Typy zadań na

Typy zadań na

mnożenie

mnożenie

Typy zadań na

Typy zadań na

mnożenie

mnożenie

Katarzyna Sałata, PWD III rok

Katarzyna Sałata, PWD III rok

Podstawa programowa

• Klasa I

Mnożenie:

- Liczenie przedmiotów np. po 3 lub po 4
- Wielokrotne dodawanie i odejmowanie tej samej liczby

(głośne liczenie typu: 0,3,6,9)

- Przykłady konkretnych sytuacji typu „ wiele razy po tyle

samo (w zakresie 20 lub 25)

- Wprowadzenie mnożenia liczb i znaku mnożenia
- Zadania dotyczące mnożenia rozwiązywane na konkretach

Zadania tekstowe
jednodziałaniowe:

- Przykłady przybliżające uczniom, czym jest zadanie
matematyczne
- Stopniowe przechodzenie od zadań dotyczących

przedmiotów znajdujących się przed dzieckiem,
poprzez zadania słowno-rysunkowe, do zadań czysto
tekstowych

- Dostrzeganie, które liczby są w zadaniu są dane, która

jest szukana i jakie są związki między nimi

- Rozwiązywanie zadań przez symulację ich treści na

konkretach i pomocniczych rysunkach oraz przez
wykonanie odpowiednich działań na liczbach

•Klasa II

Mnożenie:

- Przypomnienie sytuacji typu „tyle po tyle”, w których

wykonuje się mnożenie; znajdowanie wyniku mnożenia
na konkretach oraz przez wielokrotne dodawanie tej
samej liczby

- Obliczanie liczby identycznych kwadratów w danym

prostokącie (np. kafelków)

- Praktyczne wykorzystanie przemienności mnożenia w

obliczeniach

- Obliczanie iloczynów w zakresie tabliczki mnożenia

- Praktyczne stosowanie rozdzielności mnożenia

względem dodawania

- Wstępne przybliżanie tego że mnożenie i dzielenie są

działaniami wzajemnie odwrotnymi

- Nazwy: iloczyn, czynnik
- Równania z okienkami typu 4• = 24
- Przykłady obliczeń, w których występuje mnożenie wraz

z dodawaniem lub odejmowaniem; stopniowe
zastępowanie dwóch pojedynczych działań jednym
zapisem złożonym

- Umowy dotyczące kolejności wykonywania działań,

użycie nawiasów

Zadania tekstowe:

- Kształtowanie rozumienia sensu zadania tekstowego
- Rozwiązywanie zadań jednodziałaniowych
- Matematyzowanie sytuacji konkretnych przez układanie

i rozwiązywanie zadań

- Układanie zadań jednodziałaniowych do rysunku i do

działania arytmetycznego

- Przykłady rozbudowywania zadań jednodziałaniowych

do dwudziałaniowych

- Próby ujmowania rozwiązania zadania złożonego w

jednym zapisie

•Klasa III

Mnożenie:

- Przypomnienie w jakich sytuacjach wykonuje się mnożenie
- Mnożenie przez 0 i przez 1
- Pamięciowe opanowanie tabliczki mnożenia
- Wzajemna odwrotność dzielenia i mnożenia
- Równania z okienkami typu 4• = 24, •8 = 32
- Umowy dotyczące kolejności wykonywania działań, użycie

nawiasów

- Porównywanie ilorazowe; kontrastowanie z porównywaniem

różnicowym

- Przykłady wielokrotności liczb
- Mnożenie przez 10 i przez 100
- Obliczanie iloczynów typu 4•57 przez rozdzielenie czynnika

dwucyfrowego (4•57= 4•50 + 4•7)

- Iloczyn trzech czynników
- Zaznajomienie z algorytmem mnożenia pisemnego

Zadania tekstowe:

- Matematyzowanie sytuacji konkretnych : Rozwiązywanie

zadań jednodziałaniowych oraz łatwych zadań
złożonych

- Próby ujmowania rozwiązania zadania tekstowego w

jednym zapisie

- Układanie zadań i do działań arytmetycznych
- Rozbudowywanie zadań jednodziałaniowych do

złożonych

- Dobieranie pytań do danych historyjek

jednodziałaniowych

Dwa typy zadań na

mnożenie

• Zadania sprowadzające się do

znalezienia liczebności iloczynu
kartezjańskiego dwu zbiorów

• Zadania polegające na przeliczeniu

miary przy jednej jednostce na miarę
przy innej jednostce. Zadania te
dotyczą różnych wielkości: długości,
ciężarów, pól, cen.

