Zakres materiału obowiązujący na kolokwium (zaktualizowany 15.04.2012):

1. Całka nieoznaczona - całkowanie przez podstawianie, przez części, z zastosowaniem wzorów

na funkcje trygonometryczne (np. cosinus podwojonego kąta), całkowanie wielomianów oraz funkcji
wymiernych przez rozkład na ułamki proste.

2. Całka oznaczona Riemanna - wyznaczanie całek oznaczonych na przedziałach domkniętych (za

pomocą wzoru Newtona - Leibniza przez odp. całkę nieoznaczoną), obliczanie w prostych przypadkach
pól figur między krzywymi (danymi przez wykresy funkcji).

3. Macierze - wyznaczniki macierzy kwadratowych drugiego i trzeciego stopnia, działania na

macierzach (ich mnożenie, dodawanie, oraz mnożenie macierzy przez liczbę), sprawdzanie odracalności
macierzy (przez spr. czy wyznacznik jest różny od zera) oraz wyznaczanie macierzy odwrotnej (metodą
dopełnień algebraicznych).

4. Rozwiązywanie układów równań liniowych - metodą elimnacji Gaussa lub metodą wyznacznikową

Cramera w przypadku układów oznaczonych o kwadratowej macierzy współczynników (oczywiście
można też stosować metodę Cramera w połączeniu z teorią rzędu macierzy do dolownego typu układów,
która z pewnością była prezentowana na wykładzie), określanie rodzaju danego układu pod względem
ilości rozwiązań (oznaczony - dokładnie jedno rozwiązanie, nieoznaczony - nieskończenie wiele rozwiązań,
sprzeczny - brak rozwiązań). Uwaga: w przypadku układów nieoznaczonych należy zawsze wyznaczyć
postać ogólną rozwiązań, tak jak robiliśmy to na ćwiczeniach.

5. Liczby zespolone - dodawanie, mnożenie liczb zespolonych, wyznaczanie liczby odwrotnej do

danej liczby zespolonej (i tym samym dzielenie liczb zespolonych), wyznaczanie postaci trygonometrycznej
liczby zespolonej oraz obliczanie za jej pomocą potęg (wzór Moivre’a) i pierwiastków tej liczby,
rozwiązywanie równań kwadratowych nad ciałem liczb zespolonych oraz rozkład wielomianów na
czynniki liniowe nad ciałem liczb zespolonych.

6. Wyznaczanie dziedziny funkcji wielu zmiennych wraz z umiejętnością stwierdzenia czy jest ona

otwarta.

7. Wyznaczanie pochodnych cząstkowych pierwszego i drugiego rzędu funkcji wielu zmiennych,

umiejętność stwierdzenia na podstwie ciągłości pochodnych czątkowych z czy dana funkcja jest klasy
C

1

lub C

2

.

8. Wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji dwóch i trzech zmiennych klasy C

2

.

Poniżej podaje całki nieoznaczone które będą obowiązywać na kolokwium. Oczywiście ’wartości

liczbowe’ pojawiające się w funkcjach na sprawdzianie mogą być inne. Niektóre z podanych niżej całek
zostało wyznaczonych na ćwiczeniach lub znajduję się w książce W.Krysickiego i L. Włodarskiego
’Analiza matematyczna w zadaniach’ tom I na stronach 295 - 304 jako zadania lub rozwiązane
przykłady. Całki wymagające użycia mniej standardowych metod zostały przeze mnie opatrzone
wskazówkami.

UWAGA: Należy bezwzględnie pamiętać całki funkcji elementarnych (podstawowych), można je

znaleźć w książce Krysickiego na stronie 295, (15.2.2 - 15.2.10).

Z

xe

x

dx,

Z

x

3

e

x

dx,

Z

x

4

e

2x

dx,

Z

xe

x

2

dx,

Z

x sin x dx,

Z

x cos x dx,

Z

x

2

sin(5x) dx,

Z

x

2

cos x dx,

Z

sin x cos x dx

(1)

,

Z

sin

5

x cos x dx,

Z

x sin(2x

2

+ 1) dx,

Z

6

1−x

dx,

Z

e

x

sin x dx,

Z

e

−2x

sin(3x) dx,

Z

e

x

cos x dx,

Z

e

x

cos



2

3

x



dx,

Z

ln x dx,

Z

x

5

ln x dx,

Z

√

x ln x dx,

Z

x

3

ln x dx,

Z

(ln x)

2

dx

(2)

,

1

Z

arctan x dx,

Z

arcsin x dx

(3)

,

Z

tg x dx

(4)

,

Z

ctg x dx,

Z

ln x dx,

Z

dx

√

1 + x

2

(5)

,

Z

p

1 − x

2

dx,

Z

sin

2

x dx,

Z

cos

2

x dx,

Z

dx

1 − cos x

(6)

Z

2x + 4

√

1 − x

2

dx,

Z

ln x

x

dx,

Z

x

2

√

1 − x

6

dx

,

Z

e

1/x

x

2

dx.

(1) Skorzystać ze wzoru na sin(2x).
(2) Wyznaczyć najpierw całkę z ln x (przez części) a następnie całkować przez części.
(3) Najpierw całkować przez części, a następnie wykorzystać metode podstawiania (por. przykład

z funkcją arctan x z ćwiczeń).

(4) Zapisać tg za pomocą sin i cos a następnie skorzystać z twierdzenia o podstawianiu.
(5) Zastosować podstawienie: t = x+

√

1 + x

2

(tzw. I podstawienie Eulera), podnosząc do kwadratu

równość t − x =

√

1 + x

2

wyznaczyć x w zależności od t a następnie dx w zależności od t dt. Teraz

pozostaje wyznaczyć

√

1 + x

2

= t − x w zależności od t. Wykorzystując otrzymane wyrażenia, zapisać

wyrażenie pod całką w zależności od t, obliczyć całkę względem t i wrócić do podstawienia.

(6) Zauważyć, że 1 − cos x = cos 0 − cos x, skorzystać ze znanego wzoru na cos a − cos b = ...,

a następnie zastanowić się czego pochodną jest otrzymane wyrażenie pod całką (jeżeli wiadomo, że
(ctg)

0

(x) =

−1

cos

2

x

).

Ponadto, obowiązują całki z wielomianów, gdzie korzysta się ze wzoru:

R

x

α

dx =

x

α+1

α+1

+ C, na

przykład (pierwiastki zamieniamy na odpowiednie potęgi):

Z

(x

2

− x + 1)

2

dx.

Z

x(x − 1)(x − 2) dx,

Z

x

3

√

x +

4

√

x

x

2

dx itp.

Obowiązują także całki funkcji wymiernych postaci:

Z

A

(x − a)

n

dx, na przykład:

Z

5

(x − 3)

4

dx,

oraz:

Z

Ax + B

x

2

+ bx + c

dx, na przykład

Z

x + 1

x

2

+ x + 1

dx,

Z

2x + 1

x

2

− 1

dx.

Proszę pamiętać, że obliczając całkę postaci

R

dx

x

2

+bx+c

w przypadku gdy wyróżnik mianownika jest

dodatni rozkładamy go na czynniki liniowe, a następnie cały ułamek pod całką na ułamki proste (por.
Krysicki, od str. 305), zaś w przypadku gdy wyróżnik jest ujemny sprowadzamy mianownik do postaci
α(1 + β

2

).

D. Czapla

2