GRAFIKA INŻYNIERSKA

dr inż. Rafał Podsiadło

Plan przedmiotu

•

Podstawowe wiadomości o graficznym zapisie konstrukcji

•

Rodzaje rzutowania

•

Rzut prostokątny na rzutnie wzajemnie prostopadłe

•

Rzuty punktu, prostej, płaszczyzny

•

Obroty podstawowych figur geometrycznych

•

Kłady

•

Wielościany w rzucie prostokątnym

•

Rzuty brył obrotowych

•

Normalny układ rzutów prostokątnych

•

Dimetria ukośna

•

Izometria

•

Podstawowe zasady rysunku technicznego

•

Szczegółowe zasady rysunku technicznego elektrycznego

•

Aplikacje komputerowe wspomagające projektowanie komputerowe

Literatura

• Z. Bajkowski Podstawy zapisu konstrukcji. OW PW 2005
• M. Suseł, K Makowski Grafika inżynierska z zastosowaniem

programu AutoCad OW PWr 2005

• T. Dobrzański Rysunek techniczny maszynowy. WNT 2004
• A. Pikoń Autocad 2005 – pierwsze kroki. Wyd. Helion Gliwice

2004

• K. Paprocki Zasady zapisu konstrukcji. OW PW 2000
• W. Lewandowski Geometria wykreślna. PWN 1975 i nowsze
• K. Michel, T. Sapiński Rysunek techniczny elektryczny. WNT

Warszawa 1987

• Rysunek techniczny elektryczny. Zbiór Polskich Norm. Wyd.

Normalizacyjne „Alfa” 1986

• Poradnik inżyniera elektryka, t. I. WNT Warszawa 1996

Rodzaj i zastosowanie zapisu

graficznego

• Działania techniczne można określić jako proces uzyskiwania

i przekazywania informacji.

NADAWCA > INFORMACJA > ODBIORCA

PROJEKTANT, KONSTRUKTOR > ZAPIS KONSTRUKCJI >

WYKONAWCA

Szczegółowy łańcuch działań technicznych:
• projektowanie – konstruowanie (uzyskiwanie obiektow

nierzeczywistych – utworów),

• graficzny zapis konstrukcji
• wytwarzanie (uzyskanie obiektów rzeczywistych –

wytworów),

• eksploatacja (użytkowanie obiektów rzeczywistych –

zaspokajanie potrzeb).

Rodzaj i zastosowanie zapisu

graficznego

Zapis graficzny realizujemy przez:



Rysunki projektowe – stanowią zapis

graficzny koncepcji obiektu (całości lub tylko

jego części) mogą występować w kilku

wersjach.



Rysunki konstrukcyjne – szczegółowy zapis

graficzny konstrukcji stanowi podstawę do

procesu wytworzenia obiektu.



Rysunek poglądowy – zawiera wstępne

informacje dla potencjalnych użytkowników

wytworu dla potrzeb eksploatacji

Rodzaj i zastosowanie zapisu

graficznego

• Rysunek złożeniowy – zapis geometrycznej

postaci konstrukcyjnej całego układu,

umożliwiający jednoznaczną identyfikację

wzajemnej zależności między elementami

układu i ich współpracy. W przypadku układów

bardziej złożonych wykonuje się dodatkowo

rysunki złożeniowe podzespołów wchodzących

w skład układu. Na rysunkach złożeniowych

często umieszcza się uwagi odnośnie montażu i

regulacji układu lub podzespołu.

• Rysunki elementów – rysunki konstrukcyjne

kolejnych elementów podzespołu i układu.

Rodzaj i zastosowanie zapisu

graficznego

Zapis graficzny konstrukcji powinien być zgodny z

zasadą jednoznaczności i zasadą zupełności.

 Zasada jednoznaczności – każdy graficzny zapis

konstrukcji powinien być wykonany za pomocą

jednoznacznych znaków i symboli, Przy wykonywaniu

rysunku należy unikać nadmiarowości podawanych

informacji, gdyż może to być przyczyną sprzeczności i

błędów.

 Zasada zupełności – graficzny zapis konstrukcji

powinien być zupełny ze względu na swoje

przeznaczenie, czyli powinien zawierać wszystkie

konieczne i wystarczające informacje.

