CPS – Przekształcenie Z
Wykład 4
Przekształcenie Z
Analiza sygnałów dyskretnych i układów cyfrowych wymaga potrzebna
jest znajomość odpowiedniej transformaty.
∑
=
∞
=
−
0
]
[
)
(
n
n
z
n
f
z
F
gdzie „z” jest zmienną,
pełniącą podobną rolę jak zmienna zespolona „s” w transformacji Laplace’a.
f
[n] – funkcja dyskretna
Aby istniała transformata F(z) sygnału f[n], szereg ten musi być zbieżny.
Dla danego sygnału określa się obszar zmienności wartości „z”, dla którego
zbieżność zachodzi:
0
≤
r
-
<
|z|
<
r
+
≤ ∞
Przekształcenie Z
Transformacja
Z
jest zdefiniowana za pomocą następującego równania:
∑
=
∞
=
−
0
]
[
)
(
n
n
z
n
f
z
F
gdzie „z” jest zmienną,
pełniącą podobną rolę jak zmienna zespolona „s” w transformacji Laplace’a.
f
[n] – funkcja dyskretna
Aby istniała transformata F(z) sygnału f[n], szereg ten musi być zbieżny.
Dla danego sygnału określa się obszar zmienności wartości „z”, dla którego
zbieżność zachodzi:
0
≤
r
-
<
|z|
<
r
+
≤ ∞
L
+
+
+
+
=
−
−
−
3
2
1
]
3
[
]
2
[
]
1
[
]
0
[
)
(
z
f
z
f
z
f
f
z
F
Transformata Z skoku jednostkowego 1[n]
Transformata Z
( )
∑
−
=
+
+
+
=
∑
=
⋅
∑
=
=
∞
=
−
−
−
−
∞
=
−
∞
=
−
0
1
2
1
1
0
0
1
1
1
1
]
[
)
(
n
n
n
n
n
n
z
z
z
z
z
z
n
f
z
F
L
1
dla
>
z
1
1
1
]
[
1
1
−
=
−
↔
−
z
z
z
n
<
≥
=
0
0
0
1
]
[
1
n
n
n
Transformata Z skoku delty Kroneckera δ[n]
Transformata Z
1
0
0
1
]
[
)
(
2
1
0
=
+
+
+
=
∑
⋅
=
−
−
∞
=
−
L
z
z
z
n
z
F
n
n
δ
0
dla
≥
z
1
]
[
↔
n
δ
≠
=
=
0
0
0
1
]
[
n
n
n
δ
F
(z)
f
[n-k] 1[n-k]
7
1[n-1]
6
5
n
1[n]
4
1[n]
3
δ[n-k]
2
1
δ[n]
1
Obszar zbieżności
Transformata F(z)
Sygnał f[n]
Lp.
-k
z
a
z
z
az
−
=
−
−1
1
1
1
>
z
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
−
=
−
−
z
z
z
z
-
1
>
z
1
1
1
1
−
=
−
z
z
z
-
a
z >
n
a
(
)
2
a
z
z
−
1
−
⋅
n
a
n
a
z >
-k
z
7
6
5
cos(θn)
4
sin(θn)
3
1[n-k]
2
1[n-1]
1
Obszar zbieżności
Transforrnata X(z)
Sygnał x(n)
Lp.
