LISTA 4

Uk÷

ady równa´n liniowych

Twierdzenie 1

(Cramera) Je·zeli wyznacznik charakterystyczny W uk÷adu

n

równa´n liniowych o n niewiadomych nie jest równy zeru, to uk÷ad ten ma

dok÷

adnie jedno rozwi ¾

azanie

x

1

=

W

1

W

; x

2

=

W

2

W

; :::; x

n

=

W

n

W

:

Twierdzenie 2

(Kroneckera-Capelliego) Warunkiem koniecznym i wystar-

czaj ¾

acym rozwi ¾

azalno´sci ogólnego uk÷adu m równa´n liniowych o n niewiado-

mych jest równo´s´c rz ¾

edu macierzy W wspó÷

czynników uk÷

adu i rz ¾

edu macierzy

uzupe÷

nionej U; tzn. r(W ) = r(U ).

Gdy wspólny rz ¾

ad r tych macierzy równa si ¾

e liczbie niewiadomych n, to uk÷

ad

równa´n ma dok÷adnie jedno rozwi ¾

azanie, gdy za´s wspólny rz ¾

ad r jest mniejszy

od liczby niewiadomych n, to uk÷

ad ma niesko´nczenie wiele rozwi ¾

aza´n, które

zale·z ¾

a od n

r

dowolnych parametrów.

Bibliogra…a

[1] W. Krysicki, L. W÷

odarski, Analiza matematyczna w zadaniach. Cz.

1, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005

1