Ć w i c z e n i e 24

BADANIA REZONANSU

W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

24.1 Wstęp teoretyczny

Zjawisko rezonansu, które poniżej zostanie zdefiniowane, związane jest z „wymuszonymi drgania-
mi” układów drgających np. mechanicznych lub elektrycznych. Samo pojęcie drgań zostało opisane
w ćwiczeniach nr 4 i 5, gdzie badano drgania układów wytrąconych z równowagi i pozostawionych
samym sobie. W tych ćwiczeniach zdefiniowano pojęcia: okresu drgań, częstości drgań własnych,
drgania normalne, dudnienia. W ćwiczeniu 37 omówiono również drgania tłumione. Znajomość
tych pojęć jest niezbędna do zrozumienia efektu rezonansu. Pojęcie „wymuszenia drgań „ oznacza,
że obwód nie został wytrącony z równowagi i pozostawiony sam sobie, lecz przez cały czas działa
na niego siła. W rozważaniach na temat rezonansu będziemy badali, co się dzieje z układem, gdy
działa na niego siła harmoniczna np. F = F

0

cos(

ωt) oraz jak zachowanie układu zależy od częstości

siły wymuszającej. Ze względu na łatwość technicznej realizacji w ćwiczeniu badamy elektryczny
układ rezonansowy.

e(t)

i(t)

i(t)

L

L

C

R

C

R

a)

b)

Rys. 24.1. Układ rezonansowy RLC; a- bez wymuszenia, b – z wymuszeniem.

Drgania tłumione. Rozważmy układ bez wymuszenia. W pewnym momencie na kondensatorze C
został zgromadzony ładunek q, a prąd płynący w obwodzie jest równy zeru. Następuje rozładowa-
nie kondensatora, zaczyna płynąć prąd określony zależnością:

dt

t

dq

i

)

(

=

(24.1)

Energia zgromadzona w kondensatorze zależy od zgromadzonego w nim ładunku:

C

q

E

C

2

2

=

(24.2)

Wraz z rozładowaniem kondensatora energia ta maleje, wzrasta natomiast energia pola magnetycz-
nego gromadzona w cewce o indukcyjności L:

2

2

i

L

E

L

⋅

=

(24.3)

W rezultacie pole elektryczne maleje, pole magnetyczne wzrasta a energia zawarta w polu elek-
trycznym kondensatora zamienia się na energię pola magnetycznego cewki. W procesie tym przez
opornik R przepływa prąd i(t) wydzielając na nim ciepło Joule’a. Następuje więc zamiana części
energii na ciepło w ilości:

2

2

i

R

E

J

⋅

=

(24.4)

Jeden pełny cykl zaczynający się np. od chwili podłączenia do obwodu RLC naładowanego kon-
densatora zawiera rozładowanie kondensatora, naładowanie przeciwnym ładunkiem, ponowne roz-
ładowanie i naładowanie do pierwotnego stanu. Jeśli

0

≠

R

wtedy nastąpi strata energii cieplnej i

układ nie wróci do pierwotnego naładowania, ale cykl zamknie się w momencie uzyskania maksy-
malnej wartości ładunku na kondensatorze, ale mniejszej od początkowej. Dla R=0 układ jest bez-
stratny i istnieje pełna analogia opisu zjawiska do drgań swobodnego wahadła matematycznego.
Aby opisać zmiany prądu i(t) w obwodzie RLC skorzystamy z II prawa Kirchhoffa, które mówi, że
suma spadków napięć w oczku jest równa zeru.
Z prawa Ohma wiemy, że spadek napięcia na oporniku R jest równy:

R

t

i

t

U

R

⋅

= )

(

)

(

(24.5)

Napięcie na kondensatorze wyraża się zależnością:

∫

=

t

C

dt

t

i

C

t

U

0

)

(

1

)

(

(24.6)

Z prawa Faradaya wiemy, że w cewce pod wpływem zmiennego w czasie prądu indukuje się siła
elektromotoryczna:

dt

t

di

L

U

L

)

(

−

=

(24.7)

Dla obwodu z Rys. 24.1a korzystając z II prawa Kirchhoffa możemy napisać:

