Rozdział 3

Kwantowa teoria
promieniowania

3.1 Zjawisko fotoelektryczne

3.1.1 Kwanty promieniowania

Szereg faktów doświadczalnych wskazuje, że promieniowanie elektromagne-
tyczne, w szczególności światło, ma nieciągłą, kwantową naturę. Składa się
ono mianowicie z określonych porcji energii, zwanych kwantami promienio-
wania

lub fotonami. Po raz pierwszy hipotezę kwantowej struktury promie-

niowania wysunął w r. 1900 Max Planck dla wyjaśnienia rozkładu energii w
widmie promieniowania tzw. ciała doskonale czarnego.

Jak wiadomo, ciała ogrzane do dostatecznie wysokiej temperatury emitu-

ją promieniowanie elektromagnetyczne. W miarę wzrostu temperatury ciała
całkowita moc wysyłanego przez nie promieniowania rośnie a maksimum mo-
cy promieniowania przesuwa się w stronę krótszych fal — od podczerwieni
do zakresu światła widzialnego i do nadfioletu. Dla ustalonej temperatury
moc promieniowania emitowanego z jednostki powierzchni ciała i jej rozkład
widmowy zależą od rodzaju ciała. Można udowodnić, że maksymalną moc
przypadającą na jednostkę powierzchni emituje ciało, całkowicie pochła-
niające padające na nie promieniowanie, zwane ciałem doskonale czarnym.
Dobrym modelem ciała doskonale czarnego jest niewielki otwór we wnęce o
zaczernionych ściankach (rys. 3.1). Wiązka promieniowania, wpadająca do
wnęki, odbija się wielokrotnie od jej ścianek. Ponieważ przy każdym odbi-
ciu część energii promieniowania zostaje pochłonięta przez ścianki, wnęka
absorbuje praktycznie całe wchodzące do niej promieniowanie. Widmo pro-

59

60

KWANTOWA TEORIA PROMIENIOWANIA

Rysunek 3.1:

mieniowania ciała doskonale czarnego zależy jedynie od temperatury i ma
stosunkowo prostą postać. Podejmowane pod koniec XIX wieku przez wielu
uczonych próby jego opisu, korzystające z klasycznej elektrodynamiki i z
zasady ekwipartycji energii, zakończyły się niepowodzeniem.

W swojej teorii Planck przyjął, w sprzeczności z fizyką klasyczną, że

emisja i absorbcja promieniowania przez atomy i cząsteczki substancji może
zachodzić tylko porcjami — kwantami. Minimalna wartość emitowanej lub
absorbowanej energii wyraża się wzorem

E

f

= hν ,

(3.1)

gdzie ν — częstotliwość promieniowania a h — uniwersalna stała, zwana
obecnie stałą Plancka. Wyprowadzony na podstawie tego założenia wzór,
określający widmo promieniowania ciała doskonale czarnego, bardzo dobrze
opisywał wyniki badań doświadczalnych i umożliwił określenie liczbowej
wartości stałej h. Jej współcześnie przyjmowana wartość wynosi

h = 6, 626196 · 10

−34

J · s.

(3.2)

3.1.2 Zjawisko fotoelektryczne

Bardziej bezpośrednim dowodem kwantowej natury promieniowania elektro-
magnetycznego jest zewnętrzne zjawisko fotoelektryczne, odkryte przez W.
Hallwachsa w 1888 r. Polega ono na wybijaniu elektronów z ciał stałych,
głównie z metali, pod wpływem padającego promieniowania. Zjawisko fo-
toelektryczne powoduje np. rozładowanie elektroskopu w przypadku, gdy
elektroskop i połączona z nim metalowa płytka są naładowane ujemnie (rys.
3.2). Częstotliwość promieniowania, powodującego zjawisko fotoelektryczne,

ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE

61

Zn

nadfiolet

elektroskop

Rysunek 3.2:

zależy od rodzaju ciała. Np. w przypadku cynku efekt fotoelektryczny wy-
wołuje jedynie promieniowanie ultrafioletowe a dla metali alkalicznych, jak
sód i potas, zachodzi on już pod wpływem światła widzialnego. Emitowane
w wyniku zjawiska fotoelektrycznego elektrony nazywamy często fotoelek-
tronami.

