Analiza Matematyczna - I Rok Informatyki

Lista 14 - Zastosowania geometryczne całek z funkcji jednej zmiennej

Zadanie 1. Obliczyć długości łuków następujących krzywych:

(1) krzywej y = x

2

, 0 ¬ x ¬ 2;

(2) linii łańcuchowej y = a cosh

x
a

= a

e

x

a

+e

− x

a

2

dla 0 ¬ x ¬ t;

(3) krzywej logarytmicznej y = ln x w przedziale

√

3 ¬ x ¬ 2

√

2;

(4) krzywej y = arc sin x +

√

1 − x

2

dla −1 ¬ x ¬ 1;

(5) okręgu o równaniach parametrycznych: x = r cos t, y = r sin t, r > 0, 0 ¬ t ¬ 2π;

(6) cykloidy: x = r(t − sin t), y = r(1 − cos t), gdzie r > 0, 0 ¬ t ¬ 2π;

(7) asteroidy: x = a cos

3

t, y = a sin

3

t, gdzie a > 0, 0 ¬ t ¬ 2π;

(8) ewolenty (rozwijającej) okręgu: x = a cos t + at sin t, y = a sin t − at cos t, a > 0,

0 ¬ t ¬ 2π;

(9) spirali logarytmicznej r = ae

kθ

, gdzie a > 0, k > 0, 0 ¬ θ ¬ α;

(10) spirali Archimedesa: r = aθ, a > 0, 0 ¬ θ ¬ 2π;

(11) kardioidy: r = a(1 + cos θ), gdzie a > 0, 0 ¬ θ ¬ 2π;

(12) lemniskaty r

2

= 2a

2

cos(2θ);

(13) linii śrubowej (krzywa przestrzenna): x = R sin

2

t, y = R sin t cos t, z = R cos t,

0 ¬ t ¬ 2π.

Zadanie 2. Obliczyć pola obszarów ograniczonych następującymi krzywymi:

(1) okręgiem: x = R cos t, y = R sin t, gdzie R > 0, 0 ¬ t ¬ 2π;

(2) elipsą: x = a cos t, y = b sin t, gdzie a, b > 0, 0 ¬ t ¬ 2π;

(3) odcinkiem osi OX i łukiem cykloidy określonej w Zadaniu 1;

(4) asteroidą określoną w Zadaniu 1.;

(5) osiami współrzędnych i parabolą:

√

x +

√

y =

√

a, a > 0;

(6) spiralą logarytmiczną określoną w Zadaniu 1 oraz promieniami wodzącymi o ampli-

tudach 0 i α, gdzie 0 ¬ α ¬ 2π;

(7) lemniskatą określoną w Zadaniu 1;

(8) rozetą trójkątną: r = a sin 3θ, a > 0;

(9) pętlą spirali Archimedesa: r = aθ, a > 0, 0 ¬ θ ¬ 2π;

(10) spiralą hiperboliczną: r =

a
θ

, a > 0,

π

4

¬ θ ¬ 2π;

(11) kardioidą określoną w Zadaniu 1.

Zadanie 3. Obliczyć objętość i pole powierzchni kuli o promieniu R.

Zadanie 4. Obliczyć objętość i pole powierzchni bryły powstałej z obrotu dookoła osi
OX:

(1) łuku paraboli y

2

= 4x w granicach 0 ¬ x ¬ 3;

(2) łuku cykloidy określonej w Zadaniu 1;

(3) elipsy określonej w Zadaniu 2;

(4) asteroidy określonej w Zadaniu 1;

(5) prostej o równaniu y =

R

h

x dla 0 ¬ x ¬ h, ( stożka kołowego o wysokości h i

promieniu podstawy R);

(6) sinusoidy y = sin x, 0 ¬ x ¬ π;

(7) hiperboli x

2

− y

2

= a

2

, a > 0, a ¬ x ¬ a

√

2.

Patrz też:

(1) W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza Matematyczna w Zadaniach. Część I, str. 381-416

(2) G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 2, str. 145-220