U

)

(

)

(

)

(

t

U

t

U

t

C

R

L

+

=

∫

+

=

−

t

dt

t

i

C

R

t

i

dt

t

di

L

0

)

(

1

)

(

)

(

(24.8)

Po uwzględnieniu zależności (24.1) równanie (24.8) przyjmie postać:

0

1

2

2

=

+

+

q

C

dt

dq

R

dt

q

d

L

(24.9)

Wprowadzając oznaczenia:

- współczynnik tłumienia

L

R

2

=

β

- częstotliwość drgań swobodnych zwaną częstością własną

LC

1

0

=

ω

uzyskuje się równanie różniczkowe analogiczne do równania drgań tłumionych:

0

2

2

0

2

2

=

+

+

q

dt

dq

dt

q

d

ω

β

(24.10)

Wielkością zmieniającą się w czasie jest ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora. Roz-
wiązanie powyższego równania pokazuje charakter tych zmian:

)

cos(

)

(

0

ϕ

ω

β

+

=

−

t

e

q

t

q

t

(24.11)

gdzie:

2

2

0

β

ω

ω

−

=

- częstość (pulsacja) drgań tłumionych

Zauważmy, że wskutek działania tłumienia amplituda drgań maleje ekspotencjalnie (e

-

βt

) z upły-

wem czasu, zaś częstość drgań tłumionych jest mniejsza niż częstość drgań własnych.
Wielkością opisującą szybkość zmian amplitudy drgań tłumionych jest tzw. logarytmiczny dekre-
ment tłumienia - . Jest to logarytm naturalny stosunku amplitudy w chwili t oraz t+T ( T- okres
drgań).

Λ

T

e

q

e

q

T

t

t

β

β

β

=

=

Λ

+

−

−

)

(

0

0

ln

(24.12)

Zależności (24.11) i (24.12) mają sens, jeśli

ω

β

< . W przeciwnym razie ruch nie jest ruchem drga-

jącym lecz pełzającym (aperiodycznym). Charakteryzuje się ten ruch tym, że badany parametr nie
wykonuje drgań lecz zbliża się do położenia równowagi asymptotycznie. Szczególnym przypad-
kiem jest ruch pełzający krytyczny gdy

ω

β

= .

Drgania wymuszone.

Jeśli chcemy, aby mimo tłumienia utrzymać drgania harmoniczne niegasnące

powinniśmy wprowadzić odpowiednio zmienne wymuszenie w postaci źródła napięcia zmiennego
w czasie w sposób harmoniczny ( Rys.24.1 b):

)

cos(

)

(

0

t

U

t

e

Ω

=

(24.13)

gdzie - jest częstością wymuszenia.

Ω

Z II prawa Kirchhoffa możemy napisać:

)

cos(

1

0

2

2

t

U

q

C

dt

dq

R

dt

q

d

L

Ω

=

+

+

(24.14)

lub w formie:

)

cos(

1

0

2

2

t

L

U

q

LC

dt

dq

L

R

dt

q

d

Ω

=

+

+

(24.15)

Jest to równanie różniczkowe drgań wymuszonych. Rozwiązaniem są drgania harmoniczne o czę-
stości wymuszenia

Ω . Drgania wymuszone mogą być przesunięte w fazie względem wymuszenia o

kąt

φ

będący fazą początkową drgania wymuszonego. Ta faza jest różnicą fazy wychylenia (24.16)

i fazy wymuszenia (24.13). Amplituda tych drgań jest ściśle określona i jest zależna od częstości
wymuszenia oraz od amplitudy wymuszenia. Zatem rozwiązaniem jest:

)

cos(

)

(

φ

+

Ω

=

t

A

t

q

(24.16)

gdzie:

2

2

2

2

2

0

4

)

(

Ω

+

Ω

−

=

β

ω

L

U

A

(24.17)













Ω

−

Ω

−

=

2

2

0

2

ω

β

φ

arctg

(24.18)

Aby przekonać się, że funkcja przedstawiona w (24.16) jest rozwiązaniem równania (24.15) należy
zróżniczkować tą funkcję obliczając pierwszą i drugą pochodną i wstawić do równania (24.15).

