równy sumie momentów poszczególnych par.

6. Kratownice

Jest to układ złożony z prętów połączonych przegubowo, mający niezmienną postać geometryczną.
Warunek sztywności p=2w-3; Przy rozwiązywaniu kratownicy w prętach siły w prętach zakłada się
następująco:

rozciąganie:

ściskanie

7. Redukcja płaskiego układu sił

Dana siła

𝑃⃗ . Do dowolnego punktu O ciała przykładamy układ zerowy. 𝑃⃗ 𝑖 𝑃⃗

′

= −𝑃⃗

Otrzymujemy układ: siła

𝑃⃗ , para sił o momencie M

O

= aP

8. Redukcja przestrzennego dowolnego układu sił

dowolny układ sił przyłożonych do jednego punktu

zastąpić możemy jedną siłą wypadkową przyłożoną
w tym punkcie i równą sumie geometrycznej sił.

𝑅⃗ = ∑ 𝑃

𝑖

⃗⃗

9. Tarcie

zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał. Siły te nazywamy

siłami tarcia. Możemy je opisać jako siły oporu zapobiegające ruchowi, który by powstał gdyby tarcia
nie było. Tarcie spoczynkowe (statyczne), występujące między dwoma ciałami gdy nie
przemieszczają się względem siebie. Tarciem ruchowym (kinematyczne)- nazywa się gdy dwa ciała
ślizgają się lub toczą po sobie. Siła tarcia przeciwstawia się wówczas ruchowi.

10. Kinematyczne równania ruchu punktu

Położenie punktu w przestrzeni określić możemy za pomocą trzech
współrzędnych w prostokątnym układzie współrzędnych 0xyz
który traktujemy jako nieruchomy układ odniesienia. W przypadku
gdy punkt porusza się czyli zmienia z upływem czasu swe położenie
współrzędne x,y i z tego punktu które oznaczamy przez A,
ulęgają również zmianie czyli sa pewnymi funkcjami czasu t.
x=f

1

(t), y=f

2

(t), z=f

3

(t) – równania parametryczne toru punktu lub

11. Definicja prędkości

Prędkość punktu jest wektorem określonym przez
pierwszą pochodną wektora położenia względem czasu.

12. Definicja przyspieszenia

Wektor dany przez pierwszą pochodną wektora prędkości lub
dugą pochodną wektora położenia względem czasu

13. Przyspieszenie styczne, przyspieszenie normalne

przysp. styczne -

przysp. normalne -

, gdzie p- promień krzywizny

Droga

to długość odcinka toru (krzywej lub prostej), jaką pokonuje ciało lub punkt materialny podczas swojego

ruchu. Droga nie oznacza odległości pomiędzy dwoma punktami wyznaczającymi początek i koniec ruchu. Liczy się ją
po torze ruchu, czyli po krzywej, po której porusza się ciało. Droga jest sumą dróg przebytych przez ciało w
nieskończenie małych odcinkach czasu dt, co wyraża wzór

𝑠 = ∫ 𝑣𝑑𝑡

15. Rodzaje ruchów bryły

Ruch postępowy- jeżeli bryła porusza się tak że jej chwilowe położenia są równoległe do położenia
początkowego
Ruch obrotowy- Jeżeli dwa punkty bryły są stałe, tworzą wtedy oś obrotu bryły

Ruch płaski -taki ruch, w którym tory wszystkich punktów bryły są równoległe do pewnej płaszczyzny
nazywanej płaszczyzną ruchu.
Ruchem kulistym nazywamy taki ruch bryły, w czasie którego jeden z punktów z nią związanych jest
nieruchomy.

16. Prędkość i przyspieszeni punku bryły w ruchu postępowym

Prędkość: Prędkości wszystkich punktów bryły poruszającej się ruchem postępowym są w danej
chwili wektorami równoległymi.

𝑟

𝑖

= 𝑟

𝐴

+ 𝑝

𝑖

𝑝

𝑖

= 0

Przyspieszenie: Przyspieszenia wszystkich punktów bryły w ruchu postępowym są w danej chwili
wektorami równoległymi.

