MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

1

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

Z1/3.1. Rama płaska numer 1

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.1 jest układem geometrycznie

niezmiennym.

Rys. Z1/3.1. Rama płaska

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.2.

2

4

1

3

A

I

II

Rys. Z1/3.2. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z1/3.2 liczba tarcz wynosi 2, liczba prętów podporowych wynosi 4 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 1. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

3

⋅2=4⋅11⋅2

.

(Z1/3.1)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

2

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/3.3.

4

A

II

Rys. Z1/3.3. Zastępcza tarcza sztywna

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub

A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/3.2. Rama płaska numer 2

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.4 jest układem geometrycznie

niezmiennym.

Rys. Z1/3.4. Rama płaska

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.5.

Jak widać na rysunku Z1/3.5 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

3

2

4

1

3

A

B

5

I

II

III

C

Rys. Z1/3.5. Zastępczy układ tarcz sztywnych

3

⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z1/3.2)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.6.

4

A

B

5

II

III

C

Rys. Z1/3.6. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcze numer II i III tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi A i B oraz przegubem

fikcyjnym C utworzonym z prętów podporowych numer 4 i 5. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej.
Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec
tego są one geometrycznie niezmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/3.3. Rama płaska numer 3

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.7 jest układem geometrycznie

niezmiennym.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

4

Rys. Z1/3.7. Rama płaska

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.8.

2

5

1

3

D

I

III

II

B

4

A

C

Rys. Z1/3.8. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z1/3.8 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

3

⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z1/3.3)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcze numer I i II tworzą układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym A utworzonym z prętów

podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B oraz przegubem fikcyjnym C utworzonym z prętów
podporowych numer 3 i 4. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek
dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie
niezmienne i mogą stanowić podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/3.9.

Tarcza numer III jest podparta przegubem rzeczywistym D oraz prętem podporowym numer 5.

Przegub D nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

5

5

D

III

Rys. Z1/3.9. Zastępcza tarcza sztywna

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/3.4. Rama płaska numer 4

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.10 jest układem geometrycznie

niezmiennym.

Rys. Z1/3.10. Rama płaska

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.11.

2

1

3

I

IV

II

A

4

5

B

C

6

III

D

E

F

Rys. Z1/3.11. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

6

Jak widać na rysunku Z1/3.11 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 6 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 3. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

3

⋅4=6⋅13⋅2

.

(Z1/3.4)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcze numer I i II tworzą układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym A utworzonym z prętów

podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B oraz przegubem fikcyjnym C utworzonym z prętów
podporowych numer 3 i 4. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek
dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie
niezmienne i mogą stanowić podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.12.

IV

5

6

III

D

E

F

Rys. Z1/3.12. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcze numer III i IV tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi D i E oraz

przegubem fikcyjnym F utworzonym z prętów podporowych numer 5 i 6. Wszystkie przeguby nie leżą na
jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz
sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/3.5. Rama płaska numer 5

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.13 jest układem geometrycznie

niezmiennym.

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.14.

Jak widać na rysunku Z1/3.14 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

3

⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z1/3.5)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

7

Rys. Z1/3.13. Rama płaska

1

5

B

I

III

II

A

4

2

3

Rys. Z1/3.14. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.15.

5

B

III

II

A

4

Rys. Z1/3.15. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

8

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub

A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/3.16.

5

B

III

Rys. Z1/3.16. Zastępcza tarcza sztywna

Tarcza numer III jest podparta przegubem rzeczywistym B oraz prętem podporowym numer 5.

Przegub B nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/3.6. Rama płaska numer 6

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.17 jest układem geometrycznie

niezmiennym.

Rys. Z1/3.17. Rama płaska

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.18.

Jak widać na rysunku Z1/3.18 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 6 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 3. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

3

⋅4=6⋅13⋅2

.

(Z1/3.6)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

9

I

IV

II

4

5

A

6

III

B

C

D

1

2

3

Rys. Z1/3.18. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.19.

IV

II

4

5

A

6

III

B

C

D

Rys. Z1/3.19. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub

A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.20.

Tarcze numer III i IV tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi B i C oraz

przegubem fikcyjnym D utworzonym z prętów podporowych numer 5 i 6. Wszystkie przeguby nie leżą na
jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz
sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

10

IV

5

6

III

B

C

D

Rys. Z1/3.20. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Z1/3.7. Rama płaska numer 7

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.21 jest układem geometrycznie

niezmiennym.

Rys. Z1/3.21. Rama płaska

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.22.

Jak widać na rysunku Z1/3.22 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

3

⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z1/3.7)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.23.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

11

1

5

B

I

III

II

4

2

3

A

Rys. Z1/3.22. Zastępczy układ tarcz sztywnych

5

B

III

II

4

A

Rys. Z1/3.23. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub

A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/3.24.

5

B

III

Rys. Z1/3.24. Zastępcza tarcza sztywna

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

12

Tarcza numer III jest podparta przegubem rzeczywistym B oraz prętem podporowym numer 5.

Przegub B nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/3.8. Rama płaska numer 8

Sprawdzić czy rama płaska złożona przedstawiona na rysunku Z1/3.25 jest układem geometrycznie

niezmiennym.

Rys. Z1/3.25. Rama płaska

W pierwszej kolejności musimy pręty ramy płaskiej zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ

prętów podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/3.26.

I

IV

II

4

5

A

6

III

B

C

D

1

2

3

Rys. Z1/3.26. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z1/3.22 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast

liczba przegubów rzeczywistych wynosi 2. Warunek konieczny geometrycznej niezmienności ma więc
postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/3. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 3

13

3

⋅4=6⋅13⋅2

.

(Z1/3.8)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Rama płaska może być układem
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. W dalszej kolejności musimy jeszcze sprawdzić
warunki dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.27.

IV

II

4

5

6

III

B

C

D

A

Rys. Z1/3.27. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub

A nie leży na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić
podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/3.28.

IV

5

6

III

B

C

D

Rys. Z1/3.28. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcze numer III i IV tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi B i C oraz

przegubem fikcyjnym D utworzonym z prętów podporowych numer 5 i 6. Wszystkie przeguby nie leżą na
jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych tarcz
sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że

rama płaska złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni