EGZAMIN PODSTAWY ROBOTYKI 2 – 2010

1. Podać definicje modelu dynamiki różniczkowego oraz całkowego w postaci

ogólnej oraz związek, który pomiędzy nimi występuje. [opracowane na podstawie:
„Modelowanie i sterowanie robotów”- Kozłowski, Dutkiewicz, Wróblewski]

• model różnicowy

Ogólna postać modelu matematycznego z wykorzystaniem Lagrangianu jest
następująca:

τ

=

+

+

Μ

)

(

)

,

(

)

(

q

g

q

q

q

C

q

q

&

&

&

&

gdzie: - M(q) – jest dodatnio określoną macierzą mas manipulatora, macierz ta

grupuje właściwości masowe manipulatora;

-

)

,

(

q

q

C

& - jest wektorem momentów sił dośrodkowych i Coriolisa;

-

)

(q

g

- jest N-wymiarowym wektorem momentów sił związanych z

grawitacją, przy czym:

dq

dE

q

g

pc

=

)

(

;

-

τ - wektor reprezentujący momenty sił niepotencjalnych przyłożonych do
układu;

Zwróćmy uwagę na fakt, że momenty sił interakcji

q

q

&

&

)

(

Μ

wynikają z elementów

leżących po za diagonalą macierzy mas, natomiast elementy macierzy

)

,

(

q

q

C

& spełniają następujące równanie:

k

j

N

j

N

k

i

jk

k

ij

N

j

j

ij

q

q

q

M

q

M

q

C

&

&

&

∑∑

∑

=

=

=













∂

∂

−

∂

∂

=

1

1

1

2

1

Często różnicowy model matematyczny zapisujemy w postaci:

(

)

X

q

q

q

D

&

&

&,

,

=

τ

gdzie: - D – jest macierzą o wymiarach N

×12N;

-

X

– jest wektorem parametrów dynamicznych manipulatora;

• model całkowy

Model całkowy wynika z twierdzenia o energii z klasycznej mechaniki analitycznej:

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

1

2

1

1

2

2

2

1

t

H

t

H

t

E

t

E

t

E

t

E

dt

q

t

t

pc

kc

pc

kc

T

−

=

+

−

+

=

∫

&

τ

gdzie:

- τ - jest wektorem sił niepotencjalnych działających w układzie;
-

( )

t

H

=

( )

( )

(

)

t

E

t

E

pc

kc

+

– jest sumą całkowitych energii kinetycznej

potencjalnej w chwili t;

Całkę występującą po prawej stronie równania można zapisać w postaci:

∫

=

=

2

1

t

t

T

dlX

dt

q

J

&

τ

gdzie:

- dl – jest wektorem zależnym od wektorów położeń i prędkości uogólnionych;
-

X

- jest wektorem parametrów dynamicznych manipulatora;

• model różnicowy, a całkowy:

-

model całkowy dynamiki jest zależny jedynie od wektorów prędkości i
położeń uogólnionych;

-

w modelu różnicowym wyprowadzanym z Lagrangianu występuje różnica
energii kinetycznej i potencjalnej, w modelu całkowym wyprowadzanym z
twierdzenia o energii występuje ich suma;

-

związek pomiędzy modelami określa wektor parametrów dynamicznych
manipulatora X, występujący w obydwu modelach;

2. Podać postać ogólna równań dynamiki dla robota mobilnego o napędzie różnicowym

z ograniczeniem na poślizg poprzeczny. W jaki sposób można wyeliminować
mnożnik Lagrange'a występujący w tych równaniach? [opracowane na podstawie:
wykłady z PR2 z roku 2005 oraz ‘Modeli dynamicznych’: źródło:SzerokoPojętyInternet]

Kinematyka układu robotycznego podlega l niezależnym ograniczeniom fazowym typu Pfaffa

( )

0

A

=

q

q

&

&

Ponadto korzystamy z Zasady d’Alamnberta, w myśl której siły uogólnione F zapewniające
spełnienie ograniczeń fazowych nie będą wykonywać pracy na dopuszczalnych
przemieszczeniach. Po przeprowadzeniu uproszczeń dochodzimy do wektora mnożników
Lagrange’a

λ∈R

l

takich, że:

( )

( )

λ

λ

q

A

F

q

A

F

T

T

=

⇒

=

Dla przedstawionego powyżej robota mobilnego dwukołowego o napędzie różnicowym
ogólne równania dynamiki przyjmują postać:

( )

(

)

( )

( )

λ

τ

q

A

q

B

q

q

q

V

q

q

M

T

m

−

=

+

&

&

&

&

,

gdzie:

*

( )

λ

q

A

T

- określają siły reakcji układu;

*

( )

q

B

- macierz transformacji sygnału wejściowego;

*

(

)

q

q

V

m

&

,

- macierz oddziaływań;

*

( )

q

M

- macierz mas;

*

τ

- jest wektorem sił niepotencjalnych działających w układzie;

Powyższą zależność otrzymano przy założeniu, że robot porusza się po terenie płaskim
(Epc=0; L=Ekc), co wyeliminowało element g(q) podawany przez inne źródła.

Eliminujemy mnożniki Lagrange korzystając z własności:

( ) ( )

( ) ( )

0

0

=

⇔

=

q

A

q

S

q

S

q

A

T

T

.

Po obustronnym pomnożeniu powyższego równania przez macierz:

( )

q

S

T

oraz

uwzględnieniu zależności

( )

ν

q

S

q

=

&

,

( )

( )

ν

ν

&

&

&

&

q

S

q

S

q

+

=

oraz własności macierzy A(q) i S(q)

otrzymujemy równanie:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

(

) ( )

[

]

( ) ( )

τ

ν

ν

q

B

q

S

q

S

q

q

V

q

S

q

S

q

M

q

S

q

S

q

M

q

S

T

m

T

T

T

=

+

+

&

&

&

,

(

które zapisujemy w postaci:

( )

(

)

( )

τ

ν

ν

q

B

q

q

V

q

M

=

+

&

&

,

.

3. Dla robota dwukołowego przedstawionego na rysunku podać warunki istnienia

poślizgu wzdłużnego oraz poprzecznego. Warunki holonomiczne oraz
nieholonomiczne podać w formie Pfaffa. Podać stosowne wyprowadzenia. Punkt C
jest środkiem masy pojazdu. [opracowane na podstawie: Dropbox:wózek.pdf]

W tym zadaniu robot jest zaopatrzony w dwa niezależne napędy

l

ϕ

& i

p

ϕ

& . Punkt C jest

ś

rodkiem masy, punkt P – środkiem geometrycznym. Możemy zapisać równania zależności:

( )
( )

Θ

+

=

Θ

+

=

sin

cos

d

y

y

d

x

x

p

c

p

c

Równania różniczkujemy po czasie:

( )

( )

Θ

Θ

+

=

Θ

Θ

−

=

cos

sin

&

&

&

&

&

&

d

y

y

d

x

x

p

c

p

c

Pierwsze równanie mnożymy razy –sin(

Θ

)

, drugie razy cos(

Θ

),

następnie dodajemy je do

siebie stronami:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

Θ

+

Θ

+

Θ

−

=

Θ

+

Θ

−

Θ

+

Θ

Θ

+

Θ

+

Θ

−

=

Θ

+

Θ

−

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

d

y

x

y

x

d

y

x

y

x

p

p

c

c

p

p

c

c

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

2

2

Warunek na brak poślizgu wzdłuż osi poprzecznej robota:
Wszystkie rzuty prędkości na oś Y

c

muszą się równoważyć. Otrzymane składowe:

(

)

( )

( )

d

d

y

x

x

c

c

c

Θ

=

×

Θ

Θ

=

Θ

−

&

&

&

&

o

ω

cos

sin

90

cos

Ostatnia składowa wynika z prędkości kątowej.

( )

( )

0

cos

sin

=

Θ

+

Θ

−

Θ

−

c

c

y

d

x

&

&

&

Powyższe równanie jest niecałkowalne po czasie, zatem jest to ograniczenie
nieholonomiczne.

Warunek na brak poślizgu wzdłuż osi podłużnej robota:
Uwzględniamy rzuty prędkości

c

x

& i

c

y

& na oś X

c

:

( )

(

)

( )

Θ

=

Θ

−

Θ

sin

90

cos

cos

c

c

c

y

y

x

&

&

&

o

Ponadto dla koła prawego uwzględniamy prędkość postępową i prędkość wynikającą z obrotu
kół wokół środka. Warunek dla koła prawego:

( )

( )

0

sin

cos

=

Θ

+

−

Θ

+

Θ

&

&

&

&

R

r

y

x

p

c

c

ϕ

Postępujemy analogicznie dla lewego koła i otrzymujemy warunek dla koła lewego:

( )

( )

0

sin

cos

=

Θ

−

−

Θ

+

Θ

&

&

&

&

R

r

y

x

l

c

c

ϕ

Obydwa warunki są niecałkowalne po czasie, a więc są to również ograniczenia
nieholonomiczne.

Przedstawienie uzyskanych ograniczeń w postaci Pfaffa:

( )

0

A

=

q

q

Wektor współrzędnych konfiguracyjnych q=[x

c

y

c

Θ

ϕ

P

ϕ

L

].

( )





















Θ

−

Θ

−

−

Θ

−

Θ

−

−

Θ

Θ

−

=

r

r

R

R

d

q

0

0

0

0

sin

cos

sin

cos

cos

sin

A

Macierz zawiera 3 warunki nieholonomiczne. Można przekształcić uzyskane ograniczenia,
aby uzyskać ograniczenia holonomiczne.

Równania opisujące warunki braku poślizgu podłużnego można przekształcić do całkowalnej
postaci:

(

)

L

P

R

r

ϕ

ϕ

&

&

&

−

=

Θ

2

które prowadzi do uzyskania nowej macierzy:

( )





















−

−

−

Θ

−

Θ

−

−

Θ

Θ

−

=

r

r

r

R

R

d

q

0

0

0

2

0

0

sin

cos

cos

sin

A

1

Macierz zawiera 2 warunki nieholonomiczne i jeden holonomiczny.

4. Wykazać, że warunek prędkościowy poślizgu poprzecznego przy jeździe na wprost

ze stałą prędkością v dla robota mobilnego z mechanizmem różnicowym ma
charakter warunku holonomicznego. [opracowane na podstawie: Dropbox:wózek.pdf i
tego co w mojej głowie(!więc mogą być bzdury!)]

Ponieważ robot porusza się na wprost, ze stałą prędkością, należy poczynić pewne założenia:

1)

0

=

Θ

&

2)

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

P

L

3)

.

const

=

ϕ

&

Następnie należy przeprowadzić rozumowanie analogiczne do poprzedniego punktu z
uwzględnieniem w/w założeń.

( )
( )

Θ

+

=

Θ

+

=

sin

cos

d

y

y

d

x

x

p

c

p

c

Równania różniczkujemy po czasie:

p

c

p

c

y

y

x

x

&

&

&

&

=

=

Warunek na brak poślizgu poprzecznego: rzuty wszystkich prędkości na oś Y

c

równoważą

się. Otrzymane składowe:

( )

( )

Θ

Θ

sin

cos

y

x

&

&

Brakuje występującej w poprzednim zadaniu składowej wynikającej z prędkości obrotowej,
ponieważ ruch jest prostoliniowy,

ω=0. Warunek braku poślizgu poprzecznego:

( )

( )

0

sin

cos

=

Θ

+

Θ

−

y

x

&

&

Powyższe wyrażenie jest całkowalne po czasie, ponieważ kąt Θ jest stały, funkcje cos(Θ) i
sin(

Θ) są stałymi współczynnikami. Całka z powyższego równania wynosi:

( )

( )

0

sin

cos

=

Θ

+

Θ

y

x

a więc jest to ograniczenie całkowalne, holonomiczne.

5. Sformułować zadanie pasywności dla układu mechanicznego. [opracowane na

podstawie: forum i wykłady z PR2 z 2010 roku]

Wszystkie układy mechaniczne, w których nie ma dysypacji energii (nie występuje tarcie)
spełniają zasadę pasywności.

Całka z iloczynu sił uogólnionych i prędkości uogólnionych jest równa różnicy energii
całkowitej układu w chwili t i energii całkowitej układu w chwili zerowej.

(

) (

)

∫

+

−

+

=

t

pc

kc

pc

kc

T

E

E

t

E

t

E

dt

q

0

)

0

(

)

0

(

)

(

)

(

τ

&

Suma energii całkowitej i potencjalnej to funkcja Lapunowa w układzie mechanicznym.

2

0

)

0

(

)

(

n

T

t

V

t

V

dt

q

γ

τ

−

≥

−

=

∫

&

Zasada pasywności układów mechanicznych:

(

) (

)

2

0

)

0

(

)

(

)

0

(

)

0

(

)

(

)

(

n

t

pc

kc

pc

kc

T

T

V

t

V

E

E

t

E

t

E

dt

q

q

dt

dV

γ

τ

τ

−

≥

−

=

+

−

+

=

⇒

=

∫

&

&

Interpretacja zasady pasywności układów mechanicznych: ponieważ energia kinetyczna Ek
jest niezależna od wyboru układu współrzędnych, możemy dowolnie dobierać układ
odniesienia, w którym liczymy energię potencjalną.

Energię kinetyczną opisuje zależność:

( )

(

)

q

q

M

q

E

T

kc

&

&

2

1

=

. Znając macierz mas dysponujemy

pełną informacją o układzie. Wszystkie składniki związane z siłami Coriolisa i siłami
odśrodkowymi wynikają z macierzy mas. Oddzielnie występuje pochodna Ep względem
współrzędnych uogólnionych, czyli gradient energii potencjalnych względem wektora
współrzędnych uogólnionych.

6. Podać równania Lagrange’a dla manipulatora o N stopniach swobody oraz podać

właściwości każdego występującego w nim elementu z punktu widzenia sterowania.

Manipulator o N stopniach swobody:

Równania Lagrange’a dla manipulatora o N stopniach swobody:

i

i

i

q

L

q

L

dt

d

τ

=

∂

∂

−













∂

∂

&

, i =1, 2, ... n

Elementy Lagrangianu:

-

L(q) = Ek(q, q’, t)- Ep(q, q’, t)

– jest funkcją Lagrange’a opisującą dany

układ;

-

i

q

L

∂

∂

- siła uogólniona;

-

i

q

L

&

∂

∂

- pęd uogólniony;

-

τ - jest wektorem sił niepotencjalnych działających w układzie;

-

Równania Lagrange’a otrzymujemy z

zasady najmniejszego działania

i dla znanej funkcji

Lagrange'a są one układem n

równań różniczkowych zwyczajnych

na funkcje q

k

(t).

Właściwości elementów lagrangianu z pktu widzenia sterowania:

.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................


7. Zasada d’Alamberta. [opracowane na podstawie: „Mechanika ogólna-dynamika”

Mendzel]

Zasada d’Alamberta (zasada równowagi kineostatycznej opisującej ruch punktu
materialnego): suma geometryczna sił prawdziwych działających na punkt materialny P oraz
sił bezwładności B jest równa zeru.

0

=

+ B

P

Pracę przygotowaną wszystkich sił prawdziwych i bezwładności działających na punkt
materialny m

i

, które przesunięcie przygotowanie wynosi

δr, określa równanie:

(

)

0

=

+

=

∂

r

B

P

L

δ

Powyższy wzór to tzw. ogólne równanie dynamiki.

Wynika z niego, że praca przygotowana wszystkich sił prawdziwych i fikcyjnych
działających na punkt jest zerem. Stosując tę zasadę możemy opisać zjawisko ruchu brył lub
układu brył.