calki nieoznaczone funkcji jednej zmiennej

background image

1

Józef Szymczak

CAŁKI NIEOZNACZONE (notatki z wykładu)

– określenie, podstawowe wzory i metody całkowania

Funkcję

)

(x

F

nazywamy funkcją pierwotną funkcji

)

(x

f

, jeżeli

)

(

)

(

x

f

x

F

=

.

Jeżeli

)

(x

f

ma funkcję pierwotną

)

(x

F

, to

)

(x

f

ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych

dających się opisać wyrażeniem

C

)

(

+

x

F

, gdzie C jest dowolną stałą (łatwo zauważyć, że wtedy

też

)

(

)

C

)

(

(

x

f

x

F

=

+

)

Definicja 1.
Całką nieoznaczoną funkcji

)

(x

f

nazywamy zbiór wszystkich jej funkcji pierwotnych, co

zapisujemy symbolem:

+

=

C

x

F

dx

x

f

)

(

)

(

.

jest znakiem całki,

)

(x

f

to funkcja podcałkowa,

dx

x

f

)

(

to wyrażenie podcałkowe,

x

oznacza zmienną całkowania.



Niektóre własności całki nieoznaczonej:

1

o

.

)

(

)

(

dx

x

f

=

)

(x

f

,

2

o

.

=

dx

x

f

a

)

(

dx

x

f

a

)

(

( a jest pewną wartością stałą),

3

o

.

±

dx

x

g

x

f

))

(

)

(

(

=

±

dx

x

g

dx

x

f

)

(

)

(

.


Podstawowe wzory dotyczące całek nieoznaczonych:

1.

+

=

,

C

x

dx

2.

(

)

,

1

1

1

+

+

+

=

n

C

n

x

dx

n

n

x

3.

,

ln

1

C

x

dx

x

+

=

4.

,

arctan

1

1

2

C

x

dx

x

+

=

+

5.

+

=

,

cos

sin

C

x

xdx

6.

+

=

,

sin

cos

C

x

xdx

7.

,

tan

cos

1

2

C

x

dx

x

+

=

8.

,

arcsin

1

1

2

C

x

dx

x

+

=

9.

,

C

dx

x

x

e

e

+

=

10.

(

)

,

1

,

0

ln

>

+

=

a

a

C

a

a

dx

a

x

x

11.

+

=

,

C

chx

shxdx

12.

+

=

,

C

shx

chxdx


Ć

wiczenie. Wyznaczyć na podstawie powyższych wzorów kilkanaście całek nieoznaczonych, w

szczególności uwzględniając różne przypadki wzoru (2) w zależności od typu wykładnika potęgi.

Zauważmy, że pochodna funkcji złożonej postaci

))

(

ln(

x

g

jest równa

)

(

)

(

x

g

x

g

, zatem wynika stąd

prosty wniosek, że

C

x

g

dx

x

g

x

g

+

=

)

(

)

(

)

(

ln

.

Ć

wiczenie. Wyznaczyć na podstawie powyższego wzoru kilka całek nieoznaczonych tego typu.

background image

2

Całkowanie przez podstawianie

Jeśli

)

(x

f

jest funkcją ciągłą w przedziale

)

;

(

b

a

, a funkcja

)

(t

x

ϕ

=

ma ciągłą pochodną na

przedziale

β

α

<

<

t

i

b

t

a

<

<

)

(

ϕ

dla

β

α

<

<

t

, to słuszny jest wzór

=

dt

t

t

f

dx

x

f

)

(

))

(

(

)

(

ϕ

ϕ

Również słuszny jest wzór otrzymany z powyższego przez zamianę stron oraz zmiennych:

=

dt

t

f

dx

x

x

f

)

(

)

(

))

(

(

ϕ

ϕ

Zastosowanie tych wzorów pokażemy na kilku przykładach.

(1) Wyznaczyć całkę

+

dx

x

5

2)

(3

.

Wykonując podstawienie

t

x

=

+

2

3

otrzymamy po obustronnym zróżniczkowaniu tej równości, że

dt

dx

=

3

, skąd

dt

dx

3

1

=

.