Do ilościowego zbadania zjawiska fotoelektrycznego wygodnie jest posłu-

żyć się urządzeniem pomiarowym przedstawionym na rysunku 3.3. Zależność
natężenia I prądu elektrycznego, płynącego między emiterem E i kolektorem

A

V

I

U

+

kwarc

pró¿nia

E

K

- e

- e

- e

- e

promieniowanie

Rysunek 3.3:

62

KWANTOWA TEORIA PROMIENIOWANIA

I

U

0

-U

(+)

( )

I

02

I

01

J = 2J

2

1

J

1

I

U

0

-U

(+)

( )

I

0

01

02

-U

n > n

1

2

n

1

a)

b)

0

Rysunek 3.4:

K, od przyłożonego napięcia U dla różnych wartości natężenia J i częstotli-
wości ν promieniowania pokazują rysunki 3.4a, b. Przebieg zależności natę-
żenia prądu od napięcia można wyjaśnić jak następuje. Jeżeli kolektor ma
dostatecznie duży dodatni potencjał względem emitera, wszystkie elektrony
wybijane z emitera docierają do kolektora. Prąd I

0

, zwany prądem nasyce-

nia

, jest więc proporcjonalny do liczby emitowanych elektronów w jednostce

czasu. Jeżeli z kolei kolektor ma wystarczający ujemny potencjał względem
emitera, wybijane elektrony zostają zahamowane przez pole elektryczne i
nie docierają do kolektora. Ponieważ praca W potrzebna do zahamowania
elektronu o ładunku e w polu elektrycznym wyraża się wzorem W = eU
(U — różnica potencjałów punktów pola, między którymi przemieszcza się
elektron), napięcie U

0

, nazywane napięciem odcięcia, jest związane z mak-

symalną energią kinetyczną E

e

wybijanych fotoelektronów wzorem

E

e

= eU

0

.

(3.3)

Korzystając z opisanego urządzenia można ustalić następujące prawa,

dotyczące zjawiska fotoelektrycznego.

1. Prąd nasycenia I

0

a więc i liczba elektronów wybijanych w jednostce

czasu są wprost proporcjonalne do natężenia promieniowania J (rys.
3.4a).

2. Napięcie odcięcia U

0

a stąd i maksymalna energia fotoelektronów za-

leżą wyłącznie od częstotliwości ν promieniowania (rys. 3.4b). Poniżej
pewnej częstotliwości ν

0

, charakterystycznej dla danego metalu, efekt

fotoelektryczny w ogóle nie zachodzi. Zależność napięcia U

0

od często-

tliwości promieniowania ν pokazuje rysunek 3.5.

ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE

63

n

U

0

n

01

n

02

0

potas

cynk

Rysunek 3.5:

Powyższych prawidłowości nie można wytłumaczyć na podstawie kla-

sycznej, falowej teorii promieniowania. Zgodnie z nią, energia przenoszona
przez falę elektromagnetyczną zależy wyłącznie od jej natężenia a nie od
częstotliwości (podrozdział 1.2.3). Wobec tego energia kinetyczna fotoelek-
tronów powinna wzrastać przy wzroście natężenia światła. Ponadto efekt
fotoelektryczny powinien występować dla światła o dowolnej częstotliwości,
pod warunkiem, że jego natężenie jest dostatecznie duże.

W r. 1905 A. Einstein wyjaśnił zjawisko fotoelektryczne, rozszerzając

koncepcję Plancka. Założył on, że światło składa się z kwantów energii —
fotonów i że zjawisko fotoelektryczne polega na indywidualnym akcie zde-
rzenia fotonu z elektronem w ciele stałym (rys. 3.6). Ponieważ energia fali
świetlnej jest proporcjonalna do jej natężenia, Einstein przyjął, że liczba
fotonów w jednostce objętości jest wprost proporcjonalna do natężenia mo-
nochromatycznego światła. Tłumaczy to pierwsze prawo zjawiska fotoelek-
trycznego. Liczba fotoelektronów emitowanych z powierzchni ciała powinna
być proporcjonalna do liczby padających na nią fotonów a więc i do natęże-
nia światła.

