Lista pierwsza



Zadanie

1.1

Na podstawie warto±ci kilku pocz¡tkowych wyrazów podanych ci¡gów znale¹¢ ich wzory ogólne:

a) (a

n

) = (1;4;7;10;:::);

b) (b

n

) = (8;

,

4

p

2;4;

,

2

p

2;:::);

c) (c

n

) = (0;1;0;

,

1;0;1;0;

,

1;:::);

d) (d

n

) = (0;1;5;23;119;:::); e) (e

n

) = (0:7;0:77;0:777;0:7777;:::); f*) (f

n

) = (0;1;1;0;0;0;1;1;1;1;:::):



Zadanie

1.2

Dla podanych ci¡gów napisa¢ wzory okre±laj¡ce wskazane wyrazy tych ci¡gów:

a) a

n

=

n

p

n

2

+ 1, a

n

+1

; b) b

n

= 1

(2n)!, b

3

n

+2

; c) c

n

= 3

n

+ 3

n

+1

+ :::+ 3

2

n

, c

n

2

; d) d

n

= (n!)

n

+1

, d

3

n

:



Zadanie

1.3

Zbada¢, czy podane ci¡gi s¡ ograniczone z doªu, z góry, s¡ ograniczone:

a) a

n

=

p

n + 8

,

p

n + 3; b*) b

n

= n

n

n! ; c) c

n

= 2

n

,

3

n

;

d) d

n

= 1

4

1

+ 1 +

1

4

2

+ 2 +

1

4

3

+ 3 + ::: +

1

4

n

+ n; e) e

n

= 2

n

sin n2:



Zadanie

1.4

Zbada¢, czy podane ci¡gi s¡ monotoniczne od pewnego miejsca:

a) a

n

= n

2

,

49n

,

50;

b) b

n

= 3

n

+ (

,

2)

n

; c) c

n

= n

2

2

n

;

d) d

n

= 5

7

:::

(3 + 2n)

4

7

:::

(1 + 3n); e) e

n

= 2

n

+ 1

3

n

+ 1;

f) f

n

=

3

p

n

3

+ 2

,

n:



Zadanie

1.5

Korzystaj¡c z denicji granicy ci¡gu uzasadni¢ podane równo±ci:

a) lim

n

!1

3

,

n

n + 4 =

,

1;

b) lim

n

!1

log

2

(n+3) =

1

;

c) lim

n

!1

1

2

n

+ 5 = 0;

d) lim

n

!1

,

10

,

p

n

=

,1

; e*) lim

n

!1

E



3n + 1

n + 1



= 2:



Zadanie

1.6

Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic obliczy¢ podane granice ci¡gów:

a) lim

n

!1

n

3

+ 2n

2

+ 1

n

,

3n

3

;

b) lim

n

!1



p

n

2

+ 4n + 1

,

p

n

2

+ 2n



; c) lim

n

!1

p

n

3

+ 1

3

p

n

5

+ 1 + 1;

d) lim

n

!1

1 + 3 + :::+ (2n

,

1)

2 + 4 + :::+ 2n ;

e) lim

n

!1



q

n + 6

p

n + 1

,

p

n



;

f) lim

n

!1

1 + 12 +

1

2

2

+ ::: + 12

n

1 + 13 +

1

3

2

+ ::: + 13

n

;

g*) lim

n

!1

1 + 12 +

1

3 + :::+

1

n + 1

1 + 12 +

1

3 + ::: +

1

n

; h*) lim

n

!1

sin

p

n

2

+ 1:



Zadanie

1.7

Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach znale¹¢ podane granice:

a) lim

n

!1

2n + (

,

1)

n

3n + 2 ; b) lim

n

!1

n

r

3

n

+ 2

n

5

n

+ 4

n

; c) lim

n

!1

2n

2

+ sinn!

4n

2

,

3cosn

2

; d) lim

n

!1

E

,

n

p

2

E

,

n

p

3

;

e) lim

n

!1

n+1

p

2n + 3; f) lim

n

!1

n

p

3 + sinn; g) lim

n

!1

n+2

p

3

n

+ 4

n

+1

; h) lim

n

!1



1

n

2

+ 1 +

1

n

2

+ 2 + ::: +

1

n

2

+ n



;

i) lim

n

!1

n

p

1 + 5n

2

+ 3n

5

; j*) lim

n

!1



1

p

n

4

+ 1 +

2

p

n

4

+ 2 + ::: +

n

p

n

4

+ n



:

1

Lista druga



Zadanie

2.1

Korzystaj¡c z twierdzenia o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym uzasadni¢ zbie»no±¢ podanych ci¡gów:

a) a

n

= (n!)

2

(2n)!; b) b

n

= 1

n + 1 +

1

n + 2 + :::+

1

2n;

c) c

n

= n

3

10

n

;

d) d

n

= 1

4

1

+ 1! +

1

4

2

+ 2! + ::: +

1

4

n

+ n!;

e) e

n

=



1

,

1

2





1

,

1

2

n



:::



1

,

1

2

n



:

Obliczy¢ granice ci¡gów (a

n

) i (c

n

):



Zadanie

2.2

Korzystaj¡c z denicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podci¡gu obliczy¢ podane granice:

a) lim

n

!1



3n + 1

3n + 2



6

n

;

b) lim

n

!1



n

n + 1



n

;

c) lim

n

!1



1 + 1n



3

n

,2

;

d) lim

n

!1



n + 4

n + 3



5,2

n

; e) lim

n

!1



1 + (

,

1)

n

n



(,1)

n

n

; f) lim

n

!1



n

2

,

1

n

2



2

n

2

,3

:



Zadanie

2.3

Korzystaj¡c z twierdzenia o dwóch ci¡gach znale¹¢ granice:

a) lim

n

!1

,

n

5

,

10n

6

+1

; b) lim

n

!

1

(sinn

,

2) n

2

; c) lim

n

!