Rodzaj i zastosowanie zapisu

graficznego

Dla ujednolicenia zasad i przepisów w różnych

branżach technicznych stworzono przepisy i normy

krajowe oraz międzynarodowe, obowiązujące w

różnych krajach, maja one za zadanie ułatwić

współpracę.

 Normalizacja – obejmuje ustalenie wymiarów, kształtów

i rodzaju zastosowanego materiału (tworzywa) i

odbioru technicznego wytwarzanych obiektow,

 Unifikacja – wprowadzenie zastosowania w wielu

konstrukcjach jednakowych elementów (części) czy

zespołów, przedstawionych najczęściej w formie

zaleceń niż obowiązku realizowania.
Normalizacja i unifikacja prowadzi do zmniejszenia

kosztów wytwarzania (produkcji) maszyn i urządzeń.

Rodzaj i zastosowanie zapisu

graficznego

Rozwój sprzętu i oprogramowania
komputerowego oraz wymagania
odnośnie szybkości tworzenia
konstrukcji przyczynił się do stworzenia
nowej dziedziny,
Komputerowe Wspomaganie
Projektowania z ang. znana jako CAD
(Computer Aided Design).

GEOMETRIA WYKREŚLANA

WIADOMOŚĆI OGÓLNE

WYBRANE ZAGADNIENIA

GEOMETRIA WYKREŚLANA

WIADOMOŚĆI OGÓLNE

• Geometria wykreślna jest to nauka

o metodach odwzorowania
utworów przestrzeni
trójwymiarowej na
dwuwymiarowej płaszczyźnie
rysunku.

• Elementami utworów przestrzeni

są punkty, proste i płaszczyzny,

GEOMETRIA WYKREŚLANA

WIADOMOŚĆI OGÓLNE



Oznaczenia:

A, B, C, 1,2, 3 , I, II, III – punkty
a, b, c – proste,
α, β, γ- płaszczyzny
Utwór przestrzeni odwzorowujemy

na płaszczyźnie rysunku tzw.
rzutni, rzutując go na tę rzutnię.

Rzutowanie

• Rzut – w geometrii odwzorowanie przestrzeni euklidesowej

trójwymiarowej na daną powierzchnię, zwaną rzutnią, w ten

sposób, że każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest punkt

przecięcia się prostej, przechodzącej przez dany punkt, z

rzutnią.

• W zależności od sposobu prowadzenia prostych rzutujących

wyróżnia się rzuty:

• rzut równoległy - wszystkie proste rzutujące są równoległe do

obranego kierunku

– prostokątny - kierunek rzutowania jest prostopadły do

rzutni

– ukośny - kierunek rzutowania nie jest prostopadły do rzutni
– aksonometria - dostosowanie kierunku rzutowania i

orientacji rzutni do kształtu rzutowanego obiektu

• rzut środkowy (perspektywa) - wszystkie proste przechodzą

przez pewnien punkt zwany środkiem rzutu

• Rzutnia jest najczęściej płaszczyzną, choć stosuje się również

rzuty na powierzchnię kuli, walca, stożka i inne.

GEOMETRIA WYKREŚLANA

WIADOMOŚĆI OGÓLNE

Istnieją różne rodzaje rzutowania m.in :
 rzut środkowy

A

A’

S

C=C
’

B

B’

a

b

c

π

Przyjmujemy środek
rzutowania punkt S oraz
rzutnię π nie przechodzącą
przez S. Punkty rzutujemy na
rzutni ę za pomocą wiązki
prostych rzutujących o
wierzchołku S.

GEOMETRIA WYKREŚLANA

WIADOMOŚĆI OGÓLNE

 rzut równoległy

Rzutem równoległym
punktu A na π nazywa
się punkt A; w którym
prosta a, przechodząca
przez A i równoległa do k
przebija π.

A

A’

C=C
’

B

B’

a

b

π

c

k

GEOMETRIA WYKREŚLANA

WIADOMOŚĆI OGÓLNE

 rzut równoległy

• Rzutem równoległym

prostej jest prosta lub
punkt.

• Szczególnym przypadkiem

rzutu równoległego jest
rzut równoległy
prostokątny (rzut
prostokątny)
charakteryzujący się
prostopadłością
rzutowania.