1
cos
2
sin
2
+
−
⋅
θ
θ
z
z
z
1
>
z
k
z
z
z
−
−1
1
1
−
z
1
cos
2
sin
2
2
+
−
⋅
−
θ
θ
z
z
z
z
n
a
)
(
−
a
z
z
+
bT
e
z
z
−
−
bTn
e
−
Twierdzenie o przesunięciu
Jeżeli
funkcja
f[n]
na
transformatę
F
(z)
To funkcja opóźniona o jeden ma transformatę
]
1
[
)
(
]
1
[
1
−
+
↔
−
−
f
z
F
z
n
f
)
(
]
[
z
F
n
f
↔
Oraz funkcja opóźniona o dwa ma transformatę
]
2
[
]
1
[
)
(
]
2
[
1
2
−
+
−
+
↔
−
−
−
f
z
f
z
F
z
n
f
Funkcja przyspieszona o 1
]
0
[
)
(
]
1
[
zf
z
zF
n
f
−
↔
+
Uogólnione twierdzenie o przesunięciu
Jeżeli funkcja f[n] na transformatę F(z)
To funkcja opóźniona o
k
i pomnożona przez
opóźniony skok jednostkowy ma transformatę
)
(
]
[
1
]
[
z
F
z
k
n
k
n
f
k
−
↔
−
⋅
−
)
(
]
[
z
F
n
f
↔
Własności przekształcenia Z
Liniowość (dodawanie i odejmowanie)
Mnożenie przez stałą
{
}
)
(
)
(
]
[
]
[
2
1
2
1
z
F
z
F
n
f
n
f
Z
+
↔
+
{
}
)
(
]
[
z
F
a
n
f
a
Z
⋅
↔
⋅
Przykłady
Znaleźć transformatę
Z
dla funkcji
Rozwiązanie
1
2
1
)
2
(
1
1
2
1
)
(
2
3
1
3
1
−
+
=
+
−
=
−
+
−
=
−
−
−
−
−
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
F
δ
]
3
[
1
2
]
1
[
1
]
[
−
⋅
+
−
=
n
n
n
f
Przykłady
Znaleźć transformatę
Z
dla funkcji
Rozwiązanie
1
1
)
(
1
1
1
)
(
4
5
1
5
1
−
−
=
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
F
δ
]
5
[
1
]
1
[
1
]
[
−
−
−
=
n
n
n
f
Przykłady
Znaleźć transformatę
Z
dla funkcji
Rozwiązanie
δ
]
4
[
2
]
3
[
]
2
[
]
[
2
]
[
−
⋅
+
−
+
−
−
⋅
=
n
n
n
n
n
f
δ
δ
δ
δ
4
3
2
4
3
2
0
2
2
2
1
1
2
)
(
−
−
−
−
−
−
+
+
−
=
+
+
−
⋅
=
z
z
z
z
z
z
z
z
F
Przykłady
Znaleźć transformatę
Z
dla funkcji
Rozwiązanie
δ
]
7
[
]
6
[
]
1
[
]
[
]
[
−
+
−
+
−
+
=
n
n
n
n
n
f
δ
δ
δ
δ
7
6
1
1
)
(
−
−
−
+
+
+
=
z
z
z
z
F
Odwrotne przekształcenie Z
Zadaniem odwrotnej transformacji Z jest
wyznaczenie sygnału f[n] na podstawie jego
transformaty F(z)
Transformata odwrotna Z może być
wyznaczona metodą rozkładu na sumę ułamków
zwykłych.
Odwrotne przekształcenie Z
Najpierw funkcja F(z) jest rozkładana na sumę
ułamków zwykłych, a następnie korzysta się z
tablicy transformat Z w celu określenia funkcji f[n].
Przeglądając tabelę transformat Z, można zauważyć,
ż
e praktycznie każda transformata Z funkcji jest
pomnożona w liczniku przez z.
Odwrotne przekształcenie Z
Dlatego też w celu uzyskania rozkładu w postaci
L
+
−
+
−
=
∑
−
=
=
2
2
1
1
1
)
(
a
z
C
a
z
C
a
z
C
z
z
F
P
k
k
k
można najpierw dokonać rozkładu funkcji
F
(
z
)/
z
na sumę
ułamków zwykłych, a następnie pomnożyć je przez z w celu
uzyskania końcowego wyrażenia.
