1

Liczby zespolone

Liczby zespolone znalazły bardzo duże zastosowanie w matematyce, fizyce,

mechanice, elektronice, automatyce. Służą do wyznaczania pierwiastków z liczb ujemnych,
wyznaczania wszystkich pierwiastków równań wyższych rzędów (np. pierwiastki równania
kwadratowego przy

0

<

∆

, dla liczb zespolonych każdy wielomian

n-tego stopnia ma n

pierwiastków), logarytmów z liczb ujemnych, kąta, gdy sinus lub cosinus ma wartość większą
od 1 lub mniejszą od -1. W elektronice pozwala w bardzo łatwy sposób wyznaczać
impedancję układów, które zawierają elementy rezystancyjne i reaktancyjne (takie jak
indukcyjność, pojemność), liczyć przesunięcia fazowe wnoszone przez układ, wyznaczać
transmitancję (jak układ przenosi sygnał z wejścia na wyjście, czy też inne wybrane miejsce).
Stosowane są do wyznaczania stabilności układów tak elektronicznych jak i mechanicznych
oraz wyznaczania innych wielu parametrów. Jakie są zalety ich stosowania? Upraszczają
obliczenia i analizę.

Liczby zespolone są zbiorem liczb, do których należą też i liczby rzeczywiste, które są

wszystkim dobrze znane. Czym się więc różnią? Oprócz części rzeczywistej (zwykłej liczby
jaką znacie) posiadają też część urojoną. Dlatego też, liczbą zespoloną (jak sama nazwa
wskazuje) nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych (a,b). Ogólny symbol:
z = Re{z} +

i Im{z}=a +ib;

gdzie: Re{z}=a – część rzeczywista liczby zespolonej x, (

ang. real)

Im{z}=b – część urojona liczby zespolonej x (

ang. imagine)

i – wyróżnia część urojoną

1

−

=

i

czyli

1

2

−

=

i

Często oznacza się liczbę zespoloną podkreśleniem z, a zamiast ‘i’ może być ‘j’.
Liczby rzeczywiste są więc liczbami zespolonymi, których część urojona jest równa 0.
Np: 2 = 2 +i0; -4=-4+i0
Przykłady liczb zespolonych: 2+j3; 3; 1-j5 itp. - taką postać liczby zespolonej nazywamy
kanoniczną.

Tak jak liczbę rzeczywistą przedstawia się

na osi liczbowej, tak liczbę zespoloną jako, iż ma
dwie składowe, możemy przedstawić na układzie
współrzędnych, gdzie liczba z jest punktem na
płaszczyźnie o współrzędnych (a,b). Na osi OX (x)
przedstawia się część rzeczywistą (a), a na osi OY
(y) część urojoną (b).

Skoro tak, to można też liczbę zespoloną

przedstawić w innej postaci, zwanej wykładniczą,
która będzie się składać z modułu |z|, który oznacza
odległość

punktu

z

od

ś

rodka

układu

współrzędnych, oraz członu wykładniczego, który
wskazuje kąt między osią OX i odcinkiem łączącym
ś

rodek układu z punktem z, czyli modułem. Kąt

liczony jest od osi OX do odcinka w kierunku
przeciwnym do obrotu wskazówek

ϕ

i

e

z

z

|

|

=

gdzie: |z| - moduł liczby z

φ

– kąt, argument liczby z.

e – liczba niewymierna – liczba Nepera,

718

,

2

≈

e

Ostatnią postacią jest postać trygonometryczna. Jak
się dobrze przyjrzeć rysunkowi obok, to ‘a’ i ‘b’
można wyznaczyć znając moduł i argument liczby
‘z’ – φ, korzystając z funkcji trygonometrycznej.