𝑣

𝑖

= 𝑣

𝐴

𝑎

𝑖

= 𝑎

𝐴

17. Prędkość i przyspieszenie punktu bryły w ruchu obrotowym

Prędkość liniowa dowolnego punktu bryły w ruchu
obrotowym jest równa iloczynowi wektorowemu
wektora prędkości kątowej przez wektor położenia
punktu (początek układu na osi obrotu).

Przyspieszenie:

Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu
obrotowym jest sumą geometryczną przyspieszeń: Obrotowego i do osiowego

18. Prędkość kątowa

wielkość wektorowa opisująca ruch

obrotowy ciała, określona wzorem: ω = dθ/dt, gdzie:
dθ - elementarny skierowany kąt płaski opisujący obrót
ciała w chwili dt wokół chwilowej osi obrotu.

19. Przyspieszenie kątowe

jest wektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby

prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt α, a wartość prędkości kątowej oznaczymy
jako ω, to wartość przyspieszenia kątowego ε wynosi

23.

Prędkość liniowa punktu, a prędkość kątowa bryły

Każdy punkt obracającej się bryły ma inną prędkość liniową, natomiast prędkość kątowa wszystkich
punktów bryły jest taka sama. Punkt odległy od osi obrotu o r ma prędkość liniową v.

24.

Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu płaskim

Prędkość (sum. Geo.V.pot+V.obrot) : Przyspieszenie( sum.geo.a post+a.obrot+a.doosiowego)

25.Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch punktów bryły sztywnej poruszającej się w ruchu płaskim.

Metoda rzutów prędkości – oparta jest na twierdzeniu Charlesa.

Twierdzenie Charlesa – w bryle sztywnej podczas dowolnego
ruchu, rzuty wektorów prędkości dwóch dowolnych punktów na
prostą łączącą te punkty są sobie równe. vAcosα=vBcosβ

26. Chwilowy środek obrotu

Punkt, którego prędkość w danej chwili jest równa zeru.
Wyznaczenie środka obrotu:

W układzie ruchomym

W układzie nie ruchomym

29. Układ Eulera

Prędkość

φ

Kąt obrotu własnego,

𝜓 Kąt precesji, 𝜐 Kąt nutacji

31. Przyspieszeni kątowe w przypadku precesji regularnej

Przyspieszenie kątowe występuje w ruchu obrotowym - jest pseudowektorem leżącym na osi obrotu i
skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. prędkość kątową oznaczymy jako ω, a wartość
przyspieszenia kątowego jako ε

33.

Ruch złożony punktu

Ruch punktu względem układu nieruchomego nazywamy
ruchem bezwzględnym, a względem układu ruchomego
ruchem względnym. Ruch układu ruchomego względem
układu nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia

34.

Prędkość bezwzględna

Jest wypadkową prędkości unoszenia i prędkości względnej

Prędkość punktu M

względem układu

nieruchomego współrzędnych Oxyz nazywamy prędkością bezwzględną (absolutną) i

oznaczamy ją symbolem

.

r

c

'

o'

2

r

c

o'

r

c

'

d

dt

m

1

m

2

... m

n

P

1

P

2

... P

n

P

k

m

1

m

2

r

2

35. Przyspieszenie bezwz

. Jest sumą wektorową przyspieszenia unoszenia,

względnego i przyspieszenia Coriolisa

36.

Przyspieszenie Coriolisa -

związane z ruchem obrotowym ziemi, występuje w ruchu złożonym

𝑎

𝑐

= 2𝜔

⃗⃗

𝑢

× 𝑉⃗

𝑤

(Przyśpieszenie Coriolisa jest podwojonym iloczynem wektorowym prędkości kątowej i

prędkości względnej) Nie ma przyspieszenia Coriolisa (

𝑎

𝑐

= 0), gdy nie ma obrotu 𝜔

⃗⃗

𝑢

= 0, albo 𝑉⃗

𝑤

= 0,

lub jeżeli

𝜔

⃗⃗

𝑢

jest równoległy do

𝑉⃗

𝑤

(

𝜔

⃗⃗

𝑢

∥ 𝑉⃗

𝑤

)