• Rzut prostokątny ma w

technice znaczenie
zasadnicze.

b’

b

π

k

a’

k

π

b’

Zasady rzutu równoległego

• Rzut równoległy na płaszczyznę – to odwzorowanie

przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej na daną płaszczyznę

w ten sposób, że każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest

punkt przecięcia się prostej, równoległej do kierunku

rzutowania, przechodzącej przez dany punkt, z płaszczyzną.

• Szczególne rodzaje rzutu równoległego to rzut prostokątny i

aksonometria.

• Przyjmijmy dowolną płaszczyznę π zwaną rzutnią, prostą k (nie

leżącą w płaszczyźnie π i nierównoległą do niej) zwaną

kierunkiem rzutowania oraz proste (równoległe do prostej k),

zwane prostymi rzutującymi. Rzutem równoległym dowolnego

punktu A na rzutnię jest punkt A’ , w którym prosta rzutująca

a przechodząca przez punkt A przebija rzutnię. Rzutem

równoległym punktu B leżącego na rzutni jest pokrywający się

z nim punkt B’. Rzutami równoległymi punktów C i D leżących

na wspólnej prostej rzutującej c są pokrywające się punkty C’ i

D’.

Rzut równoległy punktu

Zasady rzutu równoległego

• Każdy punkt P przestrzeni ma więc tylko jeden swój

rzut równoległy P' na rzutni π. Natomiast każdy punkt

P' na rzutni może być rzutem dowolnego punktu P,

leżącego na prostej rzutującej π przechodzącej przez

punkt P'.

• Rzutem równoległym prostej jest prosta lub punkt,

będące zbiorem rzutów równoległych punktów tej

prostej. Jeśli prosta jest równoległa do rzutni — jej rzut

jest równoległy do prostej, jeśli jest równoległa do

prostej k — jej rzutem jest punkt.

• Rzutem równoległym figury jest figura lub odcinek,

będące zbiorem rzutów równoległych wszystkich

punktów tej figury. Jeśli figura jest równoległa do rzutni

— jej rzutem jest taka sama figura.

Rzut równoległy prostej

Zasady rzutu równoległego

• Rzutem równoległym figury jest figura lub odcinek,

będące zbiorem rzutów równoległych wszystkich

punktów tej figury. Jeśli figura jest równoległa do

rzutni — jej rzutem jest taka sama figura.

• Rzutem równoległym bryły jest figura. Nie można

więc z takiego rzutu zorientować się o kształcie bryły

(obie przedstawione bryły: graniastosłup i walec mają

takie same rzuty - prostokąty).

• Jeśli kierunek rzutowania k jest prostopadły do rzutni

p, uzyskany rzut nazywany rzutem równoległym

prostokątnym lub krócej — rzutem prostokątnym.

W dalszych rozważaniach będziemy posługiwać się

rzutem prostokątnym.

Rzut równoległy figury

Rzut równoległy bryły

Zasady rzutu prostokątnego

• Przy rzutowaniu równoległym na jedną rzutnię

nie można odtworzyć położenia rzutowanego

elementu (punktu, prostej, figury) w

przestrzeni, zaś w przypadku bryły —

dodatkowo jej kształtu. Metodę rozwiązania

tych zagadnień podał w XVIII w. G. Monge;

metoda rzutu prostokątnego na rzutnie

wzajemnie prostopadłe.

• Przyjmijmy dwie prostopadłe płaszczyzny —

rzutnie: poziomą π

1

i pionową π

2

. Rzutnie te

przecinają się wzdłuż osi rzutów Y.

Gaspard Monge 1746 -

1818

Francuski matematyk, fizyk, chemik,
uważany za twórcę geometrii
wykreślnej.
Monge w swym życiu pełnił wiele
różnych funkcji. Od 1780 r. był
członkiem Akademii Nauk w Paryżu. Był
jednym z organizatorów École
Polytechnique, ministrem marynarki,
oficerem artylerii, baronem,
pedagogiem, organizatorem przemysłu
obronnego, działał w komisji ustalającej
miary i wagi.
Napisał wiele prac z metalurgii, optyki,
mechaniki, chemii. Był
współredaktorem encyklopedii,
autorem słownika filozoficznego.
Interesował się możliwościami lotów w
powietrzu. Jako matematyk zajmował
się rachunkiem różniczkowym,
całkowym i wariacyjnym.
W latach 1798 - 1799 uczestniczył w
wyprawie Napoleona do Egiptu.