Re{z}

Im{z}

b

a

z=a+ib

|z|

φ

Re{z}

Im{z}

b

a

z=a+

ib

2

Tak dla przypomnienia:
Sinus danego kąta w trójkącie prostokątnym wyznaczany jest, jako stosunek przyprostokątnej
naprzeciwległej do danego kąta do przeciwprostokątnej. Cosinus danego kąta w trójkącie
prostokątnym wyznaczany jest, jako stosunek przyprostokątnej przyległej do danego kąta do
przeciwprostokątnej. Tangens kąta to stosunek przyprostokątnych naprzeciwległej do
przyległej do danego kąta.

a

b

arctg

a

b

tg

b

a

z

b

a

z

z

a

z

a

z

b

z

b

=

⇒

=

+

=

⇒

+

=

=

⇒

=

=

⇒

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

2

2

2

2

2

|

|

|

|

cos

|

|

|

|

cos

sin

|

|

|

|

sin

arctg(A) -> funkcja, której wynikiem jest miara kąta, którego tg jest równy A.
Liczbę zespoloną można więc zapisać jako:

)

sin

(cos

|

|

sin

|

|

cos

|

|

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

i

z

z

z

i

z

ib

a

z

+

=

+

=

+

=

Tą postać nazywamy trygonometryczną.

Znając więc jedną postać łatwo jest wyznaczyć drugą postać:
Przykład 1:

°

⋅

=

+

=

=

=

=

=

=

°

=

=

⇒

=

=

=

+

=

+

=

+

=

45

2

2

2

2

2

)

4

sin

4

(cos

2

2

1

|

|

sin

2

1

|

|

cos

4

45

1

1

1

1

2

1

1

|

|

1

1

i

e

z

i

z

z

b

z

a

arctg

tg

b

a

z

i

z

π

π

ϕ

ϕ

π

ϕ

ϕ

Przykład 2:

1

3

)

2

1

2

3

(

2

1

2

1

2

30

sin

2

sin

|

|

3

2

3

2

30

cos

2

cos

|

|

)

3

sin

3

(cos

2

2

30

i

i

z

z

b

z

a

i

z

e

z

i

+

=

+

=

=

⋅

=

°

=

=

=

⋅

=

°

=

=

+

=

=

°

ϕ

ϕ

π

π

Przy zamianie z kanonicznej na wykładniczą lub trygonometryczną należy jednak

pamiętać o jednym! Funkcje trygonometryczne posiadają po 2 rozwiązania w zakresie od 0 do
360 stopni, dlatego aby poprawnie wyznaczyć wartość kąta należy albo wyznaczyć sinus i
cosinus oddzielnie ze wzorów (tak jak to zrobione w przykładzie) albo wyznaczyć kąt za
pomocą jednej z tych funkcji najpierw sprawdzając w jakiej jest to ćwiartce.
Przykład:

1

225

45

=

°

=

°

tg

tg

, ale jeżeli będzie 45 to wtedy liczba zespolona jest w pierwszej

ć

wiartce, ‘a’ i ‘b’ jest większe od zera, a jak 225 - ‘a’ i ‘b’ mniejsze od zera (III ćwiartka).

Z1=1+i1; Z2=-1-i1. dla obu z nich moduł jest równy

2

, a tangens równa się 1. Ale Z1 leży

w pierwszej ćwiartce a Z2 w drugiej.

Po co to wszystko? Otóż każda z tych postaci ma swoje zalety. Postać kanoniczna wskazuje
wprost wartość części rzeczywistej (np. rezystancję w układzie) i urojonej (np. reaktancję w
układzie) i bardzo dobrze nadaje się do dodawania i odejmowania liczb zespolonych, a postać
wykładnicza i trygonometryczna pozwala łatwo odczytać moduł i kąt przesunięcia i bardzo
dobrze nadaje się do dzielenia, mnożenia, pierwiastkowania i potęgowania liczb zespolonych.
z1=a+ib
z2=c+id

|z|

a

b

φ

3

Działania na liczbach zespolonych (

1

2

−

=

i

):

1) Liczba zespolona jest równa

0 gdy część rzeczywista i urojona jest równa 0, czyli a=0 i

b=0 → 0=0+i0

2) Dwie liczby zespolone są sobie

równe gdy ich części rzeczywiste i urojone są sobie równe

tzn. a=c i b=d. W postaci wykładniczej gdy moduły są sobie równe a kąty mogą być
równe lub przesunięte o wielokrotność 360°. Nie ma za to pojęcia mniejsza czy większa.

