1 |

S t r o n a / K u e k ™

Rozkład na ułamki proste funkcji operatorowej G(s).

Występują dwie metody rozkładu:

a) Standardowa

Jeżeli wszystkie bieguny funkcji operatorowej G(s) są jednokrotne (pojedyncze) i jednocześnie

rzeczywiste, wówczas G(s) możemy zdefiniować jako:

)

)...(

)(

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

n

s

s

s

s

s

s

s

L

s

M

s

L

s

G











W przypadku biegunów funkcji, czyli punktów osobliwych, mamy do czynienia z ich nieograniczoną

postacią.

Punkt osobliwy to wyraz rozwinięcia funkcji, w którym wykładniki funkcji są niezależne.

n

s

s

s







...

2

1

Jeżeli rząd licznika jest mniejszy od rzędu mianownika, to rozkład takiej funkcji na ułamki proste jest

następujący:

)

(

...

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

n

n

s

s

K

s

s

K

s

s

K

s

G















Następnie należy wyznaczyć współczynniki:

)

...

1

(

n

K

i



Polega to na sprowadzeniu sumy ułamków zwykłych do wspólnego mianownika i porównaniu ze sobą

odpowiadających sobie współczynników liczników.

b) Residuów

Polega na obustronnym pomnożeniu równania przez

)

(

i

s

s



i podstawieniu za wartość s wartości s

i

i

wyznaczeniu współczynnika K

i

.

Kryterium Hurwitza.

Stabilność jest własnością układu polegającą na powrocie do stanu równowagi stałej po ustaniu

wymuszenia, które wytrąciło układ z tego stanu, lub osiągnięciu nowego stanu równowagi stałej, jeśli

wymuszenie pozostało na stałym poziomie.

Do oceny stabilno

ści układu służy algebraiczne kryterium Hurwitza. Wymaga ono znajomości

transmitancji układu w postaci analitycznej. Warunkiem koniecznym i wystarczającym, żeby układ

liniowy, stacjonarny, ciągły, był stabilny, jest:
-

wszystkie współczynniki równania charakterystycznego były większe od 0:

n

i

a

i

,...

0

;

0





Równanie charakterystyczne

– mianownik transmitancji układu porównywany do zera.

Układ stabilny asymptotyczny to układ, w którym wszystkie składowe równania zmierzają do zera.

- wszystkie

podwyznaczniki główne (minory) wyznacznika Hurwitza, były większe od zera:

∆ =

[

−

−

−

∙ ∙ ∙ ∙

−

−

∙ ∙ ∙ ∙

−

−

∙ ∙ ∙ ∙

−

∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

∙ ∙

]

∆ =

−

> ; ∆ = [

−

−
−

] > ; ∆ = [

−

−

−

−

−

−

−

] >

ZADANIE !!!!!!!!!!!!!

2 |

S t r o n a / K u e k ™

Kryterium Nyquista

Pozwala na badanie stabilności jednowymiarowego układu zamkniętego na podstawie wykresu funkcji

� = � układu otwartego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej.

1.

Jeżeli układ otwarty jest stabilny, to układ zamknięty również jest stabilny wtedy i tylko wtedy,
gdy wykres charakterystyki

� = � przy wzroście � od 0 do ∞ nie obejmuje punktu o

współrzędnych − ,

.

2.

Jeżeli układ otwarty nie jest stabilny, jego transmitancja ma R biegunów w prawej

półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej, to układ zamknięty jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy
wykres charakterystyki

� = � przy wzroście � od 0 do ∞ obejmuje punkt o współrzędnych

− ,

.

W praktycznym zastosowaniu kryterium Nyquista jest szczególnie przydatne w przypadku, gdy układ
otwarty jest stabilny.

Charakterystyka amplitudowo-

fazowa układu otwartego:

A

– układ niestabilny

B

– układ na granicy stabilności

C

– układ stabilny

Charakterystyki czasowe

Charakterystyką czasową członu lub układu nazywamy przebieg jego wielkości wejściowej uzyskany

pod wpływem impulsowej lub skokowej zmiany wielkości wejściowej, przy czym przed tą zmianą układ

musi znajdować się w stanie ustalonym.

Charakterystyki te dają możliwość (w odniesieniu do układów 1-wymiarowych) bezpośredniej oceny

układu, ponieważ charakterystyka czasowa jest przebiegiem w czasie odpowiedzi układu
dynamicznego

na określone wymuszenie

.

Najczęściej stosowane wymuszenia:
- skok jednostkowy -

� ,

jest to wtedy odpowiedź skokowa;

- delta Diraca

– impuls

�

, jest to wtedy odpowiedź impulsowa.

Odpowiedź skokowa oraz impulsowa służy najczęściej do oceny własności dynamicznych układów

ciągłych.

�

=

;

=

= �

∙

= �

∙

Stosując odwrotne przekształcenie LaPlace’a uzyskujemy odpowiedź skokową w takiej postaci:

= ℎ

=

−

{�

∙ } ;

=

;

= �

∙ = �

= �

=

−

{�

}

Odpowiedź impulsowa jest pochodną odpowiedzi skokowej.

ZADANIE NA KOLOS !!!!!!!!!!!!!!!!!!

3 |

S t r o n a / K u e k ™

Charakterystyki częstotliwościowe

Do opisów członów i układów automatyki stosuje się także tzw. transmitancję widmową � � :

� � = �

|

= �

Transmitancja widmowa jest wektorem,

którego moduł � dla każdej pulsacji � jest stosunkiem

amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego:

|� � | =

� =

� �
� �

a argumentem

� � jest przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego:

�� � = � �

W automatyce mamy trzy najważniejsze charakterystyki:
- charakterystyka amplitudowo-fazowa Nyquista,
- charakterystyka logarytmiczna (Bodego) m

odułu,

- charakterystyka logarytmiczna (Bodego) fazy.