Iloczyn kartezjański

jako działanie na

zbiorach

Przypuśćmy że A i B są dowolnymi

zbiorami. Iloczynem kartezjańskim

tych zbiorów nazywamy zbiór A × B

określany jako zbiór wszystkich par

uporządkowanych (x, y), w których na

pierwszym miejscu jest dowolny

element x zbioru A, a na drugim

dowolny element y zbioru B.

Iloczyn kartezjański

Zbiór A

Zbiór B

x

1

x

2

y

5

y

4

y

1

y

3

y

2

A× B: (x

1

, y

1

); (x

1

, y

2

); (x

1

, y

3

); (x

1

, y

4

); (x

1

, y

5

);

(x

2

, y

1

); (x

2

, y

2

); (x

2

, y

3

); (x

2

, y

4

); (x

1

, y

5

)

2•5=10

Przykład

Witanie się drużyn sportowych

Do dobrych zwyczajów należy wzajemne przywitanie się

przeciwników przed meczem. W przypadku dwóch
drużyn siatkarskich będą to 2 sześcioosobowe zespoły:

A – w niebieskich

koszulkach

B – w czerwonych

koszulkach

Idą gęsiego, każdy w kierunku drugiego.

B

A

B

1

A× B : (A

1

, B

1

); (A

1

, B

2

)…

6 • 6 = 36

Zadania polegające na przeliczeniu

miary przy jednej jednostce na

miarę przy innej jednostce -

przykłady

Przedstawienie na klockach różnej długości:

Czerwone

Zielone

Brązowe

Żółte

Niebieskie

12 • 1 = 12

6 • 2 = 12

4 • 3 = 12

3 • 4 =

12

2 • 6 = 12

Zadanie tekstowe

W wiaderku mieści się 5 dzbanków wody, w dzbanku mieszczą
się 3 szklanki wody. Ile szklanek wody mieści się w wiadrze?

Rozwiązanie: 5 • 3 = 15
Odp. : W wiadrze mieści się 15 szklanek wody.

=

+

+

+

+

+

+

=

Typologia zadań

tekstowych

1) Ze względu na liczbę działań jakie należy

wykonać aby rozwiązać zadanie:

 Zadania PROSTE – można rozwiązać za pomocą jednego

działania
 na dodawanie
 na odejmowanie
 na mnożenie
 na dzielenie (na mieszczenie lub na

podział)


Zadania ZŁOŻONE – należy rozwiązać za pomocą więcej

niż jednego działania

2) Ze względu na liczbę prawidłowych

rozwiązań

 Zadania ZAMKNIĘTE – posiadają dokładnie jedno
rozwiązanie

 Zadania OTWARTE – posiadają więcej niż jedno, uważane za
poprawne rozwiązanie
należy do nich zaliczyć zadania celowo
źle sformułowane:
 z niedoborem danych

 z nadmiarem danych

 z danymi sprzecznymi

3) Ze względu na budowę

 Zadania ARYTMETYCZNE – każdy podtyp wymaga innej
operacji (klasa I)
 na dodawanie
 na odejmowanie
 na mnożenie
 na dzielenie (na mieszczenie lub na podział)

 Zadania TYPOWE (klasa I i II)
 na porównywanie różnicowe
 na porównywanie ilorazowe
 na sprowadzanie do jedności –
zawierają dane półjawne powiązane zależnościami.
Np. Jedna gazeta kosztuje 6 zł. Ile trzeba zapłacić za 2 takie gazety?

 Zadania ALGEBRAICZNE – można je rozwiązywać
za
pomocą równań (klasa
II)

 Na obliczanie pierwszego niewiadomego składnika przy

danej sumie i drugim składniku

 Na obliczanie drugiego niewiadomego składnika przy

danej sumie i pierwszym składniku

 Na obliczanie niewiadomego odjemnika przy danej

różnicy i odjemnej

 Na obliczanie niewiadomej odjemnej przy danej różnicy

i odjemniku

 Na obliczanie pierwszego niewiadomego dzielnika przy

danej dzielnej i ilorazie

 Na obliczanie pierwszego niewiadomej dzielnej przy

danym dzielniku i ilorazie

 Na obliczanie pierwszego niewiadomego czynnika przy danym

iloczynie i drugim czynniku

Np. W sadzie rosły jabłonie, po 5 w każdym rzędzie.
Razem rosło 15 jabłoni. W ilu rzędach rosły jabłonie?
x • 5 = 15

 Na obliczanie drugiego niewiadomego czynnika przy danym

iloczynie i pierwszym czynniku

Np. Krawcowa uszyła 4 bluzki. Do każdej przyszyła po tyle samo
guzików. Zużyła 12 guzików. Po ile guzików zużyła do jednej
bluzki?
4 • x = 12

Wprowadzanie prostych zadań

arytmetycznych na mnożenie

Pojęcie mnożenia wyjaśnia się uczniom jako dodawanie

jednakowych składników, wymagając przy tym operowania
grupami przedmiotów, czynności te powinny być również
stosowane przy wprowadzaniu zadań tekstowych na
mnożenie.