3)

Moduł -

2

2

|

|

b

a

z

+

=

,

argument -

a

b

arctg

=

ϕ

3)

Liczba przeciwna: Liczba przeciwna do z1=a+ib to liczba –z1=-(a+ib) = -a-ib

Przykład: Liczba przeciwna do 2+i3 to -2-i3; liczba przeciwna do 4-i2 to -4+i2

4)

Liczba sprzężona. Liczba sprzężona to liczba, której część urojona ma przeciwny znak,

tzn. liczba sprzężona do

ib

a

z

1

+

=

jest liczba

ib

a

z

z

−

=

=

∗

1

1

. Oznaczamy ja poprzez

kręskę poziomą na górze lub poprzez symbol ‘*’
Przykład: Znajdź liczbę przeciwną do:
a) 3+i5 → 3-i5
b) 4-i3 → 4+i3

Właściwością liczby sprzężonej jest to, że:

2

2

2

2

2

2

1

1

)

)(

(

|

|

b

a

b

i

a

ib

a

ib

a

z

z

z

+

=

−

=

−

+

=

=

⋅

Wykorzystujemy to np. gdy chcemy pozbyć się liczby zespolonej z mianownika mnożąc
go i licznik przez liczbę sprzężoną, lub też gdy dzielimy przez liczbę zespoloną.

5)

Dodawanie liczb zespolonych – dodaje się oddzielnie części rzeczywiste i urojone:

z1+z2 = a + ib + c + id = a+c + i(b+d)
Przykład: Dodaj dwie liczby:
a) 2+i4 oraz 3+i → (2+i4)+(3+i) = 2+3 + i(4+1) = 5+i5
b) 3+i5 oraz 4-i2 → (3+i5)+(4-i2) = 3+4 + i(5-2) = 7+i3

6)

Odejmowanie – odejmujemy oddzielnie części rzeczywiste od urojonych:

z1-z2 = (a+ib) – (c+id) = a-c + i(b-d)
Przykład: z1= 3+i4; z2=2-i; odejmij:
a) z1-z2 → (3+i4) – (2-i) = (3-2) + i(4-(-1)) = 1+i5
b) z2-z1 → (2-i) – (3+i4) = (2-3) + i(-1-4) = -1 –i5

7)

Mnożenie – w postaci kanonicznej mnoży się wszystkie części przez siebie:

)

(

)

(

)

(

2

2

1

bc

ad

i

bd

ac

bd

i

ibc

iad

ac

id

c

ib

a

z

z

+

+

−

=

+

+

+

=

+

⋅

+

=

⋅

Przykład:

8

14

6

12

4

8

3

2

4

3

)

2

(

2

4

2

)

2

4

(

)

3

2

(

2

2

1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

z

z

+

=

−

+

−

=

⋅

−

⋅

+

−

⋅

+

⋅

=

−

⋅

+

=

⋅

Mnożenie liczb w postaci wykładniczej lub trygonometrycznej jest łatwiejsze, korzysta się
z zasady dodawania potęg przy mnożeniu liczb o tej samej podstawie lub z własności
funkcji trygonometrycznych :
Jeżeli

)

sin

(cos

|

|

|

|

1

1

1

1

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

i

z

e

z

z

i

+

=

=

, a

)

sin

(cos

|

|

|

|

2

2

2

2

2

2

ϕ

ϕ

ϕ

i

z

e

z

z

i

+

=

=

, to:

)

(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

i

i

i

i

i

e

z

z

e

e

z

z

e

z

e

z

z

z

))

sin(

)

(cos(

|

|

|

|

)

sin

(cos

|

|

)

sin

(cos

|

|

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+

+

+

⋅

=

+

⋅

+

=

⋅

i

z

z

i

z

i

z

z

z

Otrzymuje się to wymnażając nawiasy i korzystając ze wzorów trygonometrycznych, które

łatwo odnaleźć w tablicach matematycznych:

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

cos

sin

cos

sin

)

sin(

sin

sin

cos

cos

)

cos(

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

⋅

+

=

+

⋅

−

⋅

=

+

)

sin(

)

cos(

)

cos

sin

sin

(cos

sin

sin

cos

cos

sin

sin

cos

sin

sin

cos

cos

cos

)

sin

)(cos

sin

(cos

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+

+

+

=

⋅

+

⋅

+

−

⋅

=

+

+

+

=

+

+

i

i

i

i

i

i

i

Przykład: Pomnóż dwie liczby:

a)