Możemy zatem zapisać:

+

dx

x

5

2)

(3

=

dt

t

5

3

1

=

C

t

+

6

6

1

3

1

=

C

t

+

6

18

1

=

C

x

+

+

6

)

2

3

(

18

1

.

(2) Wyznaczyć całkę

dx

a

x

+

2

2

1

.

Zapiszemy tu ciąg równości, z opisem sposobu podstawienia, ujętego w nawiasy bezpośrednio za
przekształcaną całką(najczęściej zapisujemy zamiast nawiasów faliste pionowe kreski):

dx

a

x

+

2

2

1

=

=

adt

dx

at

x

=

adt

a

at

+

2

2

)

(

1

=

dx

t

a

a

+

1

1

2

2

=

C

t

a

+

arctan

1

=

=

C

a

x

a

+

arctan

1

.

(3) Metodą podstawiania wyznaczyć całkę

dx

x

x

+

2

3

2

.

dx

x

x

+

2

3

2

=

=

=

+

dt

xdx

dt

xdx

t

x

6

1

6

2

3

2

=

dt

t

1

6

1

=

dt

t

2

1

6

1

=

C

t

+

2

1

2

6

1

=

C

t

+

3

1

=

C

x

+

+

2

3

2

3

1

.

(4) Metodą podstawiania wyznaczyć całkę

dx

x

3

sin

.

dx

x

3

sin

=

dx

x

x

2

sin

sin

=

dx

x

x

)

cos

1

(

sin

2

=

=

=

dt

xdx

dt

xdx

t

x

sin

sin

cos

=

dt

t

)

1

(

2

=

=

dt

t

)

1

(

2

=

C

t

t

+

3

3

1

=

C

x

x

+

cos

cos

3

3

1

.

(5)

+

dx

x

x

2

=

>

=

+

tdt

dx

t

t

x

2

0

,

2

2

=

dx

t

t

t

2

2

)

2

(

2

= 2

dx

t

t

)

2

(

2

4

=

C

t

t

+

3

5

3

2

5

2

=

=

C

x

x

+

+

+

3

5

)

2

(

3

2

)

2

(

5

2

background image

3

(6)

+

+

1

2

x

dx

=

=

>

=

+

tdt

dx

t

x

t

t

x

2

1

0

,

1

2

2

=

=

=

=

+

+

+

+

dt

dt

dt

t

t

t

t

t

)

1

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

C

C

x

x

t

t

+

+

+

+

+

=

+

2

1

ln

4

1

2

2

ln

4

2

.


(7) Patrząc na przypadek (1) łatwo można zauważyć, że

jeżeli

+

=

C

x

F

dx

x

f

)

(

)

(

, to

+

+

=

+

C

b

x

F

a

dx

b

ax

f

a

)

(

1

)

(

.

Wynika to z podstawienia:

t

b

ax

=

+

, skąd

dt

adx

=

, czyli

dt

a

dx

1

=

.

Zatem możemy m.in. zapisać, że

,

1

C

a

dx

ax

ax

e

e

+

=

+

=

,

sin

1

cos

C

ax

a

axdx

+

+

=

+

,

)

cos(

1

)

sin(

C

b

ax

a

dx

b

ax

C

a

dx

b

ax

b

ax

+

+

+

=

ln

1

1

.


Całkowanie przez części

Całkowaniem przez części nazywamy obliczanie całki wg formuły:

=

dx

x

v

x

u

x

v

x

u

dx

x

v

x

u

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

lub w skróconym zapisie

=

vdu

v

u

udv

gdzie

)

(

i

)

(

x

v

x

u

są funkcjami mającymi ciągłe pochodne na pewnym wspólnym przedziale.

Przykłady.

(8)

Obliczyć całkę

xdx

x sin

.

Oznaczymy tutaj

=

=

x

x

v

x

x

u

sin

)

(

)

(

. Stąd mamy

=

=

x

x

v

x

u

cos

)

(

1

)

(

.

Zatem

C

dx

x

xdx

x

x

x

x

x

x

+

+

=

=

sin

cos

cos

)

cos

(

sin

.