L
+
−
+
−
=
∑
−
=
=
=
2
2
1
1
1
)
(
)
(
)
(
a
z
z
C
a
z
z
C
a
z
z
C
z
N
z
L
z
F
P
k
k
k
Odwrotne przekształcenie Z
Gdzie
a
k
jest k-tym pierwiastkiem mianownika transformaty’
Stałe
C
k
ułamków prostych wyznaczamy ze wzoru
(
)
k
a
z
k
k
a
z
z
z
F
C
=
−
=
)
(
Rozkład na ułamki - stopień licznika transformaty F(z) nie
przewyższa stopnia mianownika
Przykład
Wyznacz transformatę odwrotną funkcji F(z)
1
5
2
3
)
(
4
−
+
−
=
−
z
z
z
z
F
Szukamy w tablicach transformat odwrotnych poszczególnych składników
]
[
1
5
]
4
[
2
]
[
3
]
[
n
n
n
n
f
⋅
+
−
−
=
δ
δ
3
1
3
2
)
(
−
−
−
+
=
z
z
z
z
F
]
3
[
]
1
[
3
]
1
[
2
]
[
−
−
−
+
+
=
n
n
n
n
f
δ
δ
δ
Wyznacz transformatę odwrotną funkcji F(z)
Szukamy w tablicach transformat odwrotnych poszczególnych składników
Przykład 1
Wyznacz transformatę odwrotną funkcji F(z)
Następnie, należy dokonać rozkładu funkcji F(z)/ z na sumę ułamków
zwykłych,
4
5
4
)
(
2
2
+
−
−
=
z
z
z
z
z
F
(
)(
) (
) (
)
4
1
4
1
1
4
4
5
1
4
)
(
2
1
2
−
+
−
=
−
−
−
=
+
−
−
=
z
C
z
C
z
z
z
z
z
z
z
z
F
Sprawdzamy stopień licznika i mianownika oraz wyznaczamy pierwiastki
mianownika .
0
4
5
2
=
+
− z
z
4
,
1
2
1
=
=
⇒
a
a
Przykład 1
Wyznaczamy stałe
Podstawiamy stałe
(
) (
)
4
5
1
1
)
(
−
+
−
−
=
z
z
z
z
F
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
1
4
1
1
4
4
1
4
1
4
1
1
4
)
(
1
1
1
1
1
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
=
−
=
=
=
=
z
z
a
z
z
z
z
z
z
z
a
z
z
z
F
C
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
5
1
4
1
16
1
1
4
4
4
1
1
4
)
(
4
4
2
2
2
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
=
−
=
=
=
=
z
z
a
z
z
z
z
z
z
z
a
z
z
z
F
C
Przykład 1
Mnożymy obie strony przez z i otrzymujemy F(z) rozłożone na ułamki proste
(
) (
)
4
5
1
)
(
−
+
−
−
=
z
z
z
z
z
F
( )
n
n
n
f
4
5
]
[
1
]
[
+
−
=
Z tablic transformat znajdujemy postać odwrotną ułamków i otrzymujemy
funkcję dyskretną f[n]
Przykład 2
Wyznacz transformatę odwrotną funkcji F(z)
Następnie, należy dokonać rozkładu funkcji F(z)/ z na sumę ułamków
zwykłych,
2
2
)
5
)(
2
(
7
)
(
−
−
+
=
z
z
z
z
z
F
(
)(
)
(
) (
) (
)
2
3
2
1
2
5
5
2
5
2
7
)
(
−
+
−
+
−
=
−
−
+
=
z
C
z
C
z
C
z
z
z
z
z
F
Sprawdzamy stopień licznika i mianownika .
Przykład 2
Wyznaczamy stałe
Podstawiamy stałe
(
) (
) (
)
2
5
4
5
1
2
1
)
(
−
+
−
−
+
−
=
z
z
z
z
z
F
(
)
(
)
(
)
1
9
9
5
2
7
2
5
7
)
(
2
2
2
1
1
1
=
=
−
+
=
−
+
=
−
=
=
=
z
a
z
z
z
a
z
z
z
F
C
(
)
(
)
(
)
4
3
12
2
5
7
5
2
7
)
(
5
2
3
3
3
=
=
−
+
=
−
+
=
−
=
=
=
z
a
z
z
z
a
z
z
z
F
C
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
1
9
9
2
5
9
2
7
2
2
7
)
(
2
5
2
5
2
3
2
3
−
=
−
=
−
−
=
−
+
−
−
=
=
−
+
=
−
=
=
=
=
z
z
a
z
z
z
z
z
z
dz
d
a
z
z
z
F
dz
d
C
Przykład 2
Mnożymy obie strony przez z i otrzymujemy F(z) rozłożone na ułamki proste
( )
( )
( )
]
1
[
1
5
4
5
2
]
[
1
−
⋅
+
−
=
−
n
n
n
f
n
n
n
Z tablic transformat znajdujemy postać odwrotną ułamków i otrzymujemy
funkcję dyskretną f[n]
(
) (
) (
)
2
5
4
5
2
)
(
−
+
−
−
−
=
z
z
z
z
z
z
z
F
Przykład 3
Wyznacz transformatę odwrotną funkcji F(z)
Następnie, należy dokonać rozkładu funkcji F(z)/ z na sumę ułamków
zwykłych,
1
6
12
)
(
2
−
+
=
z
z
z
F
z
C
z
C
z
C
z
z
z
z
z
F
3
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
2
)
(
+
−
+
+
=
−
+
=
Sprawdzamy stopień licznika i mianownika oraz dzielimy przez 6 aby
uzyskać 1 przy najwyższej potędze z mianownika. Obliczmy
pierwiastki mianownika.