°

°

+

°

°

°

°

°

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

165

)

120

45

(

120

45

120

45

6

6

2

3

2

3

i

i

i

i

i

i

e

e

e

e

e

e

b)

)

165

sin

165

(cos

6

)

120

sin

120

(cos

2

)

45

sin

45

(cos

3

°

+

°

⋅

=

°

+

°

⋅

⋅

°

+

°

⋅

i

i

i

4

8) Dzielenie – w postaci kanonicznej wymnaża się przez liczbę sprzężoną do liczby przez

którą się dzieli, dzielnik i dzielną. W postaci wykładniczej korzysta się z zasady
odejmowania potęg przy dzieleniu liczb o tej samej podstawie, a w postaci
trygonometrycznej ze wzorów trygonometrycznych.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

)

(

d

c

ad

bc

i

d

c

bd

ac

d

c

ad

bc

i

bd

ac

d

c

bd

i

ibc

iad

ac

id

c

id

c

id

c

ib

a

id

c

ib

a

z

z

+

−

+

+

+

=

+

−

+

+

=

+

−

+

−

=

−

−

⋅

+

+

=

+

+

=

gdzie:

2

2

2

2

2

2

|

| z

d

c

z

z

=

+

=

⋅

∗

- czyli jest to moduł drugiej liczby.

W postaci wykładniczej, jeżeli

1

|

|

1

1

ϕ

i

e

z

z

=

, a

2

|

|

2

2

ϕ

i

e

z

z

=

, to:

)

(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

|

|

|

|

|

|

|

|

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

=

=

i

i

i

e

z

z

e

z

e

z

z

z

W postaci trygonometrycznej, jeżeli

)

sin

(cos

|

|

1

1

1

1

ϕ

ϕ

i

z

z

+

=

,

)

sin

(cos

|

|

2

2

2

2

ϕ

ϕ

i

z

z

+

=

))

sin(

)

(cos(

|

|

|

|

)

sin

(cos

|

|

)

sin

(cos

|

|

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

+

−

=

+

+

=

i

z

z

i

z

i

z

z

z

;

otrzymuje się to z:

Korzysta się z jedynki trygonometrycznej:

1

sin

cos

2

2

2

2

=

+

ϕ

ϕ

i wzorów na cosinus i

sinus różnicy kątów (tablice matematyczne – podobne do sumy, różnica we znakach)
Przykład: Oblicz:

a)

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

+

=

+

=

+

−

+

+

=

+

⋅

−

⋅

+

⋅

−

⋅

=

−

−

⋅

+

+

=

+

+

2

5

5

5

10

1

4

)

3

8

(

4

6

1

2

4

4

2

3

2

3

2

2

2

4

3

2

4

3

2

2

2

b)

4

,

0

2

,

1

10

4

10

12

1

9

)

5

9

(

3

15

)

1

(

3

3

3

3

5

3

5

3

3

3

3

5

3

3

5

2

2

2

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

+

=

+

=

+

+

+

−

=

−

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

+

+

⋅

−

+

=

−

+

c)

)

2

1

2

3

(

3

3

3

3

9

30

)

30

60

(

30

60

i

e

e

e

e

i

i

i

i

+

=

=

=

°

°

−

°

°

°

d)

3

1

)

2

3

2

1

(

2

2

2

3

6

60

))

40

(

20

(

40

20

i

i

e

e

e

e

i

i

i

i

+

=

+

=

=

=

°

°

−

−

°

°

−

°

e)

3

2

2

)

60

sin

60

(cos

4

))

15

75

sin(

)

15

75

(cos(

4

)

15

sin

15

(cos

2

)

75

sin

75

(cos

8

i

i

i

i

i

+

=

°

+

°

=

°

−

°

+

°

−

°

=

°

+

°

°

+

°

9)

Potęgowanie – w postaci kanonicznej jest to bardzo pracochłonne, wymnaża się
poszczególne nawiasy lub korzysta się z dwumianu Newtona. Bardzo proste jest to w
postaci wykładniczej, gdzie korzysta się z zasady potęgowania potęg, czyli ich
wymnożenia, lub trygonometrycznej, gdzie zwielokrotnia się kąt.