Zasady rzutu prostokątnego

• Układ rzutni wzajemnie prostopadłych

jest przestrzenny i niewygodny do
operowania, sprowadzimy więc obie
rzutnie do płaszczyzny rysunku,
obracając rzutnię p

1

o kąt 90° dokoła osi

Y aż do pokrycia się z rzutnią p

2

. Rzutnie

przedstawione są teraz symbolicznie w
postaci prostokątów, z których
rysowania rezygnujemy, zaznaczając
jedynie oś rzutów Y.

Płaski układ rzutni Monge'a

Zasady rzutu prostokątnego

• W uzasadnionych przypadkach

wprowadzamy trzecią rzutnię: boczną π

3

,

prostopadłą do rzutni π

1

i π

2

i przecinającą

się z nimi wzdłuż osi X i Z (rys. d). Taki

układ rzutni, sprowadzony do płaszczyzny

rysunku (przez obrót rzutni π

1

i π

3

o kąt

90° dokoła osi Y i Z do pokrycia się z

rzutnią π

2

) przedstawiono na rys. e.

Podobnie jak poprzednio, rezygnujemy z

rysowania prostokątów, zaznaczając

jedynie osie rzutów X, Y i Z (rys. f).

Przestrzenny układ rzutni

Monge'a

Rzuty punktu

• Na rysunku przedstawiono sposób znajdowania rzutów

prostokątnych dowolnego punktu przestrzeni na kolejne rzutnie.

• Przez prowadzenie przez punkt prostych rzutujących

prostopadłych do odpowiednich rzutni znajduje się rzuty punktu:

poziomy A', pionowy A’’, boczny A'".

Rzuty punktu

• W układzie płaskim rzuty dowolnego punktu leżą na

prostych, prostopadłych do osi rzutów. Odległości rzutów

punktu od osi rzutów są określone przez wysokość,

głębokość i szerokość punktu.

• Wysokość punktu w jest to jego odległość od rzutni

poziomej (równa odległości rzutów A" i A'" od osi rzutów).

Punkty leżące na rzutni poziomej mają wysokość równą

zeru.

• Głębokość punktu g jest to jego odległość od rzutni

pionowej (równa odległości rzutów A' i A'" od osi rzutów).

Punkty leżące na rzutni pionowej mają głębokość równą

zeru.

• Szerokość punktu s jest to jego odległość od rzutni

bocznej (równa odległości rzutów A' i A" od osi rzutów).

Rzuty leżące na rzutni bocznej mają szerokość równą zeru.

• Położenie dowolnego punktu P przestrzeni można więc

ściśle określić przez podanie jego współrzędnych:

głębokości g, wysokości w i szerokości s:

P(g, w, s).

Przykład

• Dane są rzuty: poziomy i pionowy punktu A.

Wyznaczyć rzut boczny.

Przykład

• Dane są rzuty: poziomy i pionowy punktu A. Wyznaczyć rzut boczny.

• Rzut boczny wyznacza się przenosząc odpowiednie współrzędne

punktu (liniami z oznaczonymi strzałkami).

• Na rysunku podano 3 różne sposoby przeniesienia współrzędnej g:

promieniem (rys. a) oraz prostymi (rys. b i c). Przeniesienie

promieniem jest najdokładniejsze, gdyż przeniesienie prostą przy

niedokładnie odmierzonym kącie 45° wprowadza błędy.

Rzuty prostej

• W celu znalezienia rzutów dowolnej prostej m można

zastosować dwie metody:

• a. Poprowadzenie przez prostą m dwóch płaszczyzn: a

1

i

b

2

. Krawędzie przecięcia tych płaszczyzn z rzutniami

wyznaczają rzuty prostej: poziomy m' i pionowy m".

Rzuty prostej

• b. Obranie na prostej m dwóch dowolnych punktów

A i B, wyznaczenie ich rzutów poziomych i

pionowych i wykreślenie przez nie rzutów prostej.

Rzuty prostej

• Za pomocą drugiej metody można łatwo wyznaczyć rzut

boczny m'" prostej m, przez wyznaczenie rzutów bocznych
A'" i B'" punktów A i B prostej m.

Rzuty prostej w szczególnych

położeniach

•

a. Prosta m przebija rzutnie. Punkty przebicia są to:

ślad poziomy H

m

i ślad pionowy V

m

prostej m. Ślady

prostej mają swoje rzuty H

m

” i V'

m

, leżące na osi rzutów.