Dla interpretacji drugiego prawa efektu fotoelektrycznego należy uło-

żyć odpowiedni bilans energii. Zgodnie z doświadczeniem, w temperaturze
pokojowej ciała stałe nie emitują samorzutnie elektronów. Dowodzi to, że
do wyrwania elektronu z danego ciała potrzebne jest wykonanie określonej
pracy W , zwanej pracą wyjścia. Energia E

f

fotonu i maksymalna energia

kinetyczna E

e

fotoelektronu powinny więc spełniać zależność

E

f

= W + E

e

,

(3.4)

64

KWANTOWA TEORIA PROMIENIOWANIA

metal

pró¿nia

E

f

E

e

Rysunek 3.6:

zwaną wzorem Einsteina. Korzystając ze wzoru (3.1) otrzymujemy

hν = W + E

e

.

(3.5)

Widać, że minimalna częstotliwość promieniowania ν

0

, dla której zachodzi

zjawisko fotoelektryczne, odpowiada energii fotonu równej pracy wyjścia (w
ostatnim wzorze kładziemy ν = ν

0

i E

e

= 0),

W = hν

0

.

(3.6)

Wzór ten pozwala określić pracę wyjścia elektronu z danego ciała. Podsta-
wiając wyrażenia (3.3) i (3.6) do równania (3.5) otrzymujemy równanie

hν = hν

0

+ eU

0

,

(3.7)

skąd

U

0

=

h

e

(ν − ν

0

), ν > ν

0

.

(3.8)

Ostatni wzór jest zgodny z liniowymi zależnościami U

0

od ν, przedstawio-

nymi na rysunku 3.5. Nachylenie prostych wyraża się przy tym wzorem h/e,
co pozwala niezależnie określić wartość stałej Plancka. Szczegółowe pomia-
ry zależności napięcia odcięcia od częstotliwości promieniowania dla metali
przeprowadził w 1914 roku R. Millikan. Wyznaczona wartość stałej Planc-
ka zgadzała się z określoną wcześniej na podstawie widma promieniowania
ciała doskonale czarnego.

PROMIENIE ROENTGENA

65

3.2 Promienie Roentgena

3.2.1 Własności promieni Roentgena

W r. 1895 W. Roentgen odkrył nieznany dotąd rodzaj promieniowania, na-
zwany przez niego promieniami X (obecnie — również promieniami Roe-
ntgena

). Roentgen zauważył, że ekran pokryty platynocyjankiem baru flu-

oryzuje (świeci), gdy znajduje się w pobliżu rury próżniowej, w której za-
chodzi wyładowanie elektryczne. Fluorescencja występowała nawet wówczas,
gdy rura do wyładowań była owinięta czarnym papierem. Roentgen stwier-
dził, że promienie X powstawały w miejscu uderzenia promieni katodowych
(wiązki elektronów) o szklaną ściankę rury do wyładowań. Wiadomo obec-
nie, że promienie Roentgena powstają wówczas, gdy wiązka elektronów, lub
innych naładowanych cząstek, zostaje zahamowana w określonej substancji.

Schemat współczesnej lampy rentgenowskiej jest pokazany na rysunku

3.7. Elektrony, emitowane z żarzonej prądem elektrycznym katody, są przy-
spieszane do dużych prędkości za pomocą wysokiego napięcia, rzędu kilku-
dziesięciu kilowoltów, przyłożonego między katodą i anodą. Promieniowanie
X wydziela się podczas hamowania elektronów zderzających się z powierzch-
nią anody. Ponieważ część energii elektronów zamienia się przy tym w ciepło,
anoda jest często chłodzona przepływającą wewnątrz niej wodą lub olejem.

Roentgen stwierdził, że promienie X mają następujące własności:

nap. ¿arzenia

+

katoda

anoda

pró¿nia

wysokie napiêcie

elektrony

promienie X

Rysunek 3.7:

66

KWANTOWA TEORIA PROMIENIOWANIA

1. mają dużą przenikliwość,

2. zaczerniają kliszę fotograficzną,

3. powodują fluorescencję niektórych substancji,

4. jonizują powietrze,

5. nie ulegają odchyleniu w polu elektrycznym lub magnetycznym.

Ta ostatnia cecha dowodzi, że promienie X nie są strumieniem naładowanych
cząstek.