n

n

ib

a

z

)

(

1

+

=

(

)

1

1

|

|

|

|

1

1

1

ϕ

ϕ

⋅

⋅

=

=

in

n

n

i

n

e

z

e

z

z

(

)

)

sin

(cos

|

|

|

|

1

1

1

1

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

n

i

n

z

e

z

z

n

n

i

n

+

=

=

Przykład: Oblicz:

a)

( )

64

)

0

1

(

64

)

180

sin

180

(cos

64

2

2

)

2

2

(

)

2

2

(

180

4

4

45

4

−

=

+

−

=

°

+

°

=

=

⋅

=

+

°

°

i

i

e

e

i

i

i

b)

27

)

90

sin

90

(cos

27

))

30

3

sin(

)

30

3

(cos(

3

))

30

sin

30

(cos

3

(

3

3

i

i

i

i

=

°

+

°

=

°

⋅

+

°

⋅

=

°

+

°

)

sin(

)

cos(

)

sin

(cos

cos

sin

cos

sin

sin

sin

cos

cos

)

sin

(cos

)

sin

(cos

)

sin

(cos

)

sin

(cos

)

sin

(cos

)

sin

(cos

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

+

−

=

+

−

+

+

=

=

−

−

⋅

+

+

=

+

+

i

i

i

i

i

i

i

i

i

5

10) Pierwiastkowanie – podobnie jak potęgowanie tak i pierwiastkowanie wykonuje się na

postaci wykładniczej lub trygonometrycznej.













+

⋅

=

=

n

k

z

i

z

z

n

n

n

π

ϕ

ϕ

2

exp

|

|

)

exp(

|

|

1

1

1

1

1

gdzie:

1

)

exp(

1

ϕ

ϕ

i

e

i

=













+

+

+

=

+

=

n

k

i

n

k

z

i

z

z

n

n

n

π

ϕ

π

ϕ

ϕ

ϕ

2

sin

2

cos

|

|

)

sin

(cos

|

|

1

1

1

1

1

1

1

; dla k=0,1,….,n-1

Powoduje to, że dla każdej liczby zespolonej mamy tyle różnych pierwiastków ile wynosi
stopień pierwiastka, tzn. jeśli mam pierwiastek 3 stopnia to mam 3 rozwiązania, które

graficznie można przedstawić jako 3 punkty na okręgu o promieniu

n

z |

|

1

przesunięte

względem siebie o 120 stopni czyli

n

n

°

=

360

2

π

. Dzięki temu, można wyznaczyć tylko

jeden z nich a resztę uzyskać poprzez podział okręgu co dane przesunięcie, czyli na n
równych części. Przykład: Oblicz pierwiastek liczby:

a)













+

⋅

=

















+

⋅

=

=

)

2

6

(

exp

2

4

2

3

2

exp

16

)

3

2

exp(

16

4

4

π

π

π

π

π

k

i

k

i

i

z

Otrzymujemy więc następujące rozwiązania:

- k=0;

)

30

exp(

2

6

exp

2

°

=













⋅

=

i

i

z

π

- k=1;

)

120

exp(

2

3

2

exp

2

2

6

exp

2

°

=













⋅

=













+

⋅

=

i

i

i

i

z

π

π

π

- k=2;

)

210

exp(

2

6

7

exp

2

6

exp

2

°

=













⋅

=













+

⋅

=

i

i

i

i

z

π

π

π

- k=3;

)

300

exp(

2

3

5

exp

2

2

3

6

exp

2

°

=













⋅

=













+

⋅

=

i

i

i

i

z

π

π

π

Gdyby te liczby podnieść do potęgi 4 otrzyma się liczbę pierwiastkowaną.

b)













⋅

=













+

⋅

=

=

=

2

exp

2

4

2

0

exp

16

)

0

exp(

16

16

4

4

4

π

π

k

i

k

i

i

z

Jak widać pierwiastek czwartego stopnia z liczby rzeczywistej
16 ma w dziedzinie liczb zespolonych 4 rozwiązania. Tylko
dwa z nich są czysto rzeczywiste i są powszechnie znane, a
więc 2 i -2, które podniesione do potęgi 4 dają 16. Ale jeśli i2 i
–i2 zostanie podniesione do potęgi 4 też otrzyma się 16, np.:

16

16

1

16

)

1

(

16

1

2

)

2

(

2

4

4

4

4

=

⋅

=

⋅

−

=

⋅

−

=

=

i

i

c)

=













+

°

+

+

°

=

°

+

°

3

2

135

sin

3

2

135

cos

27

)

135

sin

135

(cos

27

3

3

π

π

k

i

k

i













+

°

+

+

°

=

)

3

2

45

sin(

)

3

2

45

cos(

3

π

π

k

i

k

;

(

)

2

2

3

2

2

3

)

45

sin(

)

45

cos(

3

0

i

i

z

+

=

°

+

°

=

(

)

°

+

°

=













+

°

+

+

°

=

165

sin

165

cos

3

)

3

2

45

sin(

)

3

2

45

cos(

3

1

i

i

z

π

π

(

)

°

+

°

=













+

°

+

+

°

=

285

sin

285

cos

3

)

3

4

45

sin(

)

3

4

45

cos(

3

2

i

i

z

π

π

z0

z1

z2

z3

Re z

Im z

( )

( )

2

2

3

exp

2

3

2

exp

2

2

2

2

exp

2

1

2

0

exp

2

0

i

i

z

i

z

i

i

z

i

z

−

=













⋅

=

−

=

⋅

=

=













⋅

=

=

⋅

=

π

π

π

6

Właściwości niektórych liczb zespolonych

Liczba czysto rzeczywista:

- dodatnia

)

0

sin

0

(cos

0

°

+

°

=

⋅

=

=

i

a

e

a

a

z

i

- leży na dodatniej części osi OX , nie

przesuwa fazy

- ujemna

)

sin

(cos

)

180

sin

180

(cos

180

π

π

π

i

a

i

a

e

a

e

a

a

z

i

i

+

=

°

+

°

=

⋅

=

⋅

=

−

=

°

- leży na

ujemnej części osi OX, odwraca fazę o 180

°

Liczba czysto urojona:

- dodatnia

)

2

sin

2

(cos

)

90

sin

90

(cos

2

90

π

π

π

i

b

i

b

e

b

e

b

ib

z

i

i

+

=

°

+

°

=

⋅

=

⋅

=

=

°

- leży na

dodatniej części osi OY, przesuwa fazę o 90

°

- ujemna

)

2

3

sin

2

3

(cos

)

270

sin

270

(cos

2

3

270

π

π

π

i

b

i

b

e

b

e

b

ib

z

i

i

+

=

°

+

°

=

⋅

=

⋅

=

−

=

°

-

leży na ujemnej części osi OY, przesuwa o 270

°=

-90

°

– opóźnia o 90

°

Można też stosować miarę kąta ujemnego, tzn. liczonego zgodnie z obrotem wskazówek
zegara wtedy dla kąta α wyznacza się go jako

α

π

−

2

lub w mierze stopniowej

α

−

°

360

.

Skoro tak, to zamiast 270

°

można napisać -90

°

albo zamiast

2

3

π

napisać

2

π

−

.

Odwrotność liczby czysto urojonej:

⇒

−

=

b

i

ib

1

1

b

i

e

b

e

b

be

e

be

ib

i

i

i

i

i

1

1

1

1

1

1

90

)

90

0

(

90

0

90

−

=

=

=

=

=

°

−

°

−

°

°

°

Zastosowanie liczb zespolonych

Zad1 Rozwiąż równanie kwadratowe:
a)

0

1

2

=

+

x

→

0

4

<

−

=

∆

Skoro tak w dziedzinie liczb R nie ma rozwiązania ale…

2

4

1

4

i

=

−

=

−

=

∆

i

i

a

b

x

i

i

a

b

x

=

+

=

∆

+

−

=

−

=

−

=

∆

−

−

=

2

2

0

2

2

2

0

2

1

1

W dziedzinie liczb zespolonych ma 2. Są to liczby sprzężone do siebie.
Inny sposób rozwiązania:

i

x

i

x

i

x

x

x

−

=

=

⇒

=

−

=

−

=

⇒

=

+

lub

1

|

|

1

0

1

2

2

b)