Rzuty prostej w szczególnych

położeniach

• b. Prosta m leży w płaszczyźnie aY.

Rzuty prostej w szczególnych

położeniach

• c. Prosta m π

1

— prosta pionowa.

Rzuty prostej w szczególnych

położeniach

• d. Prosta m  π

2

— prosta celowa.

Rzuty prostej w szczególnych

położeniach

• e. Prosta m || π

1

— prosta pozioma.

Rzuty prostej w szczególnych

położeniach

• f. Prosta m || p

2

— prosta czołowa.

Rzuty prostej w szczególnych

położeniach

• g. Prosta m || Y

Rzuty prostej w szczególnych

położeniach

Prosta m leży na rzutni 

1

Prosta m leży na rzutni 



Prosta m przecina oś
rzutów

Przykład

• Dane są rzuty poziomy i pionowy prostej a.

Znaleźć rzut boczny prostej.

Przykład

• Dane są rzuty poziomy i pionowy prostej a. Znaleźć rzut boczny prostej.
• Znajdujemy rzuty śladu poziomego H

a

” i pionowego V

a

’ na osi Y oraz

ślady H

a

i V

a

, a następnie ich rzuty boczne: H

a

’’’ i V

a

’’’ i rzut boczny a'"

prostej.

PŁASZCZYZNA

• Położenie płaszczyzny w przestrzeni

najwygodniej jest określić za

pomocą krawędzi jej przecięcia z

rzutniami, czyli śladów

płaszczyzny. Na poniższych

rysunkach przedstawiono różne

przypadki położenia płaszczyzny

oraz rzuty dowolnego punktu

leżącego na płaszczyźnie.

Płaszczyzna

α

położona dowolnie — przecina

kolejne rzutnie wzdłuż śladów: poziomego h

a

,

pionowego v

a

i bocznego k

a

Płaszczyzna

α

 π

1

— poziomo

rzutująca

Płaszczyzna

α

 π

2

— pionowo

rzutująca

Płaszczyzna

α

|| π

1

— płaszczyzna

pozioma

Płaszczyzna α || π

2

— płaszczyzna

czołowa

Płaszczyzna α || Y

Jeśli prosta l leży na płaszczyźnie

α

, to w ogólnym

przypadku jej ślad poziomy H

l

leży na śladzie

poziomym h

a

płaszczyzny, zaś ślad pionowy V

l

leży

na śladzie pionowym v

a

płaszczyzny

Prosta pozioma: jej rzut poziomy jest

równoległy do śladu poziomego płaszczyzny, zaś

rzut pionowy - równoległy do osi rzutów

Prosta czołowa: rzut pionowy jest

równoległy do śladu pionowego

płaszczyzny, zaś rzut poziomy -

równoległy do osi rzutów

Przykład 1: Dany jest

rzut pionowy

l" prostej

l leżącej na danej
płaszczyźnie α.
Znaleźć rzut poziomy l'
prostej.

Przykład 1: Dany jest rzut

pionowy

l" prostej l leżącej

na danej płaszczyźnie a.
Znaleźć rzut poziomy l'
prostej. Znajdujemy ślad
pionowy V

l

prostej (na

śladzie v

a

oraz rzut

pionowy H

l

" jej śladu

poziomego (na osi rzutów).
Prowadząc proste
odnoszące znajdujemy
punkty H

l

(na śladzie h

a

) i

V

l

(na osi rzutów),

wyznaczające rzut poziomy
l' prostej.

Przykład 2. Dane są
rzuty prostej l.
Poprowadzić przez
prostą l:
- płaszczyznę dowolną
α,
- płaszczyznę poziomo-
rzutującą b,
- płaszczyznę pionowo-
rzutującą g.

Po wyznaczeniu
punktów H

l

" i V

l

’

znajdujemy ślady:
poziomy H

l

i pionowy

V

l

prostej l, przez które

rysujemy zadane ślady
płaszczyzn.

PUNKT I PŁASZCZYZNA

• Jeśli punkt leży na płaszczyźnie, to leży na prostej

leżącej na tej płaszczyźnie.

• Przykład 1. Dana jest płaszczyzna a i rzut

poziomy A' punktu A leżącego na tej płaszczyźnie.
Znaleźć rzut pionowy A" punktu.