I ETAP

Żeby skłonić uczniów do liczenia grupami, dobrze jest redagować
zadania w następującej formie:
Weronika brała z cukiernicy 3 razy po 2 kostki cukru. Ile

kostek cukru wzięła Weronika z cukiernicy?

W trakcie tego zadania zwrócimy uwagę na 2 elementy:

1) Ile razy brała Weronika cukier z cukiernicy?

2) Ile kostek cukru brała za każdym razem?

„trzy razy po dwa”

Po takiej analizie uczniowie mogą już samodzielnie imitować
praktyczne czynności wskazywane w zadaniu i opisywać je
werbalnie.

II ETAP

W następnym etapie realne manipulacje grupami

przedmiotów możemy już zastępować czynnościami

umownymi na rysunkach

.

Powinniśmy przy tym

uświadomić uczniom, że zapis formuły mnożenia jest
prostszy i oszczędniejszy od rozwiniętej formuły
dodawania.

Możemy to pokazać na przykładzie analizy następującego

zadania:

Tata podlewał warzywa na działce. Przyniósł 5 razy po dwa

wiadra wody. Ile wiader przynosił zużył tata do
podlewania?

1) Czynności orientacyjne:
- Ile razy przynosił tata wodę na grządki

- 5 razy

- Po ile wiader przynosił tata za każdym razem?

- Po 2 wiadra

2) Czynności ruchowe:
- Ułóżcie na stolikach patyczki tak, jak tata przynosił

wodę w wiadrach

3) Czynności werbalne
- Jak ułożyliście swe patyczki?

- 5 razy po 2 patyczki

- W jaki sposób tata nosił wiadra z wodą?

- Pierwszy raz 2 wiadra, drugi raz 2... i piąty raz 2 wiadra

4) Czynności umowne
- Zilustrujcie to zadanie w zeszycie tak żeby było widać

jak tata nosił wodę

5) Czynności werbalne:
- Jak narysowaliście swe kreseczki w zeszycie?

- 5 razy po 2 kreseczki

- Dlaczego narysowaliście kreski parami?

- Bo tata nosił po 2 wiadra

- Ile takich par narysowaliście?

- 5, bo tata nosił 5 razy po 2 wiadra

- Co mamy obliczyć w tym zadaniu?
-

Ile wiader przyniósł tata razem

- Jakim działaniem możemy to obliczyć?
-

Dodawaniem

6) Czynności symboliczne:
- Zapiszcie to działanie pod rysunkiem i obliczcie jego

wynik

Zapis: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

7) Czynności werbalne:
- Ile razy powtarza się składnik 2 w tym wzorze?
- 5 razy
Wyjaśnienie nauczyciela: ten wzór można zapisać krócej

w taki sposób:

Zapis: 5 · 2 = 10
Czytamy go tak: 5 razy 2 równa się 10.

III ETAP

Na następnych lekcjach uczniowie mogą już ilustrować

zadania na mnożenie za pomocą rysunków konkretnych i
schematów.

Zadanie:
Adam zapakował po 6 bombek do 4 pudełek. Ile bombek było

w tych pudełkach?

6 + 6 + 6 + 6 =

24

4 • 6 =

24

Odp. : W pudełkach były 24 bombki.

IV ETAP

Kiedy dzieci będą już bez trudu przekształcać formuły

dodawania w formuły mnożenia, zrezygnujemy z
zapisywania podwójnych wzorów matematycznych,
polecając im zapisywać tylko same formuły mnożenia.
Najpierw należy formuły te rejestrować na schematach:
grafach strzałkowych czy drzewkach, a dopiero później w
postaci symbolicznej.

Zadanie:
Mama kupiła 3 bułki po 8 zł. Ile zapłaciła?

•

8

3

•

8 =

24

Odp. : Mama kupiła 24 bułki.

Zadanie:
Każdy koń ma ... nogi. Ile nóg ma 6 koni?