1

(3 + (

,

1)

n

)

n

;

d) lim

n

!1

7

n

+ 5

n

5

n

+ 3

n

;

e*) lim

n

!1

n

p

n!;

f*) lim

n

!1



1+ 12+

1

3+:::+

1

n



:



Zadanie

2.4

Korzystaj¡c z tabelki dziaªa« z symbolem

1

obliczy¢ podane granice:

a) a

n

= n

2

+ 1

n ;

b) b

n

=



n + 1

2n



n

;

c) c

n

=

1+12+:::+

1

2

n

1+3+:::+(2n

,

1);

d) d

n

=



n

2

+ 1

n



n

1,

n

;

e) e

n

= 1 + 2

n

,

3

n

;

f) f

n

=

n+1

n[ln(n+1)

,

ln n];

g) g

n

=

,

n

2

,

n+1

cos

1

n

; h) h

n

=



2n + 1

n



n

+1

; i) i

n

= sin

n

1

n:



Zadanie

2.5

Znale¹¢ zbiory punktów skupienia (wªa±ciwych i niewªa±ciwych) podanych ci¡gów:

a) x

n

= (

,

1)

n

;

b) y

n

= cos n3;

c) z

n

= 2

n

+ (

,

2)

n

;

d*) w

n

=

p

n

,

E

,

p

n

; e*) v

n

= (

,

1)E

,

n

2

+ 4

(

,

1)E

,

n

3

:



Zadanie

2.6

Znale¹¢ granice dolne i górne podanych ci¡gów:

a) x

n

= 2

,

(

,

1)

n

; b) y

n

=

h

1+(

,

1)

n

i

n; c) z

n

= sin n4; d) v

n

= (

,

5)

n

+1:

Lista trzecia



Zadanie

3.1

Korzystaj¡c z denicji Heinego granicy funkcji uzasadni¢ podane równo±ci:

a) lim

x

!1

,

3 + 2x

3

= 5; b) lim

x

!1

,

3

,

x

+ 1

= 1; c) lim

x

!1

,

5

,

x

7

=

,1

; d) lim

x

!

2

+

1

x

,

2 =

1

.

2



Zadanie

3.2

a) W ostrosªupie trójk¡tnym prawidªowym kraw¦d¹ podstawy ma dªugo±¢ b; a k¡t nachylenia kraw¦dzi bocznej do

podstawy ma miar¦ x, gdzie 0 < x < 2: Niech r(x) oznacza promie« kuli wpisanej w ten ostrosªup. Obliczy¢

granice lim

x

!0

+

r(x), lim

x

!



2

,

r(x): Czy mo»na poda¢ te granice nie wyznaczaj¡c funkcji r?

b) Cz¡stka pewnego ukªadu drgaj¡cego porusza si¦ po osi Ox: Poªo»enie tej cz¡stki w chwili t > 0 jest opisane wzorem

x(t) = 5

,

4

,3

t

cos(2t + 1): Znale¹¢ jej graniczne poªo»enie, gdy t

,

!

1

: Co oznacza otrzymany wynik?

c) Równanie ax

4

,

2x

,

8 = 0 ma dla parametru a > 0 dwa pierwiastki rzeczywiste x

1

(a), x

2

(a): Obliczy¢ granice

lim

a

!0

+

x

1

(a), lim

a

!0

+

x

2

(a), lim

a

!1

x

1

(a), lim

a

!1

x

2

(a).

Wskazówka. Narysowa¢ wykresy funkcji

y

=

ax

4

oraz

y

= 2

x

+ 8

:

Nast¦pnie zbada¢ poªo»enie punktów wspólnych obu

wykresów, gdy

a

!

0

+

oraz, gdy

a

!

1:



Zadanie

3.3

Uzasadni¢, »e podane granice funkcji nie istniej¡:

a) lim

x

!1

sin

p

x; b) lim

x

!



1

sinx; c) lim

x

!1

2

E

(

x

)

2

x

; d) lim

x

!0

cos 1x

2

; e) lim

x

!0

sgnx

sgn(x + 1):



Zadanie

3.4

Zbada¢, obliczaj¡c granice jednostronne, czy istniej¡ podane granice:

a) lim

x

!1

j

x

,

1

j

3

x

3

,

x

2

; b) lim

x

!,1

sgn



x

,

1

,

x

2



; c) lim

x

!



2

cos

2

x

,

sin

2

x







x

,



2







; d) lim

x

!0

E(x)

x :



Zadanie

3.5

Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic obliczy¢ podane granice:

a) lim

x

!0

p

1 + x

,

p

1

,

x

2x

; b) lim

x

!1

x

6

,

1

1

,

x

2

;

c) lim

x

!6

p

x

,

2

,

2

x

,

6 ;

d) lim

x

!1

x

2

,

5x + 4

x(x

,

5) ;

e) lim

x

!0

sin

2

x

1

,

cos x; f) lim

x

!



2



tgx

,

1

cosx



:



Zadanie

3.6

Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadni¢ podane równo±ci:

a) lim

x

!0

+

p

xcos 1x

2

= 0; b) lim

x

!1

2+sin x

x

2

= 0; c) lim

x

!,1

e

x

+sin

2

x

= 0;

d) lim

x

!1

E (3e

x

)+2

E (2e

x

)+1 =

3

2; e) lim

x

!0

x

3

E



1

x



= 0; f) lim

x

!1



sin



x+ 1x



,

sinx



= 0:



Zadanie

3.7

Korzystaj¡c z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadni¢ podane równo±ci:

a) lim

x

!1

,

x

5

,

3x

3

sinx

=

1

; b) lim

x

!0

+

1

2x

,

sinx =

1

:



Zadanie

3.8

Korzystaj¡c z granic podstawowych wyra»e« nieoznaczonych obliczy¢ podane granice:

a) lim

x

!



2

cos5x

cos3x;

b) lim

x

!0

e

3

x

,

1

sin2x ;

c) lim

x

!0

sin x2

sin x3

;

d) lim

x

!1

tg 1x

tg 2x

;

e) lim

x

!0

sinx

3

sinx

7

sinx

4

sinx

6

;

f) lim

x

!0

,

tg 3x

x

3

;

g) lim

x

!



2

,

tg x

tg5x;

h) lim

x

!0

cos 3x

,

cos7x

x

2

;

i*) lim

x

!1

ln

,

2 + e

3

x

ln(3 + e

2

x

) ; j) lim

x

!1



1 + 1

x + 2



2

x

,1

; k) lim

x

!0

ln(1 +

3

p

x)

x

; l*) lim

x

!

e

lnx

3

,

3

x

,

e :



Zadanie

3.9

Znale¹¢ asymptoty pionowe i uko±ne podanych funkcji:

3

a) f(x) =

p

1 + x

2

x ; b) g(x) =

x

3

(x + 1)

2

; c) h(x) = x

,

arctg x;

d) p(x) = 1

e

x

,

1;

e) q(x) = 1

,

x

2

x + 1 ;

f) r(x) = sin

2

x

x

3

:



Zadanie

3.10

Narysowa¢ wykresy funkcji speªniaj¡cych wszystkie podane warunki:

a) lim

x

!,1

f(x) = 0; lim

x

!1

f(x) = 3; lim

x

!1

f(x) =

,1

;

b) lim

x

!,1

g(x) =

1

; lim

x

!0

,

g(x) =

,1

; lim

x

!0

+

g(x) = 1; lim

x

!1

g(x) = 5;

c) lim

x

!,1

h(x) =

,

4; lim

x

!,1

h(x) =

1

; lim

x

!1

h(x) = 4;

d) lim

x

!1

p(x) =

1

; lim

x

!2

p(x) = 0; funkcja p jest okresowa i ma okres T = 3;

e) lim

x

!,1

q(x) = 4; lim

x

!1

q(x) =

1

; funkcja q jest nieparzysta;

f) lim

x

!0

,

r(x) =

1

, lim

x

!1

[r(x)

,

x] =

,

1, funkcja r jest parzysta.

Lista czwarta



Zadanie

4.1

Korzystaj¡c z denicji Heinego uzasadni¢ ci¡gªo±¢ podanych funkcji na

R

:

a) f(x) = 2x

,

5; b) g(x) = sinx; c) h(x) =

3

p

x; d) p(x) = e

x

.



Zadanie

4.2

Okre±li¢ zbiory punktów ci¡gªo±ci podanych funkcji:

a) f(x) =

(

1

dla x = k; k

2

Z

;

x

sinx dla x

6

= k; k

2

Z

;

b) h(x) = E(x)(x

,

1);

c) g(x) =

(

0

dla x

¬

0;

p

xcos 1x

2

dla x > 0;

d) p(x) = sgn

,

x

2

cos 2x:



Zadanie

4.3

Dobra¢ parametry a;b

2

R

tak, aby podane funkcje byªy ci¡gªe we wskazanych punktach:

a) f(x) =

(

bx dla x < ;

sinx

ax dla x

­

;

b) g(x) =



bx + 3

dla x < 1;

2x

2

+ x + a dla x

­

1;

x

0

= ;

x

0

= 1;

c) p(x) =

8

<

:

(x

,

1)

3

dla x

¬

0;

ax + b dla 0 < x < 1;

p

x

dla x

­

1;

d) q(x) =



x

dla

j

x

j

¬

1;

x

2

+ ax + b dla

j

x

j

> 1;

x

1

= 0; x

2

= 1;

x

1

=

,

1; x

2

= 1:



Zadanie

4.4

Zbada¢ ci¡gªo±¢ podanych funkcji na wskazanych zbiorach:

a) f(x) = x

j

x

j

+ 1;

R

; b) g(x) =

1

p

x

2

,

x; (

,1

;0):



Zadanie

4.5

Okre±li¢ rodzaje nieci¡gªo±ci podanych funkcji we wskazanych punktach:

a) g(x) = sgn



x(x

,

1)



; x

0

= 1;

b) r(x) =

8

<

:

xarctg 1x dla x

6

= 0;



2

dla x = 0;

x

0

= 0;

c) p(x) =

8

<

:

xE



1

x



dla x

6

= 0;

0

dla x = 0;

d) q(x) =

(

1

,

cos 1x dla x

6

= 0;

0

dla x = 0;

x

0

= 0;

x

0

= 0:

4



Zadanie*

4.6

Niech f : [a;

1

)

,

!

R

b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡, która ma granic¦ wªa±ciw¡ lim

x

!1

f(x): Pokaza¢, »e funkcja f jest ograni-

czona na [a;

1

):

Wsk

azó

wk

a.

Wykorzysta¢ denicj¦ Cauchy'ego granicy funkcji w

1:



Zadanie

4.7

a) Uzasadni¢, »e funkcja f(x) = lnx+x

2

,

2 w przedziale [e;] przyjmuje warto±¢ 7: Czy funkcja f przyjmuje w tym

przedziale warto±¢ najwi¦ksz¡?

b) Samochód wyruszyª z Wrocªawia o godz. 8:00 i jad¡c ze zmienn¡ szybko±ci¡ dotarª do Warszawy o godz. 12:00.

O godz. 8:00 nast¦pnego dnia samochód wyruszyª z powrotem i jad¡c po tej samej drodze wróciª do Wrocªawia o

godz. 12:00. Korzystaj¡c z twierdzenia Darboux uzasadni¢, »e jest takie miejsce na tej drodze, w którym samochód

byª o tej samej godzinie zarówno jad¡c do Warszawy jak i wracaj¡c z powrotem.

c*) Uzasadni¢, »e na Ziemi s¡ dwa miejsca poªo»one symetrycznie wzgl¦dem jej ±rodka, w których panuje ta sama

temperatura.

d*) Udowodni¢, »e dowolny wielok¡t wypukªy mo»na podzieli¢ dwiema prostopadªymi do siebie prostymi na cztery

cz¦±ci o jednakowych polach.



Zadanie

4.8

Uzasadni¢, »e podane równania maj¡ rozwi¡zania we wskazanych przedziaªach:

a) 1 = sinx

2 + x;



0; 2



; b) arctg x = 1x

2

;



1

p

3;

p

3



; c) 3

x

+ x = 3; (0;1);

d) lnx + 2x = 1;



1

2;1



; e) 2x

,

sinx = 0;





4;

3

4



; f) x2

x

= 1; (0;

1

):



Zadanie

4.9

Uzasadni¢, »e równanie x

4

+ x = 5 ma dokªadnie jeden pierwiastek dodatni. Obliczy¢ na kalkulatorze ten pierwiastek

z dokªadno±ci¡ 0:05:

Wskazówka. Dzieli¢ na poªowy kolejne przedziaªy, w których jest ten pierwiastek.

Lista pi¡ta



Zadanie

5.1

Korzystaj¡c z denicji zbada¢ czy istniej¡ pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

a) f(x) =

(

x

2

arctg 1x dla x

6

= 0;

0

dla x = 0;

b) g(x) =



x

2

dla x

¬

1;

p

x dla x > 1;

x

0

= 0;

x

0

= 1;

c) h(x) =

8

<

:

j

x + 1

j

ln

j

x + 1

j

dla x

6

=

,

1;

0

dla x =

,

1;

d*) p(x) =



e

x

dla x

2

Q

;

x dla x

62

Q

;

x

0

=

,

1;

x

0

= 0:



Zadanie

5.2

Korzystaj¡c z denicji obliczy¢ pochodne podanych funkcji:

a) f(x) = x

2

,

3x, gdzie x

2

R

; b) g(x) = 1

3

p

x; gdzie x

6

= 0;

c) h(x) = 4

x

, gdzie x

2

R

;

d) p(x) = sin 1x; gdzie x

6

= 0;

e) q(x) = ctg x; gdzie x

6

= k dla k

2

Z

:



Zadanie

5.3

Badaj¡c pochodne jednostronne rozstrzygn¡¢ czy, istniej¡ pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

5

a) f(x) =





x

5





; x

0

= 0;

b) g(x) =

8

<

:

p

x

,

1 dla x

­

1;

1

2x

2

,

1

2x dla x < 1;

x

0

= 1;

c) h(x) =

j

sinx

j

; x

0

= ; d) k(x) =

(

3

p

xcos 1x dla x

6

= 0;

0

dla x = 0;

x

0

= 0.