37. Prawa ruchu Newtona

Prawo pierwsze. Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub w stanie ruchu jednostajnego prostoliniowego
dopóty, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią.
Prawo drugie. Zmiana ilości ruchu (czyli pędu lub impulsu) jest proporcjonalna do siły działającej i ma
kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa. Oznaczając przez P siłę działającą na punkt materialny, a przez
mv jego pęd (m - masa, v - prędkość), treść drugiego prawa Newtona możemy wyrazić następującym
równaniem wektorowym F=m*a
Prawo trzecie. Każdemu działaniu towarzyszy równe i przeciwne zwrócone oddziaływanie, czyli wzajemne
działania dwóch ciał są zawsze równe i skierowane przeciwnie.
Prawo czwarte. Jeżeli na punkt materialny o masie m działa jednocześni kilka sił, to każda z nich działa
niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa wektorowej sumie
wektorów danych sił.

Prawo piąte (grawitacji). Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost
proporcjonalną do iloczynu ich mas (m

1

, m

2

) i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r między

nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty.

W ruchu punktu materialnego układ sił czynnych i reakcji więzów równoważy się z pomyślaną

siłą bezwładności.

39. Zasada zachowania pędu:

Równanie:

Wyraża zasadę pędu dla punktu materialnego. Pochodna pędu punktu materialnego jest równa sumie
sił działających na dany punkt. Powyższe równanie jest ogólniejszym sformułowaniem drugiej

zasady dynamiki. Jeżeli teraz:

Jest to zasada zachowania pędu dla punktu.

40.

Zasada pędu i popędu -

(lub inaczej, prawo zmienności pędu) Przyrost pędu układu

materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi wektora głównego sił zewnętrznych
działających na ten układ.







t

dt

W

p

t

p

0

)

0

(

)

(

41.

Zasada zachowania krętu.

Pochodna względem czasu krętu ukł. Obliczonego względem pkt. nieruchom S lub wzg. Środka
masy równa jest sumie momentów sil zewn. Działających na układ obliczonych względem pkt S Lub
środka masy Ks_=sum(n;i=1) pi_x(mi*vi_)

42.

Zasada krętu i pokrętu.

Przyrost krętu układu materialnego względem dowolnego nieruchomego punktu jest równy
pokrętowi momentu głównego sił zewnętrznych względem tego samego punktu.







t

O

O

O

dt

M

k

t

k

0

)

0

(

)

(

43.

Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego.

Powstają z podwójnego całkowania

44.

Definicja pracy.

Jeśli na jakiś pkt. działa siła P_ i przesuwa się o s_, to mówimy, ze P_ wykonała prace:

L=P_*S_=P*s*cosa [J=(kg*m^2)/s^2]

45. Moc mechaniczna.

Mocą siły nazywamy pracą wykonaną w jednostce czasu. Jeśli praca siły

zmienia się z czasem to wówczas moc jest pochodna pracy względem czasu:

M=dL/dt=P_*dr_/dt=P_*V_

M=P_*v_=P*v*cosa [W=J/s]

46.

Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej.

Jeżeli na poruszający się punkt

materialny o masie m działa siła czynna P to przyrost en. kinetycznej tego punktu jest równy pracy
wykonanej przez siłę działającą na ten punkt: L=1/2mV

2

k

- 1/2mV

2

p

48. Potencjalne (zachowawcze) pole sił

takie pole sił, w którym praca wykonywana podczas

przesuwania jakiegoś ciała nie zależy od toru, po którym porusza się ciało, a jedynie od jego położenia
początkowego i końcowego. Polem zachowawczym jest np. pole grawitacyjne i pole elektryczne.
Wyobraźmy sobie, że na parapecie okna na drugim piętrze stoją dwie identyczne rośliny w doniczkach.
Jedna z nich została przywieziona windą a druga wniesiona po schodach. Nagle doniczki zaczynaja spadać,
w tym samym momencie. Która będzie miała większą energię kinetyczną, gdy osiągnie chodnik? Nie będzie
żadnej różnicy. Dlaczego? Ponieważ wartość energii na danej wysokości nie zależy od toru, po którym
wniesiono donice

49.