Rezonans.

Jak wynika z analizy zależności (24.17) na amplitudę drgań wymuszonych, przy odpo-

wiednim dobraniu częstości wymuszenia nawet przy niewielkim wymuszeniu można uzyskać bar-
dzo dużą wartość. Takie zjawisko nazywamy rezonansem. Przeanalizujmy zależność amplitudy A
od częstości wymuszenia

Ω dla różnych wartości współczynnika tłumienia, przy czym

3

2

1

β

β

β

<

<

(rys. 24.2).

Rys. 24.2 Amplituda drgań wymuszonych w funkcji częstości

.

Wartość częstości wymuszenia przy której amplituda drgań osiąga maksimum (zaznaczono na wy-
kresie linią przerywaną) silnie zależy od współczynnika tłumienia

β. Im mniejsze jest β tym

ostrzejsza jest krzywa rezonansowa, a częstość rezonansu wzrasta.
Wykorzystując zależności (24.16)-(24.18) oraz (24.6), (24.7) (24.1) można napisać wyrażenia na
U

C

( oraz U

L

). W ćwiczeniu wykorzystuje się pomiar U

C

. Przyjmując, że układ rezonansowy ma

małe straty ( tzn. (

1

4

2

<<

β

) dla częstości bliskich rezonansu

2

2

2

4

0

)

2

( x

C

R

U

U

r

C

+

Ω

=

(24.19)

gdzie:

Ω

r

=2

πf

r

– częstość rezonansu ( dla danego

β),

r

r

r

r

f

f

f

x

−

=

Ω

Ω

−

Ω

=

jest względnym odchyleniem częstotliwości wymuszającej f od

częstotliwości rezonansowej f

r

.

20

40

60

80

100

120

140

1

2

3

4

5

A

β

1

β

2

β

3

Ω

Ω

r

Zauważmy, że dla

Ω = Ω

r

wartość x = 0, zatem:

Q

RC

U

U

U

U

r

L

C

=

Ω

=

=

2

0

0

1

(24.20)

Q jest jedną z najważniejszych wielkości charakteryzujących obwód rezonansowy, zwaną dobrocią
układu. Dla obwodu szeregowego mówi ona ilokrotnie w rezonansie wzrasta napięcie na elemen-
tach C oraz L. Zatem dla Q>>1 charakterystykę częstotliwościową w pobliżu rezonansu zapisujemy
w postaci:

2

2

0

)

2

(

1

1

x

Q

U

U

C

+

=

(24.21)

Zauważmy, że w rezonansie U

C

=QU

0

.

Wprowadza się również pojęcie pasma częstotliwości obwodu – B:

Q

Q

f

B

r

r

π

2

Ω

=

=

(24.22)

określone jako zakres częstotliwości, dla których zachodzi warunek:

Q

U

U

C

2

1

0

>













(24.23)

-0.4

-0.2

0.2

0.4

2

4

6

8

10

x

U

C

/U

0

Q

Q/

2

f

B

f

r

-B/2 f

r

+B/2

f

r

Rys. 24.3 Przykładowa krzywa rezonansowa.

Jednym z podstawowych zastosowań obwodów rezonansowych jest ich wykorzystanie jako filtry.
Właściwości filtracyjne obwodu rezonansowego polegają na znacznym wzroście amplitudy napię-
cia wyjściowego dla częstotliwości napięcia podawanego na obwód leżących w paśmie częstotliwo-
ści B. Niestety, pojedynczy układ rezonansowy charakteryzuje się zbyt wolnym spadkiem napięcia
wyjściowego na krawędziach pasma B, co widać na Rys. 24.3. Znacznie lepsze charakterystyki w
tym względzie mają sprzężone obwody rezonansowe, w których drgania istniejące w jednym ob-
wodzie wpływają na zachowanie się drugiego obwodu. W zależności od rodzaju elementu sprzęga-
jącego wyróżniamy różne typy sprzężenia.

C

U

0

L

U

2

C

S

L

C

R

R

Rys. 24.4. Dwa układy rezonansowe sprzężone pojemnościowo.