Zadanie

5.4

Zbada¢, czy podane funkcje maj¡ pochodne niewªa±ciwe w punkcie x

0

= 0:

a) f(x) =

q

j

x

j

+

p

j

x

j

; b) g(x) =

3

p

sinx; c*) h(x) =



j

x

j

x

dla x

6

= 0

1 dla x = 0 :



Zadanie

5.5

Korzystaj¡c z reguª obliczania pochodnych obliczy¢ pochodne podanych funkcji:

a) y = arcsinx

e

x

; b) y =

,

1 +

4

p

x

tg

,

p

x

; c) y =

x

p

x; d) y = 2

sin

2

x

3

cos

2

x

:



Zadanie

5.6

Korzystaj¡c z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczy¢ x

0

(y); je»eli:

a) y = 13

x

; gdzie x

2

R

; b) y = cosx; gdzie 0 < x < ; c*) y = th x; gdzie x

2

R

:



Zadanie

5.7

Zakªadaj¡c, »e funkcje f i g maj¡ pochodne wªa±ciwe, obliczy¢ pochodne funkcji:

a) y = [f(x)]

g

(

x

)

; b) y = tg f(x)

g(x); c) y = f(x)arctg g(x)



Zadanie

5.8

Napisa¢ równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:

a) f(x) = 2x

1 + x

2

;



p

2;f



p

2





; b) f(x) = arctg x

2

; (0;f(0)); c) f(x) =

x

p

x; (e;f(e));

d) f(x) = e

x

x + 1; (1;f(1));

e) f(x) = lnx

x ; (e;f(e));

f) f(x) = arctg 1

,

x

1 + x; (1;f(1)):



Zadanie

5.9

Obliczy¢ k¡ty, pod jakimi przecinaj¡ si¦ wykresy podanych funkcji:

a) f(x) = x

2

, g(x) =

3

p

x, x > 0; b) f(x) = 4

,

x, g(x) = 4

,

x

2

2 , x > 0;

c) Dla jakich warto±ci parametru a

2

R

; wykresy funkcji y = e

ax

, y = e

,

x

przetn¡ si¦ pod k¡tem prostym?



Zadanie

5.10

a) Tory kolejowe biegn¡ce równolegle do siebie trzeba poª¡czy¢ rozjazdem skªadaj¡cym si¦ z dwóch ªuków parabol

(rysunek). Odlegªo±¢ mi¦dzy osiami torów wynosi d = 8 m, a rozjazd ma mie¢ dªugo±¢ l = 40 m. Nale»y go

zaprojektowa¢ w ten sposób, aby ruch poci¡gów przebiegaª w sposób gªadki, tzn. aby w punktach A, B, C istniaªy

styczne do osi rozjazdu. Poda¢ równania ªuków parabol w ukªadzie wspóªrz¦dnych z rysunku.

6

-

r

r

r



-

6

?

y

A

l

B

C

d

x

o"s

toru

2

o"s

toru

1

A

A

A

U











"luki

parab ol

b) Punkt materialny porusza si¦ po prostej x = 32 w kierunku osi Oy: Wyznaczy¢ tor tego punktu po odbiciu

spr¦»ystym (k¡t padania równa si¦ k¡towi odbicia) od paraboli o równaniu y = 2

,

x

2

2 :

6



Zadanie

5.11

Gumowy balon ma ksztaªt kuli o obj¦to±ci V

0

= 40 m

3

: Do balonu wtªacza si¦ powietrze z szybko±ci¡ p = 1 m

3

=s:

Obliczy¢, z jak¡ szybko±ci¡ powi¦ksza¢ si¦ b¦dzie ±rednica balonu po 24 sek. Zaªo»y¢, »e ci±nienie powietrza w balonie

jest staªe.



Zadanie*

5.12

Funkcja f ma pochodn¡ w punkcie 0 oraz f(0) > 0: Obliczy¢ granic¦

lim

n

!1

0

B

B

@

f



1

n



f(0)

1

C

C

A

n

:

Lista szósta



Zadanie

6.1

Korzystaj¡c z ró»niczki funkcji obliczy¢ przybli»one warto±ci podanych wyra»e«:

a) 1

p

3:98; b) tg44



55

0

; c) arcsin0:51; d) e

,0

:

07

; e) ln0:9993:



Zadanie

6.2

a) ‘rednica kuli zmierzona z dokªadno±ci¡ 0.1 mm wynosi 21,7 mm.Z jak¡ w przybli»eniu dokªadno±ci¡ mo»na obliczy¢

obj¦to±¢ tej kuli?

b) Kraw¦d¹ sze±cianu zmierzono z dokªadno±ci¡ 1 mm i otrzymano 10.0 cm. Z jak¡ w przybli»eniu dokªadno±ci¡ mo»na

obliczy¢ obj¦to±¢ tego sze±cianu?

c) Przek¡tna sze±cianu zmierzona z dokªadno±ci¡ 1 mm wynosi 14.3 cm. Z jak¡ w przybli»eniu dokªadno±ci¡ mo»na

obliczy¢ pole powierzchni caªkowitej tego sze±cianu?

d) W biegu na 100 m czas mierzy si¦ z dokªadno±ci¡ 0.01 sek. Z jak¡ w przybli»eniu dokªadno±ci¡ mo»na obliczy¢

±redni¡ szybko±¢ zawodniczki, je±li uzyskaªa ona czas 12.50 sek.?

e) Prawa strona równania x + 1

x

,

1 = 3:000 jest podana z dokªadno±ci¡ 0:002: Z jak¡ w przybli»eniu dokªadno±ci¡ mo»na

obliczy¢ pierwiastek tego równania?



Zadanie

6.3

Obliczy¢ pochodne f

0

, f

00

, f

000

dla podanych funkcji:

a) f(x) = 4x

7

,

5x

3

+ 2x; b) f(x) = sin

3

x + cos

3

x; c) f(x) = x

3

lnx; d) f(x) = ch

2

x + sh2x:



Zadanie

6.4

Zbada¢, czy istnieje f

(

n

)

(x

0

) dla podanych funkcji i punktów:

a) f(x) =



,

x

2

dla x < 0;

x

3

dla x

­

0; b) f(x) =

(

x

4

arctg 1x dla x

6

= 0;

0

dla x = 0;

x

0

= 0; n = 2;

x

0

= 0; n = 3:



Zadanie

6.5

Funkcja f ma pochodne do drugiego rz¦du wª¡cznie. Obliczy¢ y

0

;y

00

dla podanych funkcji:

a) y = f

,

p

x

; b) y = f (3

x

); c) y = f(sin x); d) y = f(arctg x):