Wyznaczanie drugiego rzutu

punktu

•Zadanie rozwiązuje się przez wprowadzenie prostej leżącej na
płaszczyźnie α i przechodzącej przez punkt A. Może to być prosta
dowolna l (rys. a), prosta pozioma m (rys. b) lub prosta czołowa n (rys.
c).

Przykład 2. Dany jest rzut poziomy

A'B'C' trójkąta ABC leżącego na danej

płaszczyźnie a. Znaleźć rzut pionowy

trójkąta.

• a. Przez wierzchołki B i C

trójkąta prowadzimy prostą a
(rys. a), której rzut poziomy a'
przechodzi przez punkty B' i
C’. Znajdujemy rzut pionowy
a" prostej, a na nim rzuty B" i
C" wierzchołków trójkąta.
Podobnie przez wierzchołki A
i B, trójkąta prowadzimy
prostą c, której rzut poziomy
c' przechodzi przez punkty A'
i B'. Znajdujemy rzut pionowy
c" prostej (przechodzący
przez uprzednio znaleziony
punkt B"), a na nim rzut A"
wierzchołka trójkąta.

Zadanie rozwiążemy dwiema metodami:

• b. Przez wierzchołki

trójkąta prowadzimy
kolejno proste
czołowe l, m, n (rys.
b) i na ich rzutach
pionowych l", m",
n", znajdujemy
punkty A", B", C".

• Zadanie można

rozwiązać również
przez zastosowanie
prostych poziomych.

KRAWĘDŹ PRZECIĘCIA

PŁASZCZYZN

• Krawędź przecięcia płaszczyzn jest

to prosta, wzdłuż której przecinają
się te płaszczyzny. Na poniższych
rysunkach przedstawiono różne
przypadki przecinania się płaszczyzn

Płaszczyzny  i  dowolne

Płaszczyzna  poziomo rzutująca, płaszczyzna 

dowolna

Płaszczyzna  pozioma, płaszczyzna 

dowolna

Ślady poziome płaszczyzn  i 

równoległe

Płaszczyzny  i  poziomo rzutujące

RÓWNOLEGŁOŚĆ I

PROSTOPADŁOŚĆ PŁASZCZYZN

• Płaszczyzny równoległe mają

odpowiednio równoległe swoje ślady
poziome i pionowe.

• Dwie płaszczyzny są prostopadłe, jeśli

na jednej z nich leży prosta prostopadła
do drugiej płaszczyzny. Prostopadłość
prostej i płaszczyzny jest zachowana
wówczas, gdy odpowiednie rzuty prostej
i ślady płaszczyzny są prostopadłe.

Płaszczyzny równoległe

Prostopadłość prostej i płaszczyzny

(odpowiednie rzuty prostej i ślady

płaszczyzny prostopadłe)

I konstrukcja płaszczyzn prostopadłych

• Obieramy na

płaszczyźnie 

dowolną
pomocniczą prostą
a.

• Każda płaszczyzna

 prostopadła do

prostej a (h





 a',

v



 a") jest

prostopadła do
płaszczyzny



.

II konstrukcja płaszczyzn

prostopadłych

• Obieramy jako prostą

pomocniczą na

płaszczyźnie  ślad

poziomy h



.

• Płaszczyzna 

prostopadła do

płaszczyzny



ma ślad

poziomy h





 h



i

pionowy v



 Y (gdyż ślad

pionowy prostej

pomocniczej h



” pokrywa

się z osią rzutów).

III konstrukcja płaszczyzn

prostopadłych

• Obieramy jako

prostą pomocniczą

na płaszczyźnie 

ślad pionowy v



(rys. e). Płaszczyzna

 prostopadła do

płaszczyzny  ma

ślad pionowy v



 v



i poziomy h



 Y

(gdyż v



’ pokrywa

się z osią rzutów).

OBRÓT PUNKTU

• Punkt A przy obrocie dokoła prostej l (oś obrotu) zatacza

w płaszczyźnie  (płaszczyzna obrotu), prostopadłej do

osi obrotu okrąg o promieniu r (promień obrotu) i środku

S (środek obrotu). Po obrocie o kąt  (kąt obrotu) punkt

A zajmuje nowe położenie A

1

OBRÓT PROSTEJ I

FIGURY

• Przy obrocie prostej (figury)

dokonujemy obrotu dokoła osi
obrotu o takie same kąty obrotu
tylu punktów prostej (figury), by
ich nowe położenia określały tę
prostą (figurę).

