Praca domowa nr 9, 10 z przedmiotu „Rachunek prawdopodobieństwa i Statystyka”

Zad. 1. Wiadomo, że

 

1

,

0

~ N

X

. Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość zmiennej losowej Y , jeśli: a)

X

Y



, b)

X

Y

4



.

Zad. 2. Dwuwymiarowa zmienna losowa





Y

X ,

ma rozkład prawdopodobieństwa określony następująco:





1

,

0

3

,

2







Y

X

P

,





4

,

0

4

,

2







Y

X

P

,





3

,

0

3

,

5







Y

X

P

,





2

,

0

4

,

5







Y

X

P

. Wykonać poniższe polecenia:

a) zapisać rozkład





Y

X ,

w tabeli, b) wyznaczyć rozkłady brzegowe (czyli rozkłady zmiennych losowych X , Y ),

c) zbadać, czy zmienne losowe X i Y są niezależne, d) wyznaczyć





 

4

,

4

,Y

X

F

, gdzie





Y

X

F

,

oznacza dystrybuantę

rozkładu zmiennej losowej





Y

X ,

.

Zad. 3. Dana jest funkcja

 



























.

p.p

w

,

0

,

2

0

,

2

0

gdy

,

4

,

2

2

y

x

xy

y

x

xy

c

y

x

f

Wykonać następujące polecenia:

a) znaleźć wartość

c

, dla której funkcja f jest zmienną losową pewnej dwuwymiarowej zmiennej losowej





Y

X ,

,

b) wyznaczyć gęstości brzegowe, c) zbadać, czy zmienne losowe X i Y są niezależne.

Zad. 4. Niech





Y

X ,

ma rozkład łączny o gęstości

 

















.

p.p

w

,

0

,

4

0,

y

,

gdy

,

2

1

,

2

2

y

x

x

xy

y

x

f

Obliczyć

 

2

Y

E

.

Zad. 5. Zmienna losowa





Y

X ,

ma rozkład łączny o gęstości

 



















.

p.p

w

,

0

,

4

0

,

3

0

gdy

,

18

1

,

x

y

x

y

x

f

Obliczyć

X

D

2

.

Zad. 6. Niech

Y

X ,

będą niezależnymi zmiennymi losowymi, takimi, że:





4

1

2





X

P

,





4

3

5





X

P

,





3

1

1





Y

P

,





3

2

4





Y

P

. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Z , jeśli: a)





Y

X

Z

,

min



, b)





Y

X

Z

,

max



, c)

Y

X

Z





.

Odpowiedzi:

Zad. 1: a)

 



 





























,

0

,

1

2

,

0

,

,

0

t

t

t

t

F

Z

,

 































,

,

0

,

2

2

,

0

,

,

0

2

/

2

t

e

t

t

f

t

Z



b)

 













































,

0

,

1

4

2

,

0

,

,

0

t

t

t

t

F

Z

,

 































;

,

0

,

2

2

1

,

0

,

,

0

32

/

2

t

e

t

t

f

t

Z



Zad. 2: a)

b)

c)

X Y

3

4

2

0,1

0,4

5

0,3

0,2

x

i

2

5

P(X = x

i

)

0,5

0,5

y

j

3

4

P(X = y

j

)

0,4

0,6

c) nie są niezależne, d)





 

5

,

0

4

,

4

,



Y

X

F

;

Zad. 3: a) 3/16, b)

 





















,

2

,

0

gdy

,

0

,

0,2

gdy

,

8

3

2

1

x

x

x

x

x

f

 





















,

2

,

0

gdy

,

0

,

0,2

gdy

,

8

3

2

2

y

y

y

y

y

f

c) nie są niezależne;

Zad. 4: 4/3;
Zad. 5: 1/2;
Zad. 6: a)

b)

c)

z

k

1

2

4

z

k

2

4

5

z

k

3

6

9

P(min(X,Y) = z

k

) 1/3 1/6 1/2

P(max(X,Y) = z

k

) 1/12 1/6 3/4

P(X+Y = z

k

) 1/12 5/12 1/2