Zadanie

6.6

Znale¹¢ wzory ogólne na pochodn¡ n

,

tego rz¦du podanych funkcji:

a) f(x) = cos x3; b) g(x) = 2

,

x

; c) h(x) = xe

x

; d*) p(x) = tgx:

7



Zadanie

6.7

Punkt materialny porusza si¦ ze zmienn¡ szybko±ci¡ wzdªu» osi Ox: Poªo»enie

tego punktu w chwili t jest opisane wzorem x(t) = 3

2

t

+ 2

,3

t

: Obliczy¢

przy±pieszenie punktu w chwili, w której jego szybko±¢ jest równa 0:



Zadanie

6.8

Stacja orbitalna porusza si¦ prostoliniowo na wysoko±ci h = 400 km nad Zie-

mi¡ z szybko±ci¡ v = 500 km/godz. Antena odbieraj¡ca sygnaªy znajduje si¦

bezpo±rednio pod trajektori¡ stacji (rysunek). W ka»dej chwili o± anteny jest

skierowana na stacj¦. Obliczy¢ szybko±¢ k¡tow¡ anteny w chwili, gdy stacja

znajdzie si¦ w odlegªo±ci d = 200 km od anteny.



-

@

@

@

r

,

,

,

,

,

,

,

"

"

"

"

"

"

"

"

"

"

r

-

?

6



d

h

v



R

Lista siódma



Zadanie

7.1

Sprawdzi¢, czy podane funkcje speªniaj¡ zaªo»enia twierdzenia Rolle'a na przedziale [

,

1;1]: Narysowa¢ wykresy tych

funkcji.

a) f(x) = sinx; b) g(x) =

p

j

x

j

,

1; c) h(x) = 4

,

arctg

j

x

j

:



Zadanie

7.2

Zastosowa¢ twierdzenie Lagrange'a do funkcji f(x) = arctgx na przedziale [

,

1;

p

3]: Wyznaczy¢ odpowiednie punkty.



Zadanie

7.3

Korzystaj¡c z twierdzenia Lagrange'a uzasadni¢ podane nierówno±ci:

a) n(b

,

a)a

n

,1

< b

n

,

a

n

< n(b

,

a)b

n

,1

dla 0 < a < b oraz n

2

N

n

f

1

g

;

b) e

x

> ex dla x > 1; c) x

¬

arcsin x

¬

x

p

1

,

x

2

dla 0

¬

x < 1:



Zadanie

7.4

Znale¹¢ przedziaªy monotoniczno±ci podanych funkcji:

a) f(x) = x

3

,

30x

2

+ 225x + 1; b) g(x) = xe

,3

x

; c) h(x) = x

3

3

,

x

2

;

d) p(x) = x

lnx;

e) q(x) = 4x + 1x; f) r(x) =

1

xlnx:



Zadanie

7.5

Narysowa¢ wykresy funkcji f :

R

,

!

R

; które speªniaj¡ wszystkie podane warunki:

a) f

0

(x) > 0 dla ka»dego x

2

R

, lim

x

!1

f

0

(x) = 0;

b) f

0

(x) < 0 dla ka»dego x < 1, f

0

(x) > 0 dla ka»dego x > 1, f

0

(1) nie istnieje;

c) f

0

,

(0) =

,

1, f

0

+

(0) =

1

, lim

x

!1

f

0

(x) =

1

;

d) f

0

(x) < 0 dla ka»dego x

2

R

n

f,

2

g

, f

0

(

,

2) = 0:

Na rysunkach zaznaczy¢ fragmenty wykresów, które speªniaj¡ poszczególne warunki.



Zadanie

7.6

Uzasadni¢ podane to»samo±ci:

a) arctgx = 4

,

arctg 1

,

x

1 + x dla ka»dego x

2

(

,

1;

1

); b) arcsin x = arctg x

p

1

,

x

2

dla ka»dego x

2

(

,

1;1):

8



Zadanie

7.7

Korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala obliczy¢ podane granice:

a) lim

x

!0

x

,

arctgx

x

2

;

b) lim

x

!1

x

10

,

10x + 9

x

5

,

5x + 4 ; c) lim

x

!0

+

xlnx;

d) lim

x

!0

,



1

x

,

ctg x



; e) lim

x

!0

lncos x

lncos3x;

f) lim

x

!1



2

 arctgx



x

; g) lim

x

!0

+

(1 + x)

ln

x

;

h) lim

x

!0

+



1

x



sin

x

; i) lim

x

!1

x

x

,

1

lnx :



Zadanie

7.8

Obliczy¢ podane granice. Czy mo»na tu zastosowa¢ reguª¦ de L'Hospitala?

a) lim

x

!0

x

3

sin

1

x

sin

2

x ; b) lim

x

!,1

x + cos3x

x

,

cos2x:



Zadanie

7.9

Napisa¢ wzory Taylora z reszt¡ Lagrange'a dla podanych funkcji f, punktów x

0

oraz n :

a) f(x) = 1x, x

0

= 2, n = 3;

b) f(x) = e

cos

x

, x

0

= 2, n = 2;

c) f(x) = chx, x

0

= ln2, n = 3; d) f(x) =

5

p

1 + x, x

0

=

,

2, n = 3:



Zadanie

7.10

Napisa¢ wzór Maclaurina dla podanej funkcji ze wskazan¡ reszt¡:

a) f(x) = xe

x

, R

n

; b) f(x) = e

tg

x

, R

2

:

Lista ósma



Zadanie

8.1

Oszacowa¢ dokªadno±ci podanych wzorów przybli»onych na wskazanych przedziaªach:

a) sinx



x

,

x

3

6 +

x

5

120,

j

x

j

¬

1; b) sin

2

x



x

2

,

j

x

j

¬

1

10;

c)

p

1 + x



1 + x2

,

x

2

8 ,

j

x

j

¬

1

4; d)

3

p

1 + x



1 + x3, 0 < x <

1

10.



Zadanie

8.2

Stosuj¡c wzór Maclaurina obliczy¢:

a) ln1;1 z dokªadno±ci¡ 10

,4

; b) 1

3

p

e z dokªadno±ci¡ 10

,3

:



Zadanie

8.3

Korzystaj¡c z denicji uzasadni¢, »e podane funkcje maj¡ ekstrema lokalne we wskazanych punktach:

a) f(x) = 2

,

2

j

x + 5

j

; x

0

=

,

5;

b) g(x) = x

20

,

3; x

0

= 0;

c) h(x) =



x + 2 dla x

6

= 1;

2

dla x = 1; x

0

= 1; d) p(x) =

5

p

x

2

; x

0

= 0:



Zadanie

8.4

Znale¹¢ wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:

a) f(x) = 1

x

2

,

x;

b) g(x) = x

3

,

4x

2

; c) h(x) = 2sinx + cos2x;

d) p(x) = (x

,

5)e

x

; e) q(x) = (x + 3)

3

(x + 1)

2

; f) z(x) = x

2

e

1

x

.