Graficzna reprezentacja charakterystyki amplitudowo-fazowej:

Transmitancja widmowa jest liczbą zespoloną, więc wyznacza dla każdej pulsacji � na płaszczyźnie
zespolonej

�

� punkt o współrzędnych [ � , � ] – punkt ten jest końcem wektora � �

o długości � i kącie nachylenia � � .

� � = � +

�

� = � � � ; � =

� �

� = √

� +

�

� � =

�

�

�

Charakterystyki logarytmiczne

W

automatyce duże znaczenie mają charakterystyki amplitudowa i fazowa wykreślane w układach

współrzędnych, których oś odciętych X wyrażona jest w skali logarytmicznej.

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

� przedstawia wykres zależności między dziesiętnym

logarytmem modułu transmitancji widmowej � i pulsacją �. Logarytm z moduły wyrażony jest w
decybelach.

� =

log |� � | =

log

�

Przykładowa charakterystyka Bodego:

4 |

S t r o n a / K u e k ™

Klasyfikacja regulatorów przemysłowych. Dobór nastaw regulatorów. Metody doboru: - metoda
Zieglera-Nicolsa, - metoda linii pierwiastkowej.

W zależności od rodzaju sterowania odróżniamy:

1. Regulator proporcjonalny P:

=

∙

– wyjście regulatora, równe iloczynowi współczynnikowi wzmocnienia ,

– sygnał wykonawczy / uchyb.

=

∙ �

; �

= � =

2.

Regulator całkujący I, np.:

=

∙

;

=

∫

– współczynnik wzmocnienia jest przestrajalny

�

= � =

3. Regulator proporcjonalno-

całkujący PI:

=

∙

+ ∫

=

�

�

�

�

;

– czas całkowania

�

=

∙ ( + ∙ ) = �

4. Regulator proporcjonalno-

różniczkujący PD:

=

∙

+

�

�

=

∙

�

�

– czas różniczkowania

�

=

+

�

∙

5. Regulator proporcjonalno-

całkująco-różniczkujący PID:

=

∙

+

; ∫

+

∙

�

∙

�

=

( + ∙ +

�

∙ )

Sygnał wyjściowy regulatora PID (5) posiada trzy składowe:
-

proporcjonalną P, - całkującą I, - różniczkującą D.

Składowa proporcjonalna to część sygnału wejściowego regulatora proporcjonalna do sygnału

uchybu. Pozwala na zmniejszenie błędów statycznych (błąd w stanie ustalonym). Polepsza

dokładność pracy, zmniejsza czas regulacji.

Składowa całkująca to część sygnału wyjściowego regulatora będąca całką z sygnału uchybu.

Likwiduje błędy statyczne, kompensuje działanie zakłóceń, ale wydłuża czas regulacji.

Składowa różniczkująca to pochodna sygnału uchybu. Skraca czas regulacji i przyspiesza

początkową fazę procesu przejściowego.

Regulator PI

zapewnia dobrą jakość regulacji tylko przy małych zakłóceniach o małych

częstotliwościach.
Regulator PD zapewnia szersze pasmo regulacji

niż regulator PI, ale z gorszą jakością regulacji przy

małych częstotliwościach.

5 |

S t r o n a / K u e k ™

Metoda linii pierwiastkowych

– umożliwia wyznaczenie położenia pierwiastków równania

charakterystycznego układu zamkniętego na podstawie rozmieszczenia zer i biegunów transmitancji

układu otwartego.

Ze zmianą wzmocnienia układu pierwiastki te poruszają się po liniach pierwiastkowych będących
miejscem geometrycznym pierwiastków.

Układ ze sprzężeniem zwrotnym:

�

�

= � =

∙

∙ �

+

∙

∙ �

Równanie

charakterystyczne, którego pierwiastki są biegunami transmitancji:

+

∙

∙ �

=

Pierwiastki układu zamkniętego zależą od współczynnika wzmocnienia , istotny jest odpowiedni
jego dobór.

Mechanizm konstruowania wykresów

pierwiastków przy wykorzystaniu wzmocnienia jako

zamiennego parametru:

1.

Zakładamy, że transmitancja układu otwartego

∙

∙ �

jest funkcją wymierną. Licznik

transmitancji G(s) jest równy

∙

∙

, gdzie

to licznik wielomianu.

=

+

−

+

−

+. . . +

=

−

−

… −

2. Mianownik wielomianu

:

=

+

−

+

−

+. . . + =

− �

− � … − �

3. Parametr miejsca geometrycznego :

> ; =

∙

Miejsca zerowe (pierwiastki)

= są zerami transmitancji �

�

i oznaczamy je jako

.

Podobnie miejsca zerowe dla

= są biegunami transmitancji �

�

i oznaczamy jako .

+ ∙ �

= ; + =

; �

=

−

W ten sposób określono formuły pierwiastków równania charakterystycznego.

Linia pierwiastka

jest zbiorem wartości , dla których w powyższych równaniach zachowana jest

dodatnia wartość , umożliwia wnioskowanie o własnościach układu zamkniętego na podstawie
transmitancji układu otwartego:

∙ �

Metoda Zieglera

polega na wybor

ze parametrów regulatora w oparciu o współczynnik zanikania

równy w przybliżeniu 0,25. Metoda ta bazuje na odpowiedzi skokowej i daje dobre rezultaty, gdy

spełniany jest warunek:

,

<

< ,

– czas opóźnienia

– czas całkowity