A8: Omówić narzędzia i metody rozwiązywania zadania sterowania
optymalnego

Na początek to samo, co w A7 – wylosuje się tylko jedno z pytań; myślę, że zacząć trzeba tak samo:

Wprowadzenie:

Sterowanie optymalne, zadania sterowania optymalnego:

Narzędzia i metody rozwiązywania:

1. Zastosowanie eksponenty macierzowej do wyznaczenia sterowania optymalnego dla

liniowych układów sterowania:

Mając:

gdzie A – macierz stanu, B – macierz sterowania; (dla równania: y(t) = Cx(t), C – macierz wyjściowa)

To:

Wówczas (1):

Wówczas (2):

A wyznaczanie eksponenty macierzowej wygląda następująco:

Przykładowe rozwiązanie:

2. Sprowadzanie problemu optymalnego sterowania do zadania rachunku wariacyjnego:

Za Wikipedią:

Rachunek wariacyjny - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów
funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek
wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla których dany funkcjonał przyjmuje
wartości ekstremalne. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji.

Za Wikipedią:

Równania Eulera-Lagrange'a – podstawowe równanie rachunku wariacyjnego, którego
rozwiązaniami są funkcje, dla których pewne wyrażenie dane całką oznaczoną jest
stacjonarne.

Dla funkcjonału:

rozwiązaniem równania Eulera-Lagrange'a:

są funkcje x(t), dla których S jest stacjonarne. To znaczy, że dla niewielkich odchyleń x(t), S
zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby S przyjmowało dla x(t)
ekstremum.

3. Mnożniki funkcyjne Lagrange’a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym:

Dla każdego, kto tylko omiótł to wzrokiem – ostatnie zdanie mówi, po co to wszystko.

A ponadto warto wiedzieć:
Dla układów liniowych o rzeczywistych wartościach własnych sterowanie minimalnoczasowe jest
typu przekaźnikowego (bang-bang) i może zmieniać znak nie więcej niż n-1 razy dla układu n-tego
rzędu.

Pominięto zagadnienia z kursu, które na pewno były na ćwiczeniach, a które nie są związane z
tematem A8:



linearyzacja nieliniowych modeli obiektów sterowania – czyli wykorzystanie wzoru Taylora,



badanie obiektu sterowania o parametrach rozłożonych – wykorzystanie m.in. dyskretyzacji
zmiennej przestrzennej,



badanie stabilności nieliniowych układów sterowania – druga i pierwsza metoda Lapunowa,



metoda łączenia rozwiązań równań stanu na podprzedziałach stałości i liniowości sterowania,



badanie dominacji sterowania cyklicznego za pomocą formy macierzowej π (to może
podchodzi pod temat, ale jest to tak absolutnie niezrozumiałe i niewytłumaczalne, że lepiej o
tym nie wspominać),



badanie sterowalności liniowych układów sterowania (w tym sterowalności selektywnej),



badanie obserwowalności liniowych układów sterowania,



rozkład kanoniczny Kalmana liniowych układów sterowania.