6
1
6
2
)
(
2
−
+
=
z
z
z
F
3
1
,
2
1
2
1
=
−
=
⇒
a
a
Przykład 3
Wyznaczamy stałe
Podstawiamy stałe
z
z
z
z
z
F
12
3
1
5
36
2
1
5
24
)
(
−
+
−
+
+
=
(
)
8
.
4
5
24
2
1
3
1
2
1
2
3
1
2
)
(
2
1
1
1
1
=
=
−
−
−
=
−
=
−
=
−
=
=
z
a
z
z
z
a
z
z
z
F
C
(
)
2
.
7
5
36
3
1
2
1
3
1
2
2
1
2
)
(
3
1
2
2
2
=
=
+
=
+
=
−
=
=
=
z
a
z
z
z
a
z
z
z
F
C
(
)
12
6
1
2
3
1
2
1
2
3
1
2
1
2
)
(
0
3
3
3
−
=
−
=
−
=
−
+
=
−
=
=
=
z
a
z
z
z
a
z
z
z
F
C
Przykład 3
Mnożymy obie strony przez z i otrzymujemy F(z) rozłożone na ułamki proste
]
[
12
3
1
5
36
2
1
5
24
]
[
n
n
f
n
n
δ
−
+
−
=
Z tablic transformat znajdujemy postać odwrotną ułamków i otrzymujemy
funkcję dyskretną f[n]
12
3
1
5
36
2
1
5
24
)
(
−
−
+
+
=
z
z
z
z
z
F
Elementy i równania układów cyfrowych
Układ dyskretny lub cyfrowy będzie przedstawiany jako
schemat
blokowy
przetwarzający sygnał dyskretny x[n] na wejściu na
sygnał dyskretny y[n] na wyjściu.
Schematy te będą zawierały elementy przetwarzające sygnały:
-
elementy mnożące
-
elementy opóźniające
-
sumatory
-
węzły zaczepowe
Def.
Układ dyskretny składa się z elementów mnożących i elementów
opóźniających dołączonych do znanych źródeł.
Ź
ródło jest to znany, dyskretny w czasie sygnał oznaczany zazwyczaj
jako
x
[n]
.
Elementy i równania układów cyfrowych
Element mnożący jest opisany w następujący sposób
y
[n] = a x[n]
Element sumujący (
sumator
) jest opisany w następujący sposób
y
[n] = x
1
[n]+ x
2
[n]
a
y
[
n
]
x
[n]
x
1
[n]
x
2
[n]
y
[n]
Elementy i równania układów cyfrowych
Element opóźniający jest elementem dyskretnym, którego sygnał
wyjściowy równa się opóźnionemu o jedną jednostkę czasu
sygnałowi wejściowemu.
y
[n] = x[n-1]
z
-1
x
[n]
x
[n-1]
Element opóźniający ma pamięć, tzn. jego sygnał wyjściowy zależy od
przeszłej wartości sygnału wejściowego.
Węzeł zaczepowy jest elementem powielającym dany sygnał.
x
[
n
]
x
[
n
]
x
[
n
]
Elementy i równania układów cyfrowych
Analiza układu dyskretnego albo cyfrowego polega na wyznaczeniu
odpowiedzi, czyli ciągu sygnałów wyjściowych przy zadanych
ź
ródłach i strukturze układu.
Stan początkowy układu jest jego stanem dla n=0.
Układ jest stanie zerowym jeżeli jego stan początkowy jest równy zero
tzn. sygnały wejściowe na wszystkich elementach opóźniających
układu są równe zeru dla n= -1
Jeżeli układ jest w stanie zerowym to jego odpowiedzi dla
n
>= 0
nazywamy odpowiedziami wymuszonymi. Są one wymuszone
ź
ródłami zewnętrznymi.
Jeżeli źródła zewnętrzne układu są równe zeru to jego odpowiedzi dla
n
>= 0 nazywamy odpowiedziami swobodnymi. Zależą one jedynie
od pamięci układu.
Równania układów cyfrowych
Równania opisujące układy dyskretnego dzielą się na dwie grupy:
-
Równania rekurencyjne
-
Równania nierekursywne
Równania nierekursywne są to równania w których sygnał wyjściowy
zależy tylko od wartości sygnałów wejściowych i elementów
przetwarzających a nie zależy od poprzednich wartości sygnałów
wyjściowych.
Przykład
y[n]= x
1
[n]+x
2
[n]-3x
2
[n-1]
Równania układów cyfrowych
Równania rekurencyjne (rekursywne) są to równania w których sygnał
wyjściowy zależy od poprzednich wartości sygnałów wyjściowego
oraz od wartości sygnałów wejściowych i elementów
przetwarzających
y
[n] = f( x[n], y[n-1)
Przykład (równanie I rzędu)
y
[n]= x[n]+2y[n-1]
Warunki początkowe
Warunki początkowe są to wartości wejść elementów opóźniających
dla n= -1 (tylko dla sygnałów wyjściowych)
Rząd równania rekurencyjnego jest wartość największego opóźnienia
sygnały wyjściowego występującego w równaniu
np.
y
[n]= x[n] –2y[n-1]+y[n-3] - równanie III rzędu bo występuje
y
[n-3]
Równania układów cyfrowych
Równaniu rekurencyjnemu odpowiada schemat blokowy układ
cyfrowy tego samego rzędu
y
[n]= x[n]+2y[n-1]
To równanie można zapisać przenosząc y[n-1] na lewą stronę czyli w
postaci normalnej
y
[n] - 2y[n-1] = x[n]
z
-1
2
y
[
n
]
x
[
n
]
Równania układów cyfrowych
Obliczenia rekurencyjne
Oblicz rekurencyjnie wartość odpowiedzi y[3] (dla n=3) na wymuszenie
x
[n]= 3δ[n] z warunkiem początkowym y[-1]=-4
Aby wyznaczyć y[0] trzeba znać wymuszenie dla n=0 oraz warunek
początkowy y[-1]
Obliczenia rekurencyjne wyznaczamy dla n>=0
n=0) y
[0]=
x
[0]+2
y
[
-
1]=3+2 (-4)= -5
n=1) y
[1]=
x
[1]+2
y
[0]
=0+2 (-5)= -10
n=2) y
[2]=
x
[2]+2
y
[1] =0+2 (-10)= -20
n=3) y
[3]=
x
[3]+2
y
[2] =0+2 (-20)= -40
Odp.
y
[3] = -40
Aby wyznaczyć y[100] trzeba wcześniej wyznaczyć 99 wartości y.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Przeksztalcanie wzorow
5 Przekształcenie Fouriera
Dyskretne przeksztaĹ'cenie Fouriera
GK 9 Przekształcenia geometryczne
10 Laczenie, podzial, przekszta lcanie spolek FOLIE
Przekszta?nie wzorów
Jak przekształcono inteligentnych lekarzy w?łkowitych kretynów Jaśkowski
Przekształcenia systemowe polskiej gospodarki
Przeksztaltniki DC DC Prezentacja Kawy
badanie przekształtnika przeciwbieznego
M[1] 5 Przeksztalcenia elementarne macierzy
2 Inf przeksztalcenia liniowe
Przeksztalcenia macierzowe id 4 Nieznany
przeksztalc rzs 2013
Kształtowanie prądu w układach przekształtnikowych
więcej podobnych podstron