Zadanie

8.5

Znale¹¢ warto±ci najmniejsze i najwi¦ksze podanych funkcji na wskazanych przedziaªach:

a) f(x) = 2x

3

,

3x

2

,

36x

,

8; [

,

3;6]; b) g(x) = x

,

2

p

x; [0;5];

c) h(x) = 2sinx + sin2x;



0; 32



;

d) p(x) = (x

,

3)

2

e

j

x

j

; [

,

1;4]:

9



Zadanie

8.6

Okre±li¢ przedziaªy wypukªo±ci oraz punkty przegi¦cia podanych funkcji:

a) f(x) = 1

1

,

x

2

; b) g(x) = cosx; c) h(x) = tg x; d) p(x) = e

arctg

x

.

Lista dziewi¡ta



Zadanie

9.1

Zbada¢ przebieg zmienno±ci podanych funkcji i nast¦pnie sporz¡dzi¢ ich wykresy:

a) f(x) = (x

,

1)

2

(x + 2); b) g(x) = x

3

x

,

1; c) h(x) =

x

lnx;

d) p(x) = x

p

1

,

x

2

;

e) q(x) = x

2

e

,

x

; f) r(x) = sinx

,

sin

2

x.



Zadanie

9.2

Z prostok¡tnego kawaªka blachy o szeroko±ci a nale»y wygi¡¢ rynn¦ o przekroju prostok¡tnym w ten sposób, aby mogªo

ni¡ spªywa¢ mo»liwie najwi¦cej wody (rysunek). Znale¹¢ wymiary przekroju takiej rynny.

6

?

6

?

6

?

x
y

y

a

6

?



Zadanie

9.3

Pocisk wylatuje z dziaªa z szybko±ci¡ v

0

: Pod jakim k¡tem powinna by¢ nachylona o± lufy, aby zasi¦g pocisku byª

najwi¦kszy (rysunek)? Nie uwzgl¦dnia¢ oporu powietrza.

mu

"

"

"

T

T

T

T

"

"

q











3

-



v

0



l

?

I



Zadanie

9.4

Ekran kinowy o szeroko±ci a = 8 m jest zawieszony na wysoko±ci

h = 12 m (rysunek). W jakiej odlegªo±ci od ekranu powinien usi¡±¢

widz, aby ogl¡da¢ ekran pod najwi¦kszym k¡tem? Zaªo»y¢, »e oczy

widza znajduj¡ si¦ na wysoko±ci b = 1:5 m nad podªog¡, a widz siedzi

w ±rodku rz¦du.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

s

6

?

6

?

-



6

?

h

a

x

b



widz

?





Zadanie

9.5

Wspóªczynnik tarcia skrzyni o masie m = 100kg o podªog¦ wynosi

 = 0:7 (rysunek). Pod jakim k¡tem  nale»y ci¡gn¡¢ skrzyni¦, aby

siªa F =

~

F

potrzebna do jej ruszenia byªa najmniejsza?

q









>

?

~

F



m

~

g

?

I



Zadanie

9.6

Pola siªowe chroni¡ce stacje badawcze na Marsie maj¡ksztaªt póªsfery

o promieniu R = 50 m (rysunek). Znale¹¢ wymiary stacji badawczej w

ksztaªcie walca o najwi¦kszej mo»liwej obj¦to±ci, któr¡ mo»na chroni¢

tym polem.

q

pole si"lowe

stacja

badawcza

J

J

J

^

Z

Z

Z

Z

Z

Z

}

R

-



6

?

r

h

10



Zadanie

9.7

Pewn¡ substancj¦ o ustalonej obj¦to±ci przechowuje si¦ w kopcach w ksztaªcie sto»ka. Jaki powinien by¢ k¡t nachy-

lenia tworz¡cej sto»ka do podstawy, aby powierzchnia parowania tej substancji (tj. powierzchnia boczna sto»ka) byªa

najmniejsza?



Zadanie

9.8

Prostopadªo±cienny pokój ma wymiary: dªugo±¢ a = 6 m, szeroko±¢ b = 4 m, wysoko±¢ h = 3 m. W jakiej odlegªo±ci

od ±rodka sutu nale»y zawiesi¢ lamp¦, aby o±wietlenie pokoju w najciemniejszym miejscu (tj. w rogu przy podªodze)

byªo najwi¦ksze?

Uwaga. Nat¦»enie ±wiatªa w punkcie poªo»onym w odlegªo±ci

r

od ¹ródªa ±wiatªa wyra»a si¦ wzorem

I

=

k

cos



r

2

;

gdzie



oznacza

k¡t padania promieni (rysunek), a

k

jest wspóªczynnikiem zale»nym od ¹ródªa ±wiatªa.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

qe

6

?

,

,



,

,

-



6

?

x

b

a

h

@

@

@

r

r 

-

,

,





P

P

B

B







Zadanie

9.9

Odlegªy ukªad planetarny skªada si¦ z gwiazdy i dwóch planet. Planeta Alfa

obiega gwiazd¦ w odlegªo±ci R

1

= 3;000;000 km w ci¡gu t

1

= 3 lat ziem-

skich, a planeta Omega w odlegªo±ci R

2

= 5;000;000 km w ci¡gu t

2

= 4 lat.

Obie planety poruszaj¡ si¦ ze staªymi pr¦dko±ciami w tym samym kierunku

i w tej samej pªaszczy¹nie. Poªo»enie planet 1 stycznia 1998 r. przedstawiono

na rysunku. Kiedy b¦dzie najdogodniejszy moment do obserwacji planety

Alfa z planety Omega, tzn. kiedy odlegªo±¢ mi¦dzy planetami b¦dzie naj-

mniejsza?

s

s

6

?

j



-

-

Omega

Gwiazda

Alfa

R

2

R

1

R

1



Zadanie*

9.10

Do kotªa w ksztaªcie póªsfery o promieniu R wªo»ono jednorodny pr¦t o

dªugo±ci l = 3R: Okre±li¢ poªo»enie równowagi pr¦ta (nie uwzgl¦dnia¢ tarcia

pr¦ta o kocioª).

Wskazówka. Pr¦t b¦dzie w poªo»eniu równowagi, gdy jego ±rodek masy

C

zajmie

najni»sze poªo»enie.