0

1

2

=

+

+

x

x

0

3

1

1

4

1

<

−

=

⋅

⋅

−

=

∆

3

3

1

3

i

=

−

=

−

=

∆

2

3

2

1

2

3

1

2

2

3

2

1

2

3

1

2

1

1

i

i

a

b

x

i

i

a

b

x

+

−

=

+

−

=

∆

+

−

=

−

−

=

−

−

=

∆

−

−

=

c)

0

2

2

2

=

+

−

x

x

0

4

2

1

4

4

<

−

=

⋅

⋅

−

=

∆

2

4

1

4

i

=

−

=

−

=

∆

i

i

a

b

x

i

i

a

b

x

+

=

+

=

∆

+

−

=

−

=

−

=

∆

−

−

=

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

1

7

Liczby zespolone mają też bardzo duże zastosowanie w obliczaniu układów elektronicznych.
Impedancja układów przy wymuszeniu sinusoidalnym może być przedstawiona w postaci

zespolonej:

R

X

iarctg

i

e

X

R

e

Z

iX

R

Z

⋅

+

=

⋅

=

+

=

2

2

|

|

ϕ

Gdzie:

2

2

|

|

X

R

Z

+

=

- moduł impedancji;

R

X

arctg

=

ϕ

- przesunięcie fazowe,

część rzeczywista jest rezystancją (straty) a część urojona reaktancją (gromadzi energię).
Reaktancję wyznacza się jako sumę reaktancji cewki i kondensatora:

C

L

X

C

L

i

C

i

L

i

X

X

iX

e

C

C

i

C

i

X

e

L

L

i

X

C

L

i

c

i

L

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

1

)

1

(

1

1

1

1

90

90

−

=

⇒

−

=

−

=

+

=

=

−

=

=

⋅

=

=

°

−

°

Korzystając z prawa Ohma :

Z

I

U

⋅

=

Otrzymujemy dla cewki:

°

⋅

=

=

⋅

=

⋅

=

90

i

L

L

L

L

L

L

e

L

I

L

iI

L

i

I

Z

I

U

ω

ω

ω

Z tego zapisu widać, że napięcie na cewce jest o +90° przesunięte względem prądu, czyli
wyprzedza go o 90°. Jeżeli prąd ma charakter czysto rzeczywisty to napięcie czysto urojony.

Dla kondensatora:

°

−

⋅

=

−

=

⋅

=

⋅

=

90

1

i

C

C

C

C

C

C

e

C

I

C

I

i

C

i

I

Z

I

U

ω

ω

ω

Napięcie jest przesunięte względem prądu w fazie o -90°, a więc jest opóźnione o 90°.
Jaka jest tego zaleta? Teraz wszystkie te elementy możemy traktować przy obliczeniach dla
połączenia szeregowego, równoległego lub mieszanego tak jak rezystory podstawiając
zamiast rezystancję ich impedancję, czyli rezystancję dla rezystorów i reaktancję przy
cewkach i pojemności. Pozwala to w szybki sposób wyznaczyć przesunięcie fazowe jakie
wnosi układ, jego zastępczą impedancję, bez rysowania wykresów wskazowych. Jeżeli mamy
2 cewki połączone równolegle to żeby policzyć ich zastępczą impedancję wystarczy
skorzystać ze wzoru na rezystancję zastępczą dla połączenia równoległego zastępując R
impedancją (reaktancją) cewki:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)

(

1

1

1

L

L

L

L

i

L

L

i

L

L

L

i

L

i

L

i

L

i

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

+

=

+

−

=

+

⋅

=

+

⋅

=

⇒

+

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Jak widać takie połączenie zachowuje charakter indukcyjny (liczba dodatnia czysto urojona)
Przy połączeniu równoległym cewki i kondensatora:

LC

L

i

C

i

C

i

C

i

L

i

L

i

C

i

L

i

C

i

L

i

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

C

L

C

L

C

L

2

1

1

1

1

1

1

1

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

−

=

⋅

+

⋅

=

+

⋅

=

+

⋅

=

⇒

+

=

Można zobaczyć, że zastępcza impedancja ma charakter indukcyjny (urojona dodatnia) gdy

0

1

2

>

−

LC

ω

, a charakter pojemnościowy (urojona ujemna) gdy

0

1

2

<

−

LC

ω

. Dla

LC

2

1

ω

=

- w działaniu występuje dzielenie przez 0, wtedy występuje rezonans.