W ćwiczeniu badamy układ dwóch obwodów rezonansowych sprzężonych pojemnościowo. Układ
ten przedstawiony jest na rysunku 24.4. Są to dwa układy rezonansowe, o tych samych elementach
skupionych R, L, C, sprzężone kondensatorem C

S

. W zależności od wielkości tzw. parametru

sprzężenia

χ zdefiniowanego:

C

C

s

=

χ

(24.24)

wyróżniamy następujące przypadki:

1) jeżeli

χ < 1/Q na wykresie krzywej

rezonansowej występuje jeden
punkt ekstremalny dla x = 0 – jest to
tzw. sprzężenie podkrytyczne















<

=

2

0

0

2

Q

U

U

x

0

χ < χ

k

χ = χ

k

χ > χ

k

Q

2

U

2

U

0

x

2) dla

χ = χ

k

= 1/Q – sprzężenie kry-

tyczne, mamy również jeden punkt

ekstremalny i












=

=

2

0

0

2

Q

U

U

x





3) dla

χ > 1/Q mamy trzy punkty eks-

tremalne – ten stan nazywamy
sprzężeniem nadkrytycznym.

Rys. 24.5. Krzywe rezonansowe dla

różnych wartości sprzężeń.

Wykres krzywych rezonansowych U

2

/U

0

dla trzech różnych sprzężeń przedstawia rys. 24.5.

24.2 Opis układu pomiarowego

Układ pomiarowy składa się z generatora napięcia sinusoidalnego o przestrajanej częstotliwości,
woltomierza z sondą oraz pudełka z obwodami rezonansowymi i trzema kondensatorami wymien-
nymi C

S

. Schemat układu wraz z danymi odnośnie układu znajduje się na stole pomiarowym.

24.3. Przebieg pomiarów

1. Podłączyć generator do pudełka z obwodami rezonansowymi za pomocą kabla koncentrycznego.

Zakres woltomierza ustawić na 10V. Sondę podłączyć do woltomierza, przy czym „masę” pod-
łączamy do zacisku pudełka z obwodami rezonansowymi.

2. Na podstawie danych parametrów obwodu obliczyć przybliżoną wartość f

r

. Ustawić tę częstotli-

wość na generatorze. Sondę woltomierza podłączyć do zacisku U

C

. Zmieniając stopniowo czę-

stotliwość na generatorze dobrać częstotliwość z dokładnością 10 Hz przy której U

C

osiąga mak-

symalną wartość. Tą częstotliwość przyjąć jako f

r

.

3. Wykonać pomiary U

C

dla częstotliwości na generatorze w zakresie od (f

r

-1) do (f

r

+1) kHz co

100 Hz.

4. Włączyć jeden z kondensatorów sprzęgających C

S

do gniazd pudełka. Sondę woltomierza połą-

czyć z zaciskiem U

2

.

5. Wykonać pomiary U

2

w zakresie częstotliwości na generatorze takich jak w punkcie 3.

6. Przeprowadzić pomiary U

2

dla pozostałych dwóch wartości pojemności C

S

.

24.4. Opracowanie wyników pomiarów.

1. Wykreślić zmierzoną zależność U

C

(f).

2. Wyznaczyć szerokość pasma B z szerokości krzywej rezonansowej na wysokości

2

max

C

U

(patrz Rys. 24.3).

3. Wyznaczyć dobroć układu Q i napięcie U

0

na podstawie wyrażenia 24.22 i 24.20.

4. Wykreślić wykres U

C

(x)/U

0

, gdzie x jest względnym odchyleniem od częstotliwości rezonanso-

wej. Porównać z krzywą otrzymaną z wyrażenia 24.21.

5. Wykreślić zależność U

2

(f) dla trzech wartości pojemności C

S

. Obliczyć parametr

χ i porównać

go z wartością 1/Q.

6. Przedstawić wnioski podsumowujące uzyskane wyniki.

L i t e r a t u r a

[1] Bartnicki S, Borys.W, Kostrzyński T; Fizyka ogólna – ćwiczenia laboratoryjne Cz II. Skrypt

WAT. Warszawa 1994r.

[2] Massalski J.M.: Fizyka dla inżynierów, cz.1, WNT, Warszawa 1973.