A

A

A

A

A

A

A

s



-

2

R

C

l

*



Lista dziesi¡ta



Zadanie

10.1

Obliczy¢ podane caªki nieoznaczone:

a)

Z

x

3

+

3

p

x

2

,

1

p

x

dx; b)

Z

2

x

,

5

x

10

x

dx; c)

Z

tg

2

x dx; d)

Z

e

,2

x

,

4

e

,

x

+ 2 dx:



Zadanie

10.2

Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez cz¦±ci obliczy¢ caªki nieoznaczone:

a)

Z

x

2

sinxdx; b)

Z

e

2

x

sinxdx; c)

Z

xlnxdx;

d)

Z

xdx

cos

2

x;

e)

Z

arccos xdx;

f)

Z

xe

,3

x

dx;

g)

Z

log

3

xdx;

h*)

Z

arccos

2

xdx; i*)

Z

xsin

2

xdx:



Zadanie

10.3

Stosuj¡c odpowiednie podstawienia obliczy¢ podane caªki nieoznaczone:

11

a)

Z

(5

,

3x)

10

dx; b)

Z

dx

p

1

,

4x

2

; c)

Z

x

2

5

p

5x

3

+1dx; d)

Z

dx

2 +

p

x;

e)

Z

lnx

x dx;

f)

Z

x

3

dx

x + 1;

g)

Z

e

x

dx

e

2

x

+ 1;

h)

Z

5sinxdx

3

,

2cos x;

i)

Z

sin

3

xdx;

j)

Z

dx

p

4x

,

x

2

; k)

Z

x

3

dx

(x

,

1)

100

:



Zadanie

10.4

Obliczy¢ podane caªki nieoznaczone:

a)

Z





1

,

x

2





dx; x

2

R

; b)

Z

e

j

x

j

dx; x

2

R

; c)

Z

j

cosx

j

dx; x

2

[0;]:

Lista jedenasta



Zadanie

11.1

Obliczy¢ podane caªki z funkcji wymiernych:

a)

Z

dx

x

2

+ 2x + 8; b)

Z

2dx

x

2

+ 6x + 18; c)

Z

(5

,

4x)dx

x

2

,

4x + 20;

d)

Z

x

2

dx

x

2

+ 2x + 5;

e)

Z

x(x + 2)dx

x

2

+ 2x + 2; f)

Z

dx

x(x

2

+ 4);

g)

Z

x dx

(x

,

1)(x + 2)(x + 3); h)

Z

2x

4

+ 5x

2

,

2

2x

3

,

x

,

1 dx;

i)

Z

dx

x

3

,

4x;

j)

Z

x dx

1

,

x

4

;

k)

Z

dx

(x

,

2)

2

(x + 3)

3

;

l)

Z

dx

x

8

+ x

6

:



Zadanie

11.2

Obliczy¢ podane caªki z funkcji trygonometrycznych:

a)

Z

dx

cos x;

b)

Z

dx

sinx + cosx; c)

Z

dx

3sinx + 4cosx + 5;

d)

Z

cos

4

xdx; e)

Z

dx

sinxcos

2

x;

f)

Z

sinxsin3xdx:



Zadanie

11.3

Obliczy¢ podane caªki z funkcji niewymiernych:

a)

Z

x

2

dx

p

4

,

x

2

; b)

Z

x

3

dx

p

25 + x

2

; c)

Z

p

x

2

,

36dx:

Lista dwunasta



Zadanie

12.1

Korzystaj¡c z denicji oraz z faktu, »e funkcje ci¡gªe s¡ caªkowalne obliczy¢ podane caªki oznaczone:

a)

3

Z

2

x

2

dx; b)

2

Z

,1

e

x

dx; c)



2

Z

0

cos xdx:

Wskazówka. Ad a). Zastosowa¢ wzory

1 + 2 +

:

:

:

+

n

=

n

(

n

+ 1)

2 ,

1

2

+ 2

2

+

:

:

:

+

n

2

=

n

(

n

+ 1)(2

n

+ 1)

6

;

Ad b). Zastosowa¢ wzór na sum¦ ci¡gu geometrycznego

a

+

aq

+

:

:

:

+

aq

n,

1

=

a

1

,

q

n

1

,

q

oraz wykorzysta¢ równo±¢ lim

h!

0

e

h

,

1

h

= 1;

Ad c). Zastosowa¢ wzór

cos



+ cos 2



+

:

:

:

+ cos

n

= cos

(

n

+1)



2

sin

n

2

sin



2

:

12



Zadanie

12.2

Korzystaj¡c z denicji caªki oznaczonej uzasadni¢ podane równo±ci:

a) lim

n

!

1

1

3

+ 2

3

+ ::: + n

3

n

4

= 14;

b) lim

n

!

1



1

n



cos 2n +cos

2

2n + :::+ cos

n

2n



= 2;

c) lim

n

!

1



1

3n + 1 +

1

3n + 2 + ::: +

1

3n + n



= ln 43;

d) lim

n

!

1



1

p

4n

2

,

1

2

+

1

p

4n

2

,

2

2

+ ::: +

1

p

4n

2

,

n

2



= 6.



Zadanie

12.3

Korzystaj¡c z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczy¢ podane caªki:

a)

2

Z

,1

x

,

1 + x

3

dx;

b)

2

Z

1



1

x

3

,

2

x

2

+ x

,4



dx; c)

e

Z

1

xlnxdx;

d)

2



Z



(sinx + cos

2

x)dx; e)



2

Z

0

e

2

x

cos xdx:



Zadanie

12.4

Obliczy¢ podane caªki oznaczone dokonuj¡c wskazanych podstawie«:

a)

1

Z

0

x

p

1 + xdx;

p

1 + x = t; b)

3

Z

0

p

9

,

x

2

dx; x = 3sint.



Zadanie

12.5

Metod¡ caªkowania przez cz¦±ci obliczy¢ podane caªki oznaczone:

a)

2

Z

1

lnxdx; b)



4

Z

0

xsin2xdx; c)



Z

0

e

x

cos

2

xdx.



Zadanie

12.6

Obliczy¢ podane caªki oznaczone:

a)

2

Z

,2

sgn

,

x

,

x

2

dx; b)

3

Z

1

xE (x) dx; c)

1

Z

1

2

E(lnx)dx; d)

2

Z

0

p

x

4

,

4x

2

+ 4dx.



Zadanie

12.7

Oszacowa¢ podane caªki:

a)

1

Z

0

e

x

6

p

1 + x

3

dx; b)



Z

0

dx

100

,

2sin

2

x; c)

1

Z

,1

cos x

2 + x

2

dx:

Lista trzynasta



Zadanie

13.1

Obliczy¢ warto±ci ±rednie podanych funkcji na wskazanych przedziaªach:

a) f(x) = x

1 + x

2

; [0;2]; b) g(x) = cos x;

h

,



2;



2

i

;

c) h(x) = xsinx; [0;]; d) p(x) = x

p

1

,

x

2

;



0; 12



:

13



Zadanie

13.2

Kamie« rzucono z wysoko±ci h = 2 m pionowo do góry z szybko±ci¡ pocz¡tkow¡ v

0

= 5 m/s. Obliczy¢ ±redni¡ szybko±¢

kamienia w czasie ruchu (od momentu wyrzucenia do momentu upadku na ziemi¦). Nie uwzgl¦dnia¢ oporu powietrza,

przyj¡¢ g = 10m=s

2

.



