Modele rynku

kapitałowego

1

Teoria optymalnego portfela inwestycyjnego

Markowitza

ma

charakter

modelu

normatywnego tzn. formułuje zasady
jakimi powinien kierować się racjonalny
inwestor podejmując decyzje inwestycyjne.

Kolejnym etapem analizy jest budowa

modelu określającego oczekiwaną stopę
zwrotu z inwestycji na rynku, na którym
inwestorzy postępują zgodnie ze wzorcem
normatywnym.

2

Model jednoczynnikowy (single index

model)

• Model jednoczynnikowy (Sharpe’a)

– prezentuje założenie o istnieniu wprost
proporcjonalnego

związku

między

zmianami cen akcji a zmianami wartości
portfela

rynkowego

(poziomem

indeksu). Kształtowanie się stóp zwrotu
z akcji na rynku zależy od jednego
ogólnego

czynnika,

określanego

mianem portfela rynkowego

3

Równanie linii

charakterystycznej (CL)

i

i

i I

i

r

r

a

b

e

= +

+

gdzie:
r

i

– stopa zwrotu z inwestycji i,

r

I

– stopa zwrotu z indeksu giełdowego,

α – wyraz wolny,
β – współczynnik beta,
ε – składnik losowy.

4

Interpretacja modelu

Sharpe’a

Model Sharpe’a to model liniowej zależności stopy

zwrotu akcji (portfela) od stopy zwrotu z portfela
rynkowego (indeksowego).

ε – składnik losowy modelu – efekt działania

wszystkich czynników niezwiązanych z indeksem
rynku – w praktyce często pomijany.

i

i

i I

r

r

a

b

= +

5

Współczynik β

Współczynnik β to miara wrażliwości

stopy zwrotu z akcji na stopę zwrotu
z portfela indeksowego.

2

iI

i

i

iI

I

I

Cov

s

b

r

s

s

=

=

6

Interpretacja współczynnika

β

• β

i

< 0 – stopa zysku danej akcji zmienia się w

przeciwnym kierunku niż stopa zysku indeksu
giełdowego

• β

i

= 0 – stopa zysku akcji nie jest zależna od zmian

rynkowych

• 0<β

i

<1 – stopa zysku akcji słabo zależy od zmian

rynkowych

• β

i

= 1 - stopa zwrotu akcji podlega takim samym

zmianom co indeks giełdowy

• β

i

> 1 – stopa zwrotu akcji zmienia się szybciej niż

stopa zwrotu z indeksu giełdowego, są to akcje
agresywne.

7

Współczynnik kierunkowy α

Współczynnik α reprezentuje wartość

oczekiwaną

wpływu

czynników

niezależnych od indeksu rynkowego
na stopę zwrotu z inwestycji:

8

( )

( )

i

i

i

I

E r

E r

a

b

=

-

Szacowanie parametrów linii

CL

gdzie:
r – średnia arytmetyczna stóp zwrotu

9

(

) (

)

(

)

1

2

1

N

it

i

It

I

i

i

N

It

I

i

i

i

i

I

r r

r

r

r

r

r

r

b

a

b

=

=

-

� -

=

-

= -

�

�

�

Współczynnik β portfela

β

portfela

to

średnia

ważona

współczynników

β

składników

portfela gdzie wagami są wartości
udziałów poszczególnych składników
w portfelu.

10

1

n

p

i

i

i

w

b

b

=

=

�

�

Dekompozycja ryzyka w modelu

Sharpe’a

gdzie:
– wariancja składnika losowego

Wariancja

stopy

zwrotu

jest

sumą

dwóch

składników.

11

2

2

2

2

I

e

s

b

s

s

=

� +

2

e

s

Dekompozycja ryzyka 2

Ryzyko

całkowite

=

ryzyko

systematyczne + ryzyko specyficzne

Ryzyko

systematyczne

(rynkowe)

–

składnik zależny od współczynnika β i
wariancji stopy zwrotu wskaźnika rynku

Ryzyko specyficzne – składnik zależny od

wariancji składnika losowego

12

Dywersyfikacja portfela

Dywersyfikacja portfela prowadzi do

eliminacji ryzyka specyficznego i
uśrednienia ryzyka rynkowego.

Portfel dobrze zdywersyfikowany:

13

2

2

2

p

p

I

s

b

s

=

�

Dywersyfikacja portfela

14

Ryzyko

Liczba spółek

Zadanie 1

Dany jest dobrze zdywersyfikowany portfel akcji o odchyleniu
standardowym stopy zwrotu z portfela wynoszącym 20%. Na podstawie
powyższych danych określ, ile wynosi współczynnik Beta tego portfela,
jeśli odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela rynkowego wynosi
16% zaś na rynku spełnione są założenia modelu jednoczynnikowego.