(9)

xdx

ln

=

=

=

1

)

(

ln

)

(

x

v

x

x

u

=

=

x

x

v

x

u

)

(

x

)

(

1

=

C

x

dx

dx

x

x

x

x

x

x

x

x

+

=

=

ln

ln

ln

1

.

(10)

arctgxdx =

=

=

dx

dv

arctgx

u



=

+

=

x

v

x

du

dx

1

2

1

=

=

+

dx

x

x

xarctgx

1

2

C

dx

x

x

x

xarctgx

xarctgx

+

+

=

=

+

)

1

ln(

2

2

2

1

2

1

1

2

.

background image

4

(11)

xdx

x

3

cos

=

=

xdx

dv

x

u

3

cos



=

=

x

v

dx

du

3

sin

3

1

=

xdx

x

x

3

sin

3

sin

3

1

3

1

=

=

C

x

x

x

+

+

3

cos

3

sin

9

1

3

1

.

(12)

dx

e

x

x

3

2



=

=

dx

e

dv

x

u

x

3

2



=

=

x

e

v

xdx

du

3

3

1

2

=

dx

x

x

x

xe

e

3

3

2

3

2

3

1

=

=

dx

e

dv

x

u

x

3



=

=

x

e

v

dx

du

3

3

1

=

=

)

(

3

3

3

2

3

1

3

1

3

2

3

1

dx

x

x

x

x

x

e

e

e

=

C

x

x

x

x

x

e

e

e

+

+

3

3

3

2

27

2

9

2

3

1

=

=

C

x

x

x

e

+

+

3

2

)

(

9

2

3

2

3

1

.

(13)

xdx

e

x

sin

=

=

xdx

dv

e

u

x

sin

=

=

x

v

dx

du

x

e

cos

=

+

xdx

x

x

x

e

e

cos

cos

=

=

=

xdx

dv

e

u

x

cos

=

=

x

v

dx

du

x

e

sin

=

+

xdx

x

x

x

x

x

e

e

e

sin

sin

cos

Ponieważ w powyższym ciągu równości otrzymaliśmy na końcu jako trzeci składnik całkę

identyczną za całką wyjściową, to z odpowiedniego porównania otrzymamy, że

xdx

e

x

sin

2

=

x

x

x

x

e

e

sin

cos

+

, a więc ostatecznie

xdx

e

x

sin

=

C

x

x

e

x

+

)

cos

(sin

2

1

.

Całki funkcji wymiernych

Funkcja wymierna jest to funkcja postaci

)

(

)

(

)

(

x

Q

x

P

x

W

=

. Nazywamy ją

właściwą, jeżeli

stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku.

Jeżeli stopień wielomianu w liczniku jest większy lub równy stopniowi wielomianu w

mianowniku, to mówimy, że funkcja wymierna jest niewłaściwa. Możemy ją przedstawić w
postaci sumy pewnego wielomianu i funkcji wymiernej właściwej (po wykonaniu dzielenia
licznika przez mianownik).

Funkcję wymierną właściwą postaci

n

a

x

A

)

(

+

gdzie

R

A

a

N

n

,

oraz

, nazywamy

ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.

Funkcję wymierną właściwą postaci

n

q

px

x

D

Bx

)

(

2

+

+

+

gdzie

R

D

B

q

p

N

n

,

,

,

oraz

, przy czym

0

4

2

<

=

q

p

, nazywamy

ułamkiem

prostym drugiego rodzaju.

Uwaga. Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista może być jednoznacznie przedstawiona w

postaci sumy ułamków prostych.


Przykłady.

(14) Rozłożyć na ułamki proste funkcję

16

8

2

4

+

x

x

x

(bez obliczania współczynników)

.

background image

5

Zauważmy, że funkcję tę możemy zapisać w postaci

2

2

)

4

(

x

x

, a dalej

2

2

)

2

(

)

2

(

+

x

x

x

.

Po rozłożeniu mianownika na czynniki, zapiszemy daną funkcję wymierną w postaci sumy

wszystkich możliwych ułamków prostych, ze współczynnikami nieoznaczonymi w licznikach, które
należy wyznaczyć z porównania stron zapisanej równoważności:

2

2

2

2

)

2

(

2

)

2

(

2

)

2

(

)

2

(

+

+

+

+

+

+

x

D

x

C

x

B

x

A

x

x

x

.

(15) Rozłożyć na ułamki proste funkcję

1

2

3

+

+

x

x

. Zauważmy, że

)

1

)(

1

(

1

2

3

+

+

=

+

x

x

x

x

, a więc

przewidujemy następujący rozkład danej funkcji wymiernej na ułamki proste:

1

1

)

1

)(

1

(

2

2

2

+

+

+

+

+

+

+

x

x

C

Bx

x

A

x

x

x

x

.

Po wymnożeniu stronami tej równoważności mamy

)

1

)(

(

)

1

(

2

2

+

+

+

+

+

x

C

Bx

x

x

A

x

czyli

C

Bx

Cx

Bx

A

Ax

Ax

x

+

+

+

+

+

+

2

2

2

skąd po porównaniu współczynników z obu stron równoważności otrzymujemy układ równań

=

+

=

+

+

=

+

2

1

0

C

A

C

B

A

B

A

, i po podstawieniach otrzymamy, że

3

5

,

3

1

,

3

1

=

=

=

C

B

A

.

Zatem możemy zapisać, że

)

1

1

(

3

1

1

1

)

1

)(

1

(

2

2

2

2

5

1

3

5

3

1

3

1

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

.

Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju.

Całkę typu

dx

n

a

x

A

+

)

(

, gdzie

N

n

n

i

1

obliczamy stosując podstawienie

t

a

x

=

+

.

Otrzymujemy wtedy

(I)



>

=

=

=

+

+

+

1

gdy

1

gdy

ln

1

1

1

)

(

n

n

t

A

dt

dx

C

t

n

A

C

t

A

a

x

A

n

n

n

=



>

=

+

+

+

+

1

gdy

1

gdy

ln

1

)

)(

1

(

n

n

a

x

A

C

a

x

n

A

C

n

Np. a)

C

x

x

dx

+

+

+

=

4

ln

3

4

3

, b)

C

x

x

dx

+

+

+

=

3

4

)

5

(

3

2

)

5

(

2

.

Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju.

Całkę typu

dx

k

x

+

2

1

, gdzie

0

>

k

obliczamy wg znanego już wzoru

(II)

C

k

x

k

k

x

arctg

dx

+

+

=

1

1

2

.

Np.

C

x

x

dx

arctg

+

+

=

5

5

1

5

2

.

1.

Przy całkowaniu ułamków II rodzaju w ogólnej postaci dla

n=1, przedstawiamy je jako

kombinację liniową dwóch ułamków o takim samym mianowniku: pierwszy z nich zawiera w
liczniku pochodną mianownika, a drugi pewną stałą. Oba te ułamki całkujemy metodą
podstawiania.

background image

6

2.

Przypadek, gdy

2

n

można opisać wzorem rekurencyjnym:

dx

dx

n

n

a

x

a

n

n

a

x

a

n

x

a

x

n

+

+

+

+

=

)

(

1

)

1

(

2

3

2

)

(

)

1

(

2

)

(

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

;

W szczególności

dx

dx

n

n

x

n

n

x

n

x

x

n

+

+

+

+

=

)

1

(

1

2

2

3

2

)

1

)(

2

2

(

)

1

(

1

2

2

2

1

.

Przykłady całkowania funkcji wymiernych.

(16) Obliczyć

+

6

2

x

x

dx

.

Ponieważ

)

3

)(

2

(

6

2

+

=

+

x

x

x

x

, więc funkcję podcałkową musimy rozłożyć na ułamki

proste:

3

2

6

1

2

+

+

+

x

B

x

A

x

x

.

Mnożąc tę równoważność stronami przez mianownik

6

2

+

x

x

, otrzymujemy

)

2

(

)

3

(

1

+

+

x

B

x

A

.

Stąd

B

A

x

B

A

2

3

)

(

1

+

+

co prowadzi do prostego układu równań:

=

=

+

1

2

3

0

B

A

B

A

, którego rozwiązaniem jest

5

1

,

5

1

=

=

B

A

.