Zadanie

13.3

Zapotrzebowanie na energi¦ elektryczn¡ w Polsce 13 kwietnia 2000 r. przedstawiono na wykresie. Obliczy¢ ±rednie

zapotrzebowanie na energi¦ w tym dniu.

-

6

energia

[

M

W

]

20

10

5

6 7

13

15

17

19

22

24

czas

[go dz]



Zadanie

13.4

Wykorzystuj¡c fakty o caªkach funkcji parzystych lub nieparzystych uzasadni¢ podane równo±ci:

a)



Z

,



e

x

2

sinxdx = 0; b)

1

Z

,1

x

5

dx

p

3

,

x

2

= 0; c)

4

Z

,4

p

x

2

+ 1cos xdx = 2

4

Z

0

p

x

2

+ 1cos xdx:



Zadanie

13.5

Dla podanych funkcji f caªkowalnych na przedziale [a;b], znale¹¢ funkcje górnej granicy caªkowania

F(x) =

x

Z

c

f(t)dt; gdzie c

2

[a;b]:

Naszkicowa¢ wykresy funkcji f i F:

a) f(x) =

(

1 dla

,

1

¬

x

¬

0;

3x

2 dla 0 < x

¬

2;

[a;b] = [

,

1;2]; c =

,

1;

b) f(x) =



x

,

2 dla 0

¬

x

¬

2;

2x

,

4 dla 2 < x

¬

3; [a;b] = [0;3]; c = 1.

Lista czternasta



Zadanie

14.1

Obliczy¢ pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:

a) yx

4

= 1; y = 1; y = 16;

b) y = 2x

,

x

2

; x + y = 0; c) y = 2

x

; y = 2; x = 0;

d) y

2

=

,

x; y = x

,

6; y =

,

1; y = 4; e) x = y

3

,

y; x = 0;

f) y = 1x

2

;y = x;y = 4:



Zadanie

14.2

Obliczy¢ dªugo±ci podanych krzywych:

a) y = 2

p

x

3

; gdzie 0

¬

x

¬

11;

b) y = chx; gdzie 0

¬

x

¬

1;

c) y = e

x

; gdzie 12 ln2

¬

x

¬

1

2 ln3; d) 24xy = y

4

+ 48; gdzie 2

¬

y

¬

4;

e) y = x

5

10 +

1

6x

3

; gdzie 1

¬

x

¬

2; f) y = 1

,

lncosx; gdzie 0

¬

x

¬



4:

14



Zadanie

14.3

a) Wyprowadzi¢ wzór na obj¦to±¢ ostrosªupa prawidªowego o wysoko±ci H i podsta-

wie kwadratowej o boku a:

b) Walec o promieniu podstawy R ±ci¦to uko±nie pªaszczyzn¡ ( rysunek). Mniejsza

wysoko±¢ walca wynosi h; a wi¦ksza H. Obliczy¢ obj¦to±¢ tego walca.











6

?

-



6

?

h

H

R



Zadanie

14.4

Obliczy¢ obj¦to±ci bryª powstaªych z obrotu podanych gur T wokóª wskazanych osi:

a) T : 0

¬

x

¬

1; 0

¬

y

¬

x

3

; Oy;

b) T : 1

¬

x

¬

3; 0

¬

y

¬

1

x; Oy;

c) T : 1

¬

x

¬

4; 4x

¬

y

¬

5

,

x; Ox; d) T : 0

¬

x

¬



2; 0

¬

y

¬

sinx+cos x; Ox;

e) Obliczy¢ obj¦to±¢ sto»ka ±ci¦tego o wysoko±ci H i promieniach podstaw r;R,

gdzie r < R:



Zadanie

14.5

Obliczy¢ pola powierzchni powstaªych z obrotu wykresów podanych funkcji wokóª wskazanych osi:

a) f(x) =

p

4

,

x

2

;

,

1

¬

x

¬

1; Ox; b) f(x) =

p

x



1

,

1

3x



; 1

¬

x

¬

3; Ox;

c) f(x) = x

,

1

9 ; 1

¬

x

¬

10; Oy;

d) f(x) = x

2

2 ; 0

¬

x

¬

p

3; Oy;



Zadanie

14.6

Przy rozci¡ganiu spr¦»yny siªa rozci¡gania jest proporcjonalna do wydªu»enia spr¦»yny (wspóªczynnik proporcjonal-

no±ci wynosi k). Obliczy¢ prac¦ jak¡ nale»y wykona¢, aby spr¦»yn¦ o dªugo±ci l rozci¡gn¡¢ do dªugo±ci L (l < L):



Zadanie

14.7

a) Punkt materialny zacz¡ª porusza¢ si¦ prostoliniowo z szybko±ci¡ pocz¡tkow¡ v

0

= 10 m/s i przyspieszeniem a

0

=

2 m=s

2

: Po czasie t

1

= 10 s punkt ten zacz¡ª porusza¢ si¦ z opó¹nieniem a

1

=

,

1 m=s

2

: Znale¹¢ poªo»enie punktu

po czasie t

2

= 20 s od chwili rozpocz¦cia ruchu.

b) Dwie cz¡stki elementarne A i B poªo»one w odlegªo±ci d = 36 zaczynaj¡ zbli»a¢ si¦ do siebie z szybko±ciami

odpowiednio v

A

(t) = 10t + t

3

, v

B

(t) = 6t, gdzie t

­

0: Po jakim czasie nast¡pi zderzenie tych cz¡stek?



Zadanie

14.8

Zbiornik ma ksztaªt walca o osi poziomej. ‘rednica walca D = 2m; a dªugo±¢ L = 6m: Obliczy¢ prac¦, jak¡ potrzeba

wykona¢, aby opró»ni¢ zapeªniony caªkowicie wod¡ zbiornik. Otwór do opró»nienia zbiornika znajduje si¦ w jego górnej

cz¦±ci. Masa wªa±ciwa wody = 1000kg=m

3

:



Zadanie*

14.9

Do dwóch jednakowych naczy« w ksztaªcie walca wªo»ono dwie bryªy. Do naczy« wlewa si¦ woda z t¡ sam¡ intensyw-

no±ci¡. Pokaza¢, »e je»eli w ka»dej chwili poziom wody w obu naczyniach byª jednakowy, to pola przekrojów obu bryª

na tych samych wysoko±ciach s¡ równe.

15