15

Zadanie 2

Współczynnik korelacji pomiędzy stopą
zwrotu z akcji X oraz stopą zwrotu z
portfela rynkowego wynosi 0,6. Na
podstawie powyższych danych określ,
jaką część ryzyka całkowitego akcji X
stanowi ryzyko specyficzne.

16

Zadanie 3

Doradca zarządza portfelem indeksowym, którego
odchylenie standardowe stopy zwrotu wynosi 14%.
Beta tego portfela wynosi 1,2. Stopa zwrotu z tego
portfela wynosi 21%, zaś z portfela o Becie równej 1
stopa zwrotu wynosi 17%. Wariancja stopy zwrotu z
portfela rynkowego wynosi 0, 0121. Ile wynosi w
przybliżeniu wartość ryzyka specyficznego tego
portfela mierzona odchyleniem standardowym?

17

Capital Asset Pricing Model

(CAPM)

Model CAPM (Capital Assets Pricing

Model) to model równowagi rynku
kapitałowego. Opisuje on wypadkową
działań racjonalnych inwestorów na
rynku kapitałowym a w szczególności
kształtowanie się stóp zwrotu (i cen)
instrumentów finansowych.

18

Założenia modelu

• Każdy inwestor ocenia portfele przez pryzmat oczekiwanej stopy zwrotu i

odchylenia standardowego stopy zwrotu w horyzoncie czasowym jednego
okresu inwestycyjnego.

• Inwestor zawsze wybiera portfel o wyższej oczekiwanej stopie zwrotu (jeśli

pozostałe parametry portfeli są jednakowe).

• Inwestor wykazuje awersję do ryzyka a więc zawsze wybiera portfel o niższym

odchyleniu standardowym (jeśli inne parametry portfeli są jednakowe).

• Poszczególne aktywa są nieskończenie podzielne tak, że inwestor może nabyć

dowolny ułamek akcji.

• Na rynku dana jest jedna stopa procentowa (stopa wolna od ryzyka), po której

możliwe jest udzielenie lub zaciągnięcie pożyczki bez ryzyka.

• Dopuszczalna jest nieograniczona krótka sprzedaż papierów wartościowych
• Brak podatków i kosztów transakcyjnych.
• Informacja jest swobodnie i bezpłatnie dostępna dla wszystkich inwestorów.
• Inwestorzy mają jednorodne oczekiwania w odniesieniu do oczekiwanych stóp

zwrotu, odchyleń standardowych i kowariancji stóp zwrotu z aktywów.

• Pojedynczy inwestor nie jest w stanie wpłynąć swymi decyzjami na cenę

papieru wartościowego.

19

Zachowanie inwestorów

Ponieważ każdy inwestor ma z założenia jednakowe oczekiwania

odnośnie oczekiwanych stóp zwrotu i odchyleń standardowych
liniowe zbiory efektywne portfeli inwestycyjnych utworzone
zgodnie z metodyką modelu Markowitza są jednakowe dla
każdego inwestora.

Jedynym powodem, dla którego poszczególni inwestorzy będą

dokonywali wyboru różnych portfeli optymalnego z jednego,
wspólnego

zbioru

efektywnego

są

ich

zróżnicowane

indywidualne

preferencje

w

odniesieniu

do

ryzyka,

obrazowanego przez ich indywidualne krzywe obojętności.

Różnice te będą dotyczyły jedynie wielkości udziału w portfelu

aktywów wolnych od ryzyka lub wykorzystania kredytu na zakup
papierów wartościowych, podczas gdy proporcje udziału
poszczególnych aktywów obciążonych ryzykiem w portfelu
każdego inwestora będą jednakowe.

20

Zachowanie inwestorów

Inwestorzy będą wybierać portfele

efektywne leżące na linii CML

Równanie CML nie mówi nic o stopach

zwrotu z portfeli nieefektywnych
bądź z pojedynczych aktywów.

21













M

f

M

f

r

r

r

r

Przykład

Portfel

Oczekiwana stopa

zwrotu (%)

Beta

A

10

1,0

B

12

1,4

C

11

1,2

22

D

13

1,2

E

8

1,2

23

E(r)

β

A

B

C

D

E

Z powyższego przykładu wynika, że w

stanie równowagi wszystkie portfele
muszą

leżeć

na

linii

prostej

wykreślonej

w

układzie

współrzędnych oczekiwana stopa
zwrotu - β

24

Wyznaczanie prostej

Równanie prostej:

Wyznaczenie

prostej

wymaga

identyfikacji

dwóch

punktów

w

układzie współrzędnych:

25

i

i

r a b b

= + �

Wyznaczanie prostej

Punkt 1: portfel rynkowy (β = 1)

Punkt 2: portfel wolny od ryzyka (β = 0)

26

( )

1

:

M

M

r

a b

czyli

r

a b

= + �

- =

( )

0

f

f

czyli

r

a b

r

a

= + �

=

Linia SML (Securities Market

Line)

Podstawiając do równania prostej otrzymujemy:

Powyższe równanie określa oczekiwaną stopę

zwrotu z dowolnego portfela aktywów (nie tylko
efektywnego).