Natura promieni X była przez kilka lat nieznana. Pierwszą, nieudaną

próbę wykazania ich falowego charakteru, tj. występowania zjawisk dyfrak-
cji i interferencji po przejściu promieni X przez wąskie szczeliny, podjęli
Hage i Wind w 1903 r. W roku 1906 C.G. Barkla udowodnił doświadczal-
nie, że promienie X ulegają polaryzacji przy rozproszeniu, podobnie jak
światło widzialne (por. podrozdział 2.2.2). Schemat jego doświadczenia po-
kazuje rysunek 3.8. Wiązka promieni Roentgena pada na blok grafitu S

1

a

rozproszona w nim pod kątem prostym wiązka jest kierowana na drugi blok
grafitowy S

2

. Jeżeli promienie Roentgena są falami poprzecznymi, rozproszo-

ne w pierwszym bloku promieniowanie powinno być liniowo spolaryzowane
w płaszczyźnie, w której leżą wiązka padająca i rozproszona. Wówczas na-
tężenie wiązki promieniowania, powtórnie rozproszonej pod prostym kątem

S

S

1

2

a

promieniowanie X

D

Rysunek 3.8:

PROMIENIE ROENTGENA

67

przez drugi blok, powinno zależeć od kąta α i osiągać maksymalną wartość
dla α = 0 a wartość zero dla α = 90

◦

. Pomiary natężenia promieniowania

Roentgena za pomocą detektora D, obracanego w płaszczyźnie prostopadłej
do linii łączącej S

1

i S

2

, potwierdziły tę zależność. Wynik doświadczenia

Barkli sugerował, że promienie Roentgena są falami elektromagnetycznymi.

W r. 1912 Max von Laue doszedł do wniosku, że przyczyną niepowodze-

nia Hage i Winda mogły być zbyt duże rozmiary szczeliny w porównaniu
z długością fali promieni X. Zauważył on, że naturalną siatką dyfrakcyj-
ną dla promieni Roentgena mogą stanowić kryształy, w których odległości
między sąsiednimi, regularnie ułożonymi atomami są rzędu 10

−10

m. Pod-

jęte pod jego kierunkiem doświadczenia, w których wąska wiązka promieni
X przechodziła przez kryształ chlorku sodu, NaCl i padała na kliszę foto-
graficzną (rys. 3.9a), dowiodły istotnie zjawiska dyfrakcji promieni X. W
przypadku dyfrakcji na pojedynczym krysztale obraz dyfrakcyjny składa się
z zespołu plamek (rys. 3.9b). Jeżeli dyfrakcja zachodzi na próbce polikry-
stalicznej, zawierającej dużą liczbę chaotycznie ustawionych kryształków, na
obrazie dyfrakcyjnym zamiast plamek występują koncentryczne pierścienie
(rys. 3.9c). Badania Lauego i współpracowników stanowiły jednocześnie do-
wód regularnego ułożenia atomów w kryształach. Były one kontynuowane w
nieco innej formie przez W.H. Bragga i L. Bragga, co będzie przedmiotem
następnego podrozdziału.

Omówione doświadczenia pozwoliły stwierdzić, że promienie X są falami

elektromagnetycznymi o długości fali rzędu 10

−8

m - 10

−12

m. W przypad-

ku dyfrakcji promieni X na kryształach o znanej budowie można określić
rozkład natężenia promieniowania X w funkcji długości fali, zwany widmem
promieniowania rentgenowskiego

(rys. 3.10).

Jedną z cech widma rentgenowskiego jest występowanie bardzo ostrej

krótkofalowej granicy promieniowania λ

min

, poniżej której natężenie pro-

a)

b)

c)

pr. X

P

Kl.

Rysunek 3.9:

68

KWANTOWA TEORIA PROMIENIOWANIA

l

min3

l

min1

l

min2

l

natê¿enie promieniowania X

U

1

U

3

U

2

K

b

K

a

Rysunek 3.10:

mieni X jest równe zeru. Wartość λ

min

zależy od napięcia U na lampie

rentgenowskiej. W. Duane i F.L. Hunt stwierdzili doświadczalnie, że

λ

min

U = const.