Twierdzenie o ruchu środka masy układu punktów materialnych.

, gdzie



F -R,



W =0

0

2

2

2

2

Mr

dt

d

m r

dt

d





; Mr

0

’’=R

Ruch układów punktów materialnych odbywa się tak jakby cała masa układu skupiona była w jego środku
masy i na który to punkt działają wszystkie siły zewnętrzne. → →
M ro = R

50.

Pęd układu punktów materialnych.

R

MV

dt

d



0

; Q=MV

0

=



mV - pęd ukł. Punktów materialnych;

R

dt

dQ



- zasada pędu

Na pęd ma tylko wpływ siła zew, a nie wew.
R=0 >> Q=const
Jeżeli jedno ciało zyskuje pęd to drugie też go zyskuje lecz z przeciwnym znakiem.Pęd dotyczy tylko

ruchu postępowego, nie obrotowego, bo nie ma masy, bezwładności, prędkości kątowej.

Zasada zachowania pędu:

Jeżeli na układ nie działają siły lub działające siły się znoszą to pęd jest stały, czyli zachowany R=0 to
Q=const. Określa się go tylko przy ruchu postępowym, przy ruchu obrotowym nie istnieje.

51.

Kręt układu punktów materialnych.

K

s

=



ρ

i

*mV

i

– kręt

c

c

M

dt

dK



Zmiana krętu ukł. punktów mat. W czasie wywołana jest przez moment główny działający na układ
brany względem nieruchomego punktu lub środka masy.
M

c

=0 >> K

c

=const

52. Energia kinetyczna układu punktów materialnych.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii poszczególnych pkt.
T=sum (mi*vi^2)/2

53.

Twierdzenie Koeniga.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych równa jest sumie energii

kinetycznej, jaką miałby pkt materialny o masie całego układu, poruszający się z prędkością środka masy

oraz energii kinetycznej tegoż układu względem środka masy.

54.

Zasada zachowania energii mechanicznej

–w układzie izolowanym suma składników

wszystkich rodzajów energii całości (suma energii wszystkich jego części) układu jest stała (nie zmienia się
w czasie).

55.

Wahadło matematyczne

0

sin

"

0

sin

"

sin

"

sin

2

2































l

g

g

ml

ml

mgl

ml

mgl

M

z

56. Wahadłem fizycznym

nazywamy swobodnie obracające się ciało materialne względem stałego

punktu.

0

sin

"

sin

"

sin





























g

I

ms

mgs

I

mgs

M

y

F

M

z

z

z

z

Porównując to równanie z wahadłem matematycznym otrzymujemy

ms

I

l

z

red



długość zredukowana

Okres wahadła

mgs

I

g

l

g

l

T

z

red







2

2

2









Rozwiązanie:

)

cos(

0











t

A

57.

Drgania swobodne

Aby wystąpiły drgania, punkt musi poruszać się ruchem prostoliniowym pod wpływem siły

F



przyciągającej ten punkt do stałego punktu O zwanego środkiem drgań.
Siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia punktu
F = -kx, k-stała sprężystości.
Równanie będzie miało postać
mx” = F
mx” = -kx lub







m

k

x

m

k

x

0

"

Otrzymujemy równanie różniczkowe drgań swobodnych











,

0

"

2

x

x

częstość ruchu.

Otrzymane równanie jest równaniem liniowym, jednorodnym drugiego rzędu. Rozwiązanie:

)

sin(



 



t

a

x

(a-amplituda(max. wychylenie),



- faza początkowa ruchu drgań

)

(







t

-faza drgań)

Ruch określony powyższym wzorem jest okresowy o okresie

k

m

T

m

k

T









2

,

2







58.

Drgania tłumione

Drgania tłumione występują w ośrodku stawiającym opór. Siły oporu są proporcjonalne do prędkości

'

*

x

R

x













-siła tłumiąca.