Przykład: obrót odcinka

• Dane są rzuty: poziomy i

pionowy odcinka AB.

Wyznaczyć długość odcinka.

• Obrócimy odcinek AB do

położenia równoległego do

rzutni pionowej, wówczas

długość jego rzutu pionowego

będzie równa długości odcinka.

• Obracamy odcinek względem

osi l 





przechodzącej przez

punkt A o kąt , by rzut

poziomy A'B' był równoległy do

osi rzutów.

• Przy obrocie odcinka dokoła

prostej pionowej nie ulegną

zmianie:

— wysokości końców odcinka,
— długość rzutu poziomego

odcinka.

• Podobnie można wyznaczyć

długość odcinka AB przez jego

obrót dokoła prostej celowej

(l 





). Nie ulegają wówczas

zmianie głębokości końców

odcinka oraz długość jego

rzutu pionowego.

Przykład 2. Dane są rzuty trójkąta ABC. Wyznaczyć

wielkość trójkąta.

• Obracamy trójkąt

do położenia
równoległego do
rzutni poziomej
wokół osi obrotu l
przechodzącej
przez wierzchołek
A i znajdujemy
punkty B

1

’ i C

1

’.

KŁAD

• Kładem

płaszczyzny  na

rzutnię 

nazywamy obrót

płaszczyzny 

dokoła krawędzi

l ich przecięcia

się o taki kąt,

aby płaszczyzna

 pokryła się z

rzutnią. Leżące

na płaszczyźnie 

punkty

(A, B, C), odcinki

(a, b, c)

i figura (



ABC)

będą miały na

rzutni swoje

odpowiednie

kłady

(



A°, B°, C° ; a°,

b° , c° ;



A°B°C°).

Kład jest stosowany do wyznaczenia długości
odcinków lub kształtu figur, które leżą w
płaszczyźnie nachylonej do rzutni.

KŁAD PŁASZCZYZNY RZUTUJĄCEJ

(1)

• Przy kładzie płaszczyzny  na rzutnię poziomą dokonujemy obrotu

płaszczyzny dokoła śladu poziomego h



. Punkt A płaszczyzny zatacza łuk o

środku S (leżącym na śladzie h



i pokrywającym się z rzutem poziomym A'

punktu A) oraz promieniu równym wysokości w punktu A. Kładem śladu

pionowego v



jest v



°, prostopadły do śladu h



. Konstrukcja kładu punktu A

jest więc następująca:

• - wykreślenie przez rzut A' prostej prostopadłej do śladu h



,

• - odmierzenie na prostopadłej od rzutu A' wysokości punktu A.

KŁAD PŁASZCZYZNY RZUTUJĄCEJ

(2)

• Przy kładzie płaszczyzny  na rzutnię pionową dokonujemy obrotu płaszczyzny dokoła

śladu pionowego v



. Punkt A płaszczyzny zatacza łuk o środku S (leżącym na śladzie v



i

określonym wysokością punktu A) oraz promieniu równym odległości punktu A od śladu

v



. Kładem śladu poziomego h



jest h



°, pokrywający się z osią rzutów. Konstrukcja kładu

punktu A jest więc następująca:

- wykreślenie przez punkt A" prostej prostopadłej do śladu v



(równoległej do osi rzutów),

- odmierzenie na prostopadłej od punktu S odległości punktu A od śladu v



. Podobnie

postępuje się przy wyznaczaniu kładu płaszczyzny pionowo rzutującej na rzutnię.

Przykład. Dane są rzuty trójkąta ABC leżącego w

płaszczyźnie pionowo rzutującej α. Wyznaczyć

wielkość trójkąta.

• Zadanie rozwiązano dokonując kładu płaszczyzny α na rzutnię pionową

(rys. a) dokoła śladu v



oraz kładu płaszczyzny



na rzutnię poziomą

(rys. b) dokoła śladu h



.

Kład śladu płaszczyzny

•

Sposób znajdowania

kładu v



° śladu v



płaszczyzny na rzutnię

poziomą:

— obieramy na śladzie v



dowolny punkt P i

prowadzimy przez niego

płaszczyznę  prostopadłą

do płaszczyzny 

(poziomo rzutującą),

— przy obrocie płaszczyzny

 dokoła h



punkt P

zatacza łuk o promieniu r

= SP. Przecięcie tego łuku

ze śladem h



wyznacza

położenie kładu P °

punktu P, a tym samym -

położenie kładu v



°.