Przy wykorzystaniu liczb zespolonych i obliczaniu zastępczej impedancji obwodów
mieszanych można łatwo wyznaczać częstotliwości rezonansu czy to szeregowego (X=0 –

część urojona równa się 0) czy równoległego (

0

1

=

=

X

B

).

Liczby zespolone możemy też używać do wyznaczania transmitancji, a więc informacji o tym
jak sygnał jest przenoszony w układzie z jednego miejsca w drugie. Przykładem tego może
być wzmocnienie napięciowe. Taki zapis pozwala szybko określić nam przesunięcie fazowe
układu, czyli o ile i jak przesunięty jest sygnał w fazie.

X

R

Z

φ

8

Na początek wzmacniacz odwracający:

°

=

−

=

180

1

2

1

2

i

u

e

R

R

R

R

k

Z tego zapisu widać, iż sygnał będzie wzmocniony

1

2

R

R

razy i przesunięty w fazie o 180°.

We wzmacniaczu całkującym na pierwszy rzut oka
ciężko jest określić czy przesuwa o 180°, o 90° czy o
-90°. Ale po dokonaniu zapisu w postaci liczb
zespolonych, wszystko widać:

°

=

=

−

=

−

=

−

=

90

1

1

1

1

i

R

C

u

e

CR

CR

i

CR

i

R

C

i

Z

Z

k

ω

ω

ω

ω

Podobnie jest ze wzmacniaczem różniczkującym:

°

−

=

−

=

−

=

−

=

90

1

1

i

C

R

u

e

CR

CR

i

C

i

R

Z

Z

k

ω

ω

ω

Z tych wzorów jasno wynika, że wzmacniacz całkujący
przesuwa o +90° a różniczkujący o -90°.

Przedstawianie sygnałów sinusoidalnych w postaci zespolonej:
Z postaci trygonometrycznej liczb zespolonych mamy:

)

sin

|

|

cos

|

|

)

sin

(cos

|

|

|

|

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

z

i

z

i

z

e

z

z

i

+

=

+

=

=

Łatwo więc zauważyć, że:

1

1

1

cos

|

|

}

Re{

ϕ

z

z

=

; załóżmy, że

ϕ

ω

ϕ

+

=

=

t

a

U

z

m

1

1

)

sin(

)

cos(

)

(

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

+

+

+

=

+

t

iU

t

U

e

U

m

m

t

i

m

)

cos(

}

Re{

)

(

ϕ

ω

ϕ

ω

+

=

+

t

U

e

U

m

t

i

m

- jest więc to zwykły sygnał w czasie

t

i

t

i

i

m

t

i

i

m

t

i

m

e

U

e

e

U

e

U

e

U

ω

ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

⋅

=

=

=

+

+

)

(

W

działaniach

na

liczbach

zespolonych

korzystamy

jedynie

z

ϕ

i

m

m

e

U

U

=

ϕ

ϕ

ω

i

m

Ue

U

t

U

u

=

⇒

+

=

)

cos(

, a więc mamy jedynie informacje o amplitudzie i fazie, a

nie o pulsacji. Przeważnie korzysta się z wartości skutecznej sygnału tzn.

2

m

U

U

=

,

2

m

I

I

=

Przykłady:
a)

U

Ue

t

U

t

U

u

i

m

m

=

⇒

°

+

=

=

°

0

)

0

cos(

)

cos(

ω

ω

b)

°

⇒

°

+

=

30

)

30

cos(

i

m

Ue

t

U

u

ω

c)

°

−

⇒

°

−

=

45

)

45

cos(

i

m

Ue

t

U

u

ω

d)

iU

Ue

t

U

t

U

u

i

m

m

−

=

⇒

°

−

=

=

°

−

90

)

90

cos(

)

sin(

ω

ω

e)

°

⇒

°

+

=

°

+

=

60

)

60

cos(

)

60

cos(

i

m

m

Ie

t

I

t

I

i

ω

ω

W obliczeniach na liczbach zespolonych, sygnały te zastępuje się danymi wyrażeniami.

Koniec