(3.9)

Wyjaśnienie tej prawidłowości daje kwantowa teoria promieniowania. Pod-
czas hamowania elektronu w ośrodku materialnym jego energia zostaje cał-
kowicie lub częściowo wyemitowana w postaci fotonów. Maksymalna energia
fotonu odpowiada sytuacji, gdy cała energia zahamowanego elektronu zo-
staje wypromieniowana w postaci pojedynczego fotonu. Zachodzi wówczas
związek

E

e

= E

f max

,

(3.10)

w którym E

e

— energia elektronu, E

f max

— maksymalna energia fotonu.

Korzystając ze wzorów

E

e

= eU,

(3.11)

E

f max

= hν

max

=

hc

λ

min

(3.12)

(c — prędkość światła), otrzymujemy wzór

eU =

hc

λ

min

,

(3.13)

PROMIENIE ROENTGENA

69

skąd:

λ

min

U =

hc

e

.

(3.14)

Ostatni wzór ma postać zgodną z prawem Duane’a - Hunta i pozwala wy-
znaczyć wartość stałej Plancka.

Inną cechą widma promieniowania X jest pojawienie się przy wyższych

napięciach ostrych maksimów natężenia promieniowania, zwanych widmem
charakterystycznym

promieni X. Wyjaśnienie mechanizmu ich powstawania

będzie podane w następnym rozdziale. Położenie tych maksimów zależy od
materiału, z którego wykonana jest anoda. Dobierając odpowiednio mate-
riał anody i przyłożone napięcie można uzyskać niemal monochromatyczną
wiązkę promieni X.

3.2.2 Dyfrakcja promieni Roentgena. Wzór Bragga

W swoich badaniach W. i L. Braggowie stwierdzili zjawisko tzw. selektywne-
go odbicia promieni

X od kryształów. Jeżeli na powierzchnię kryształu pada

pod niewielkim kątem θ wąska monochromatyczna wiązka promieni X, dla
określonych wartości tego kąta zachodzi „odbicie” wiązki od powierzchni
(rysunek 3.11). W rzeczywistości ma tu miejsce zjawisko dyfrakcji i interfe-
rencji promieni X, rozproszonych na poszczególnych atomach kryształu.

Wyprowadzimy teraz tzw. wzór Bragga, określający kąt padania promie-

ni X na kryształ, przy którym występuje maksimum natężenia rozproszo-
nego promieniowania (rys. 3.12). Promienie X wchodzą w głąb kryształu
praktycznie bez załamania i ulegają rozproszeniu na atomach sieci krysta-
licznej. Jeżeli długość fali promieniowania jest porównywalna z odległością
między najbliższymi atomami, interferencja fal rozproszonych na poszczegól-
nych atomach powoduje wytworzenie wiązek promieniowania, rozchodzących
się w określonych kierunkach, różnych od kierunku padania.

Kąty, dla których zachodzi wzmocnienie rozproszonych promieni, można

q

q

kryszta³

Rysunek 3.11:

70

KWANTOWA TEORIA PROMIENIOWANIA

q

powierzchnia
kryszta³u

d

q

q

A

C

D

B

1

2

q

Rysunek 3.12:

znaleźć na podstawie rysunku 3.12. Różnica dróg promieni 1 i 2 wynosi:

∆s = CB + BD.

(3.15)

Ponieważ, zgodnie z rysunkiem

CB = BD = d sin θ

(3.16)

(d — odległość najbliższych płaszczyzn, w których są ułożone atomy, rów-
noległych do powierzchni kryształu), więc:

∆s = 2d sin θ.

(3.17)

Wzmocnienie rozproszonych promieni 1 i 2 będzie zachodzić, gdy ich różnica
dróg będzie równa wielokrotności długości fali λ promieniowania

∆s = nλ, n = 1, 2, 3, . . . .

(3.18)

Otrzymujemy stąd wzór Bragga:

2d sin θ = nλ ,

(3.19)

gdzie liczba n określa rząd widma. Z rysunku widać, że w krysztale istnieje
nieskończenie wiele płaszczyzn, np. zaznaczonych liniami przerywanymi, dla
których promienie padające na kryształ mogą ulec w wyniku interferencji
wzmocnieniu. Na ogół jednak wiązka odbita od płaszczyzn zawierających
najwięcej atomów będzie miała największe natężenie. Znając odległość d
między płaszczyznami można na podstawie wzoru Bragga wyliczyć długość
λ fali promieniowania X i na odwrót — znając długość fali λ można obliczyć
odległość d. Współcześnie dyfrakcja promieni X jest szeroko stosowana w
badaniach struktury ciał stałych.

PROMIENIE ROENTGENA

71

3.2.3 Zjawisko Comptona

Badacze zajmujący się rozpraszaniem promieniowania X przez substancje
materialne zauważyli stosunkowo wcześnie, że w widmie rozproszonego pro-
mieniowania występuje, oprócz promieniowania o nie zmienionej długości
fali, również promieniowanie o większej długości fali, które jest silniej po-
chłaniane przez inne substancje. W latach 1922 - 23 A.H. Compton prze-
prowadził szczegółowe pomiary długości fal rozproszonego promieniowania.
Schemat doświadczenia Comptona ilustruje rysunek 3.13. Wiązka mono-
chromatycznego promieniowania X z lampy rentgenowskiej L pada na roz-
praszającą substancję S, złożoną z lekkich pierwiastków (parafina, grafit,
glin). Do pomiaru długości fali promieniowania, rozproszonego pod kątem
θ, wykorzystuje się zjawisko selektywnego odbicia promieni X od kryształu
Kr. Detektorem natężenia promieniowania X jest komora jonizacyjna J.

Zmierzone rozkłady natężeń rozproszonego promieniowania w funkcji

długości fali dla kilku kątów rozproszenia są pokazane na rysunku 3.14.
Długość fali rozproszonego promieniowania λ

0

jest większa od długości fa-

li padającego promieniowania λ, rośnie ze wzrostem kąta rozproszenia θ i
nie zależy od rodzaju ośrodka rozpraszającego. Dla wyjaśnienia tego zjawi-
ska Compton i równocześnie P. Debye wysunęli hipotezę, że fotony mają,
oprócz określonej energii E

f

, również określony pęd p

f

. Według nich, proces

rozproszenia promieni X polega na elastycznym zderzeniu fotonu z elektro-

L

pr. X

S

Kr.

J

q

Rysunek 3.13:

72

KWANTOWA TEORIA PROMIENIOWANIA

l

l’

natê¿enie rozproszonego promieniowania X

l’

q = 0

q > 0

q > q

1

2

1

d³ugoœæ fali

Rysunek 3.14:

nem, w którym spełnione są prawa zachowania pędu i energii. Z uwagi na
dużą energię fotonu promieniowania rentgenowskiego w porównaniu z ener-
gią kinetyczną i potencjalną elektronu w atomie można przy tym przyjąć,
że rozpraszanie fotonu zachodzi na spoczywającym elektronie swobodnym.
Ponieważ część energii E

f

= hc/λ padającego fotonu jest przekazywana

elektronowi, więc energia E

0

f

= hc/λ

0

rozproszonego fotonu jest mniejsza od

energii pierwotnego fotonu, E

0

f

< E

f

, skąd wynika, że λ

0

> λ.

Opis zjawiska Comptona wymaga znajomości niektórych wzorów szcze-

gólnej teorii względności. Zgodnie z nią, między pędem i energią fotonu
zachodzi związek

p

f

=

E

f

c

,

(3.20)

w którym c jest prędkością światła w próżni. Ponieważ energia fotonu wyraża
się wzorem

E

f

= hν =

hc

λ

,

(3.21)

PROMIENIE ROENTGENA

73

l, E , p

f

f

l ,

’ E’, p’

f

f

E , p

e

e

q

O

A

B

C

Rysunek 3.15:

więc pęd fotonu określa wzór

p

f

=

hν

c

(3.22)

lub wzór

p

f

=

h
λ

.

(3.23)

Proces rozpraszania Comptona jest przedstawiony schematycznie na ry-

sunku 3.15. Zasady zachowania pędu i energii wyrażają się równaniami

p

f

= p

f

0

+ p

e

,

(3.24)

E

f

= E

f

0

+ E

e

,

(3.25)

w których p

f

, p

f

0

i p

e

oraz E

f

, E

f

0

i E

e

są odpowiednio pędami oraz energia-

mi padającego fotonu i rozproszonego fotonu i elektronu. Zgodnie z równa-
niem (3.24) długość odcinka OB na rysunku 3.15 odpowiada pędowi pada-
jącego fotonu, OB = p

f

. Stosując do trójkąta OAB twierdzenie cosinusów,

zasadę zachowania pędu można zapisać jako

p

2
e

= p

2
f

+ p

f

02

− 2p

f

p

f

0

cos θ,

(3.26)

gdzie θ jest kątem rozproszenia fotonu. Natomiast zasadę zachowania energii
(3.25) możemy, uwzględniając zależność (3.20), wyrazić wzorem

E

e

= c(p

f

− p

f

0

).

(3.27)

Ponieważ rozproszony elektron uzyskuje prędkość zbliżoną do prędkości

światła, w dalszych obliczeniach trzeba korzystać ze związku między energią

74

KWANTOWA TEORIA PROMIENIOWANIA

i pędem elektronu, wynikającego z teorii względności,

E

e

= c

q

p

2

e

+ m

2

c

2

− mc

2

,

(3.28)

w którym m jest masą spoczywającego elektronu. Z porównania ostatnich
dwóch wzorów otrzymujemy

q

p

2
e

+ m

2

c

2

= p

f

− p

f

0

+ mc.

(3.29)

Podnosząc obie strony tego równania do kwadratu dostajemy równanie

p

2
e

= (p

f

− p

f

0

)

2

+ 2mc(p

f

− p

f

0

)

(3.30)

(składniki m

2

c

2

po lewej i prawej stronie się redukują), czyli

p

2
e

= p

2
f

+ p

f

02

− 2p

f

p

f

0

+ 2mc(p

f

− p

f

0

).

(3.31)

Porównując teraz ostatnie równanie z równaniem (3.26), po prostych prze-
kształceniach otrzymujemy

mc(p

f

− p

f

0

) = p

f

p

f

0

(1 − cos θ),

(3.32)

albo, po podzieleniu przez czynnik mcp

f

p

f

0

,

1

p

f

0

−

1

p

f

=

1

mc

(1 − cos θ).

(3.33)

Korzystając ze wzoru (3.23) dla pędu padającego fotonu i analogicznego
wzoru,

p

f

0

=

h

λ

0

,

(3.34)

dla pędu rozproszonego fotonu dostajemy wzór, określający zmianę długości
fali fotonu przy rozproszeniu Comptona,

λ

0

− λ =

h

mc

(1 − cos θ) .

(3.35)

Wzór ten zwykle zapisuje się w postaci

∆λ = Λ (1 − cos θ) ,

(3.36)

gdzie ∆λ = λ

0

− λ natomiast stała

Λ =

h

mc

,

(3.37)

PROMIENIE ROENTGENA

75

a)

b)

l

r.

n

r.

n

E , p

f

f

Rysunek 3.16:

nazywana komptonowską długością fali, ma wartość

Λ = 2, 426 · 10

−12

m.

(3.38)

Ze wzoru (3.36) widać, że wielkość ∆λ wzrasta od zera dla kąta rozproszenia
θ = 0 do wartości 2Λ dla θ = 180

◦

. Wzór ten bardzo dobrze zgadza się z

obserwowanymi zmianami długości fali promieniowania X przy rozpraszaniu
komptonowskim.

Omówione w tym rozdziale zjawiska dowodzą przekonywająco kwanto-

wej (korpuskularnej) natury promieniowania elektromagnetycznego. Z dru-
giej strony takie zjawiska jak dyfrakcja i interferencja promieniowania elek-
tromagnetycznego świadczą o jego falowym charakterze. Uważa się współ-
cześnie, że te dwa aspekty — korpuskularny i falowy — nie wykluczają
się wzajemnie, lecz się uzupełniają. Promieniowanie elektromagnetyczne, w
szczególności światło, posiada więc dwoistą, falowo – korpuskularną natu-
rę (rys. 3.16a, b). W miarę zmniejszania się długości fali promieniowania
jego falowe własności stają się coraz mniej widoczne — coraz trudniej jest
stwierdzić zjawiska dyfrakcji i interferencji. Natomiast jego korpuskularne
własności stają się coraz łatwiej zauważalne, ponieważ wzrasta energia i pęd
fotonów.

76

KWANTOWA TEORIA PROMIENIOWANIA