•

Trójkąty prostokątne Y



SP

i Y



SP° są takie same,

zatem ich

przeciwprostokątne Y



P i

Y



P° są równe. Przy

wyznaczaniu położenia

prostej v



° można więc

operować promieniem

R = Y



P.

•

Podobnie wyznacza się

położenie kładu h



° śladu

h



płaszczyzny przez

prowadzenie przez

obrany punkt na śladzie

h



płaszczyzny pionowo

rzutującej (rys b).

Kład prostej i punktu płaszczyzny

•

Dana jest płaszczyzna  i leżący na niej punkt A. Należy znaleźć kład tego punktu na rzutni

poziomej.

•

Przez punkt A kreślimy prostą poziomą p leżącą na płaszczyźnie , wyznaczając jej ślad V

p

na

śladzie v



. Metodą przedstawioną wyżej znajdujemy położenie kładów V

p

° i v



. Kładem prostej p jest

prosta p°, przechodząca przez punkt V

p

° i równoległa do h



.

•

Przez punkt A prowadzimy płaszczyznę

 prostopadłą do płaszczyzny  (poziomo rzutującą). Kład

A° punktu A znajduje się na przecięciu prostych p° i h



•

Opisaną metodą można znajdować kłady punktów dowolnej płaszczyzny, stosując różne proste.

Przykład

•

Dane są rzuty punktu A leżącego na płaszczyźnie . Znaleźć kład punktu A na rzutnię poziomą.

•

a. Przez punkt A prowadzimy dowolną prostą a płaszczyzny  (rys. a) i wyznaczamy kład V



°

śladu V

a

oraz kład v



° śladu v



. Kładem prostej a jest prosta a °, na której znajdujemy kład A°

punktu A.

•

b. Przez punkt A prowadzimy prostą poziomą p płaszczyzny  (rys. b) i wyznaczamy kład V

p

°

śladu V

p

oraz kład v



° śladu v



. Kładem prostej p (p' || h



) jest prosta p° || h



, na której

znajdujemy kład A° punktu A.

•

c. Przez punkt A prowadzimy prostą czołową c płaszczyzny  (

rys

. c). Obierając na śladzie v



dowolny punkt P wyznaczamy jego kład P° oraz kład v



° śladu v



. Kładem prostej c (c" || v



) jest

prosta c° || v



°, na której znajdujemy kład A ° punktu A.

•

Z przedstawionych sposobów rozwiązania zadania przypadki b) i c) są w praktyce prostsze.

KĄT NACHYLENIA PŁASZCZYZNY DO

RZUTNI

•

Jeśli płaszczyzna jest rzutująca (prostopadła do rzutni), kąt jej nachylenia do drugiej rzutni jest równy

kątowi między osią rzutów i odpowiednim śladem płaszczyzny (kąty  i  na rysunkach poniżej).

KĄT NACHYLENIA PŁASZCZYZNY DO

RZUTNI (2)

Sposób znalezienia kąta nachylenia

dowolnej płaszczyzny do rzutni

•

Przez dowolny punkt A

płaszczyzny  prowadzimy

prostą poziomą p oraz

płaszczyznę poziomo rzutującą 

 . Kąt  między płaszczyzną 

i rzutnią



1

jest to kąt między

krawędzią przecięcia płaszczyzn

k i jej rzutem k'. Dokonujemy

kładu krawędzi k na rzutnię

poziomą przez obrót płaszczyzny

 wokół śladu h



. Kąt ° między

kładem k° i rzutem k' jest równy

kątowi  nachylenia płaszczyzny

 do rzutni poziomej.

•

Kąt  między płaszczyzną

 i

rzutnią poziomą. Kreślimy rzut

poziomy p' dowolnej prostej

poziomej p (p' || h



) i znajdujemy

jej ślad V

p

na śladzie v



.

Kreślimy ślad h



 h



i z punktu

A' jego przecięcia z rzutem p'

odkładamy na rzucie p'

wysokość śladu V

p

, znajdując

punkt A°, który wyznacza kład

k° krawędzi przecięcia

płaszczyzn  i  (  ) oraz kąt

° równy kątowi między

płaszczyzną  i rzutnią poziomą.