Równania ruchu:

m

n

m

k

x

nx

x

x

kx

mx

























2

,

0

'

2

"

'

"

2

Ponieważ równanie charakterystyczne

0

2

2

2













n

jest kwadratowe, to mogą zajść 3 przypadki(delta większa, mniejsza, równa 0)
1.Małe tłumienie

0









n



Rozwiązanie:

)

sin(

2

2













t

n

ae

x

nt

Jeżeli

0

,







tox

t

-drgania zanikają. Okres:

2

2

2

2

,

2

n

n

T

t

















2.Duże tłumienie.

0









n



Mamy rozw. rzeczywiste nie będzie drgań. Rozwiązanie

)

sinh(

2

2













t

n

ae

x

nt

Ruch ten nie jest ruchem okresowym, nie ma drgań.
3.Tłumienie krytyczne

0









n



Rozwiązanie:

)

(

2

1

t

C

C

e

x

nt







Brak okresowości, brak drgań.

59.

Logarytmiczny dekrement tłumienia

Dekrement tłumienia jest to stosunek dwóch kolejnych amplitud w ruchu tłumionym

gdzie

A

n

- amplituda n-tego drgania,

A

n+1

- amplituda następnego drgania.

Logarytmiczny dekrement tłumienia jest to logarytm naturalny dekrementu tłumienia

60. Drgania wymuszone

Jeżeli na punkt dodatkowo działa siła wymuszająca okresowa to występują drgania wymuszone.
Siła wymuszająca S=H sin(pt),
p-czestość siły wymuszającej.
Równanie ruchu tych drgań

m

H

h

m

k

pt

h

nx

x

pt

H

kx

mx















,

)

sin(

'

2

"

)

sin(

"



Rozwiązanie ostateczne tych drgań

)

sin(

)

sin(

2

2

pt

p

h

t

a

x















Jest to złożenie dwóch drgań: własnych i wymuszonych. Widzimy, że amplituda

drgań wymuszonych

2

2

p

h

B







zależy od częstości drgań wymuszonych.
Jeżeli







toB

p

,



i występuje rezonans. W przypadku rezonansu rozwiązanie drgań będzie miało

postać.

)

cos(

2

)

sin(

t

t

h

t

a

x















61.

Rezonans

- zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się

pochłanianiem energii poprzez wykonywanie drgań o dużej amplitudzie przez układ drgający dla
określonych częstotliwości drgań.

62.

Amplituda

- nieujemna wartość określająca wielkość przebiegu funkcji okresowej.

63.

Okres drgań-

dla ruchu periodycznego czas, po jakim układ drgający znajduje się ponownie

w takiej samej fazie.

gdzie: f - częstotliwość, gdzie: ω - pulsacja (częstość kołowa).

64.

Częstotliwość

określa liczbę cykli zjawiska okresowego występujących w jednostce czasu.

W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz). Częstotliwość 1 herca odpowiada występowaniu
jednego zdarzenia (cyklu) w ciągu 1 sekundy. Najczęściej rozważa się częstotliwość w ruchu obrotowym,
częstotliwość drgań, napięcia, fali fizyce częstotliwość oznacza się literą f lub grecką literą ν. Z definicji
wynika wzór:

Gdzie f – częstotliwość, n – liczba drgań, t – czas, w którym te drgania zostały wykonane. Z innymi

wielkościami wiążą ją następujące zależności:

66. Faza drgań

w fizyce wielkość bezwymiarowa opisująca procesy okresowe przedstawiająca, w której

części okresu znajduje się ciało (zjawisko). Dla drgań harmonicznych opisanych równaniem faz drgań
określa się argument funkcji sinus, czyli

67.Faza początkową drgań

Kąt φ nazywa się fazą początkową drgań, czyli fazą w chwili początkowej t = 0.

71.

Reakcje dynamiczne

dynamiczne

reakcje

R

R

const

B

A

_

,

.