Równanie

wskazuje

liniową

zależność pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a
ryzykiem rynkowym.

27

(

)

i

fi

M

f

r r

r

r

b

= + �

-

Alternatywny zapis SML

Ponieważ:

Więc możemy zapisać:

Oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji jest równa

sumie stopy wolnej od ryzyka oraz iloczynu
rynkowej ceny ryzyka i ilości ryzyka w portfelu.

28

2

iM

i

M

Cov

b

s

=

2

M

f

M

f

iM

i

ff

iM

M

M

M

r

r

r

r

Cov

r r

r

Cov

s

s

s

-

-

�

�

�

�

= +

�

= +

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Interpretacja graficzna linii

SML

29

Ryzyko

β

A

B

C

B’

E

F

M

C’

Porównanie równań linii CML

i SML

CML to równanie zależności dochodu od ryzyka

całkowitego dla portfeli efektywnych.

SML to równanie zależności dochodu od ryzyka

systematycznego

dla

portfeli

dobrze

wycenionych.

W obu przypadkach stopa zwrotu może byś

interpretowana jako suma dwóch składników:
ceny czasu – stopy wolnej od ryzyka i ceny ryzyka
wyrażanej jako iloczyn rynkowej premii za ryzyko i
wielkości ponoszonego ryzyka.

30

Model Zero-Beta CAPM

Model Fischera Blacka zakłada brak

aktywów wolnych od ryzyka lecz
istnieje portfel aktywów mający β =
0.

31

(

)

z

M

z

r r

r

r

b

= + �

-

Model ICAPM (International CAPM)

Model ICAPM uwzględnia dwie modyfikacje – uwzględnia

globalny portfel akcji oraz premie za ryzyko kursów
walutowych:

gdzie:
r

w

– oczekiwana stopa zwrotu globalnego portfela

rynkowego

RP

j

– premia za ryzyko z tytułu kursu waluty j

β

j

– współczynnik wrażliwości stopy zwrotu na zmiany kursu

waluty j

32

(

)

1

1

...

f

w

w

f

k

k

r r

r

r

RP

RP

b

b

b

= + � -

+ �

+ + �

Zadanie 4

Linia

rynku

papierów

wartościowych

(SML)

określona

jest

następującymi parametrami: stopa zwrotu wolna od ryzyka r

f

= 6%;

stopa zwrotu z portfela rynkowego R

M

= 12%. Doradca inwestycyjny

rozważa zainwestowanie w jedną z dwóch akcji A lub B. Doradca
obliczył współczynniki β dla akcji A i B, które wynoszą odpowiednio β

a

=

0,8 β

b

= 1,4. Ponadto korzystając z analizy fundamentalnej doradca

oszacował przyszła stopę zwrotu z akcji A i B odpowiednio: R

a

= 4%, R

b

= 16%. Względem linii papierów wartościowych:

A. akcja A jest przewartościowana, akcja B jest niedowartościowana;
B. akcja A jest niedowartościowana, akcja B jest niedowartościowana;
C. akcja A jest przewartościowana, akcja B jest przewartościowana;
D. akcja A jest niedowartościowana, akcja B jest przewartościowana;

33

Zadanie 5

Dwa papiery wartościowe, których parametry podano
poniżej, są wycenione zgodnie z linią rynku papierów
wartościowych (Securities Market Line, SML). Ile
wynosi oczekiwana stopa zwrotu z papieru o
współczynniku beta równym 2,5 wycenionego zgodnie
z powyższą linią rynku papierów wartościowych.
 

Oczekiwana stopa

Beta

Zwrotu

Papier1

14% 1,5

Papier2

10% 0,5

34

Zadanie 6

Oczekiwana stopa zwrotu z portfela rynkowego wynosi 15%, a
stopa wolna od ryzyka 7% w skali roku. Beta akcji A wynosi 1,0
a Beta akcji B wynosi 0,8. Obecna cena akcji A wynosi 25 PLN
zaś cena akcji B wynosi 40 PLN. Oczekiwane za rok ceny akcji
(nie uwzględniające dywidendy) wynoszą odpowiednio: 27 PLN
dla akcji A i 45 PLN dla akcji B. Akcja A wypłaci za rok od
dzisiaj 1,75 PLN dywidendy a akcja B 2 PLN dywidendy.
Zgodnie z modelem CAPM, która z tych akcji jest dobrze
wyceniona:
A.Akcja A,
B.Akcja B,
C.Obie akcje,
D.Żadna z tych akcji.

35