6

4

•

6 • 4 = 24

Ułóż podobne zadania o palcach, żeby pasowały do
wzorów:

5 • 4 =

4 • 10 =

2 • 20 =

Odp. : 6 koni ma 24 nogi.

V ETAP

Rozwiązywaniu zadań na mnożenie powinny stale towarzyszyć
próby układania takich zadań. Podstawą tej pracy mogą być:

Rysunki:

Ułóż zadanie do rysunku i pytania: Ile tulipanów jest w
tych wazonach?

Schematy:

Dokończ zadanie i rozwiąż je:
Tomek robił ramkę z listewek. Uciął ............

Wzory:
Ułóż zadanie pasujące do wzoru i pytania podanego poniżej:
6 • 2 =
Ile pieniędzy miał Dawid w skarbonce?

Przykłady zadań złożonych

• Zadania arytmetyczne

 Mama kupiła 4 pudełka po 6 szklanek w każdym.

Ustawiła te szklanki w kredensie w 3 równych rzędach.
Po ile szklanek stało w każdym rzędzie?

4 • 6 : 3 =

 Monika dostała od mamy 8 monet pięciozłotowych. 3

monety wrzuciła do skarbonki, a za resztę kupiła
słodycze dla siebie i koleżanek. Ile kosztowały
słodycze?

(8 – 3) • 5 =

 Klasa III wybrała się do kina. Dla 24 chętnych uczniów

kupiono bilety i popcorn - w sumie po 19 zł, a dla
reszty same bilety po 14 zł. Klasa liczy 33 uczniów. Ile
zapłacono za wszystko?

24 • 19 + [(35-24) • 14] =

• Zadania typowe – na porównywanie ilorazowe

 Siostra Mateusza ma 4 lata, Mateusz jest 2 razy starszy

od siostry, a mama jest 5 razy starsza od Mateusza. Ile
lat ma mama?

(4 • 2) • 5 =

 Paulina zerwała w ogrodzie 16 tulipanów, róż 4 razy

mniej, a konwalii 2 razy więcej niż tulipanów. Ile
kwiatów zerwała Paulina w ogrodzie?

16 + (16 : 4) + (16 • 2) =

Zadania typowe – na sprowadzanie do

jedności

 Za 5 jogurtów zapłacono 10 zł. Ile trzeba zapłacić za 8

jogurtów?

(10 : 5) • 8

 Tata kupił dla mamy za 981 zł 4 m materiału białego i 5

m materiału niebieskiego. Oba rodzaje materiału były w
tej samej cenie za metr. Ile kosztował materiał biały a
ile niebieski?

[207 : (4 + 5)] • 4 =
[207 : (4 + 5)] • 5 =

 W 6 pojemnikach jest jest 48 litrów benzyny, a w

beczce mieści się 5 razy więcej benzyny niż w
pojemniku. Ile benzyny mieści się w cysternie skoro
można do niej wlać 20 beczek benzyny?

(48 : 6) • 5 • 20 =

Zadania algebraiczne

 Do klasy przyniesiono 3 tace, a na każdej 10 szklanek

herbaty. Po wypiciu herbaty przez uczniów na tacach
zostało 7 szklanek z herbatą. Ile szklanek herbaty wypili
uczniowie?

(3 • 10) – x = 7
30 – x = 7
x = 30 - 7

 Do sklepu obuwniczego dostarczono obuwie. Wśród

dostawy było 6 kartonów zawierających po 10 par
butów męskich, 9 kartonów mieszczących po 8 par
butów damskich i 5 kartonów z obuwiem dziecięcym.
Łącznie dostawa zawierała 232 pary butów. Po ile par
butów dziecięcych zawierał każdy karton?

6 • 10 + 9 • 8 + 5 • x = 232
60 + 72 + 5 • x = 232
132 + 5 • x = 232
5 • x = 232 – 132
x = (232 – 132) : 5

Bibliografia:

• Maria Cackowska: Rozwiązywanie zadań tekstowych w

klasach I-III

• Maria Frindt, Joanna Jednoralska : Myślę i liczę.

Matematyka klasa 3

• Grażyna Lech: Kształcenie zintegrowane : szkoła

podstawowa. (Ja i mój uczeń pracujemy aktywnie.
Scenariusze lekcji z wykorzystaniem metod
aktywizujących)

• Zbigniew Semadeni : Edukacja matematyczna dla szkoły

podstawowej : etap I "Przyjazna matematyka" : klasy I-III

• Zbigniew Semadeni: Nauczanie początkowe matematyki
(Tom I i III)
• Edmund Stucki: Nauczanie matematyki w klasach niższych

( Część II i III)