Korzystamy z zasady d’Alemberta
Siły odśrodkowe muszą się równoważyć z siłami reakcji. Równania będą

0

0

0

0

_

2

2

2

2





























xzdm

l

R

yzdm

l

R

momenty

ydm

R

R

xdm

R

R

sił

równania

Bx

By

By

Ay

Bx

Ax









Oznaczając

















xz

yz

c

c

D

xzdm

D

yzdm

my

ydm

mx

xdm

,

,

mamy

0

0

0

0

2

2

2

2





















xz

Bx

yz

By

c

By

Ay

c

Bx

Ax

D

l

R

D

l

R

my

R

R

mx

R

R









2

2

2

2

By

Bx

B

Ay

Ax

A

R

R

R

R

R

R









Reakcje znikają tylko wtedy, gdy

0

,

0

,

0

,

0









yz

xz

c

c

D

D

y

x

Aby reakcje dynamiczne były równe zeru oś obrotu musi być centralną główną osią bezwładności

72.

Długość zredukowana wahadła fizycznego

Wahadłem fizycznym nazywamy swobodnie

obracające się ciało materialne względem stałego punktu.

73.

Kręt bryły w ruchu obrotowym

I – moment bezwładności ciała,hy

– prędkość kątowa.

74.

Energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym

gdzie:

- prędkość kątowa,

- tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym
upraszcza się do:

I - odpowiednim momentem bezwładności,
ω - prędkość kątowa.

75.

Energia kinetyczna bryły w ruchu płaskim

76

Środek masy bryły

Środek masy, punkt określony przez rozkład mas w danym ciele lub układzie

ciał. Położenie środka masy wyraża się wzorem:

gdzie m

k

i r

k

- odpowiednio masy i promienie wodzące poszczególnych punktowych ciał składających się na

dany obiekt.

77.

Środek masy układu punktów materialnych

Środek masy określony jest następująco:

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona Σ

𝑖

W

𝑖

= 0 ponieważ występują parami.

𝑀

𝑟

0

→̈= ∑

𝑃𝑖

→

𝑖

Pi - siły zewnętrzne; Wi - siły wewnętrzne;

78.

Definicja momentu bezwładności

Momentem bezwładności punktu materialnego

względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy tego punktu przez kwadrat odległości tego
punktu od płaszczyzny, osi lub bieguna.

I = mr

2

79.

Główny moment bezwładności

Momenty bezwładności względem punktu
I

xx

=



x

2

dm

I

yy

=



y

2

dm

I

zz

=



z

2

dm

Momenty bezwładności względem osi
I

x

=



(y

2

+ z

2

) dm = I

yy

+ I

zz

I

y

=



(x

2

+ z

2

) dm = I

xx

+ I

zz

I

z

=



(x

2

+ y

2

) dm = I

xx

+ I

yy

80. Dewiacyjne momenty bezwładności

Momentem dewiacji (zboczenia) w płaszczyźnie dwóch osi układu współrzędnych karteziańskich jest całka
iloczynów mas i ich odległości od płaszczyzn. Jest on zależny od rozkładu mas i kierunku osi trzeciej.

I

xy

= I

yx

=



xy dm

I

yz

= I

zy

=



yz dm

I

zx

= I

xz

=



zx dm

81.

Tw. Steinera

Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi względem osi równoległej
przechodzącej przez środek masy powiększonemu o iloczyn masy całkowitej układu przez kwadrat
odległości obu osi.

I

l

= I

s

+ md

2

83.

Główna oś bezwładności

Można przyjąć układ współrzędnych taki, ze Dαβ =0. I

1

x

2

+ I

2

y

2

+ I

3

z

2

= k

2

gdzie I

1

,

2

,

3

-główne momenty bezwładności

Takimi osiami są: każda oś symetrii, każda prosta

⊥ do płaszczyzny symetrii, każda prosta, na której leżą

środki mas warstw elementarnych, otrzymanych przez podział ciała płaszczyznami prostopadłymi do tej
prostej.

84.

Centralna oś bezwładności-Centralnym momentem bezwładności

bryły nazywamy moment względem osi przechodzącej przez środek masy bryły sztywnej. Każda bryła ma
taką centralną oś obrotu, względem której moment bezwładności ma największą wartość oraz oś do niej
prostopadłą, względem której moment bezwładności jest najmniejszy. Osie te nazywają się głównymi
osiami momentu bezwładności. Trzecią osią główną jest oś do nich prostopadła, moment bezwładności ma
względem niej pośrednią wartość

85.

Główna centralna oś bezwładności

Są to osie główne przechodzące przez środek masy