Możemy zatem napisać, że

C

x

x

C

x

x

dx

x

dx

x

x

x

dx

+

+

+

+

+

+

=

=

=

3

2

ln

5

1

3

ln

5

1

2

ln

5

1

3

1

5

1

2

1

5

1

6

2

.

(17)

C

x

x

dx

x

x

dx

+

+

+

+

+

=

=

2

1

)

2

(

4

4

2

2

.

(18)

+

+

+

+

=

4

)

1

(

5

2

2

2

x

dx

x

x

dx

=

=

+

dt

dx

t

x

1

=

C

t

arctg

+

2

2

1

=

C

x

arctg

+

+

2

1

2

1

.

(19)

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

dx

x

x

dx

x

x

x

dx

x

x

x

dx

x

x

x

dx

x

x

x

9

4

6

2

1

9

4

4

2

2

1

9

4

6

4

2

2

1

9

4

2

2

2

1

9

4

1

2

2

2

2

2

=

=

+

+

+

dx

x

x

x

5

)

2

(

1

3

9

4

2

1

2

2

ln

=

C

x

x

x

arctg

+

+

+

5

2

5

3

9

4

2

1

2

ln

.

Całki funkcji trygonometrycznych

Jeżeli funkcja podcałkowa ma postać

)

cos

,

(sin

x

x

R

, czyli jest zależna od funkcji

sin x

lub

x

cos

, to wówczas możemy zastosować uniwersalne podstawienie trygonometryczne:

t

x

tg

=

2

Przekształcając tę równość otrzymujemy, że

arctgt

x

2

=

, a stąd już mamy, że

dt

t

dx

2

1

2

+

=

.

background image

7

Z odpowiednich wzorów trygonometrycznych możemy przy danym podstawieniu zapisać, że

2

1

2

sin

t

t

x

+

=

,

2

2

1

1

cos

t

t

x

+

=

Po tych przekształceniach otrzymamy całkę z funkcji wymiernej.

Przykład.

(20)

=

=

=

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

dt

t

t

dt

t

t

t

dt

x

x

dx

t

t

t

t

t

t

t

8

8

2

2

5

5

3

3

8

2

5

3

4

5

cos

3

sin

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

2

1

2

C

tg

C

t

dt

t

dt

t

t

x

+

+

=

+

+

+

+

+

=

=

=

2

1

2

1

)

2

(

1

4

4

1

2

2

2

.

W przypadku, gdy trygonometryczna funkcja podcałkowa jest parzysta względem

x

sin i

x

cos , to

wygodniej jest stosować podstawienie:

t

tgx

=

; wtedy

2

1 t

dt

dx

+

=

,

2

2

2

1

sin

t

t

x

+

=

,

2

2

1

1

cos

t

x

+

=

.

W przypadku, gdy trygonometryczna funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem

x

sin , to

stosujemy podstawienie:

t

x

=

cos

, a gdy funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem

x

cos , to

stosujemy podstawienie:

t

x

=

sin

.



Zadanie. Korzystając z tablic całek nieoznaczonych wyznaczyć kilka całek z niewymiernymi
funkcjami podcałkowymi:

a)

,

4

2

dx

x

b)

+

,

9

2

dx

x

c)

+

+

dx

x

x

5

2

1

2

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Calki funkcje jednej zmiennej
Calki funkcje jednej zmiennej
5 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
4 pochodna funkcji jednej zmiennej
10 Pochodna funkcji jednej zmiennej
Definicja całki nieoznaczonej i funkcji pierwotnej
Funkcja jednej zmiennej ciagi
wykład, RACHUNEK ROZNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 63, 1)
funkcja jednej zmiennej
zagadnienia, punkt 7, VII Pojęcie pochodnej w punkcie funkcji jednej zmiennej - interpretacja fizycz
Aproksymacja funkcji jednej zmiennej
,analiza matematyczna 1, rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Zestaw 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej Punkty przegięcia wykresu Asymptoty
Pochodna funkcji jednej zmienne Nieznany
Numeryczne metody obliczania?łek funkcji jednej zmiennej Temat 3

więcej podobnych podstron