14. Zmienne pole

elektromagnetyczne

A. Elektromagnetyzm

14. Zmienne pole

elektromagnetyczne

Elektromagnetyzm

Indukcja

elektromagnetyczna

14.1. Odkrycia Faradaya

Wiemy już, że pole elektryczne wywołuje w

przewodniku przepływ prądu elektrycznego I, który z
kolei wytwarza w przestrzeni wokół siebie pole
magnetyczne . Fakt ten został po raz pierwszy
stwierdzony w doświadczeniu Oersteda w roku 1820.
Natychmiast po tym wydarzeniu, zaczęto zastanawiać
się – czy zachodzi zjawisko odwrotne, czyli czy pole
magnetyczne

wytwarza pole elektryczne

,

a jeśli

tak, to jakie prawa rządzą tym procesem.

W 1831 roku, po dziesięciu latach wytrwałych

prób, Faradayowi udało się rozwiązać to zagadnienie,
do którego dążył. Wykonać eksperyment, który miał w
następstwie olbrzymie znaczenie dla rozwoju fizyki i
techniki. Na zjawisku tym bowiem opiera się m.in.
działanie podstawowych współczesnych źródeł energii
elektrycznej. Schemat doświadczenia przedstawia
rys.8.10.

E



E



B



B



D

_

+

K

1

G

A

B

B

2

G

2

I

2

+

_

I

1

1

Rys.8.10. Schemat oryginalnego

doświadczenia Faradaya

prowadzącego do odkrycia

zjawiska indukcji.

Rys.8.11. Powstawanie prądu

indukcyjnego I

2

w czasie

ruchu cewki z prądem I

1

.

Na

pręt

drewniany

D

nawinięte są dwa długie druty
miedziane. Przy nie zmieniającym
się natężeniu prądu w pierwszym
obwodzie, w drugim obwodzie
galwanometr G nie wskazywał
prądu,

natomiast

w

czasie

zwierania i rozwierania wyłącznika
K wskazówka galwanometru G
odchylała się nieco, a następnie
wracała

szybko

do

położenia

równowagi.

Wynik tego eksperymentu

świadczy o powstaniu w drugim
obwodzie krótkotrwałego prądu
nazwanego

później

prądem

indukcyjnym. Prąd indukcyjny w
obwodzie

drugim

płynął

na

wskutek

powstania

napięcia

między punktami A i B, zwanego
siłą elektromotoryczną indukowaną
(którą oznaczamy SEM).

D

_

+

K

1

G

A

B

B

2

G

2

I

2

+

_

I

1

1

Kierunki

prądów

indukowanych były dla przypadku
zwierania i rozwierania przeciwne.
Zamiast stosować gwałtowne zmiany
prądu przy użyciu klucza K Faraday
wskazał,

iż

prąd

indukowany

wytwarza

się

również

przy

łagodnych

zmianach

prądu

w

obwodzie

1,

uzyskanych

przy

pomocy

opornika

o

zmiennym

oporze.

Faraday uzyskał również prądy

indukowane nieco innymi metodami.
Na rys. 8.11 są przedstawione dwie
cewki: jedna z prądem stałym druga
połączona z galwanometrem G.
Faraday zauważył, że prąd w drugiej
cewce płynie wówczas, gdy cewki są
we wzajemnym ruchu. Przy zbliżaniu
i oddalaniu prądy indukowane w
cewce 2 mają kierunki przeciwne.

D

_

+

K

1

G

A

B

B

2

G

2

I

2

+

_

I

1

1

G

S

N

Rys.8.12. Powstawanie

prądu indukcyjnego w

czasie ruchu magnesu

Podobne zjawiska powstają

gdy obwód 1 z prądem z rys.8.11
zastąpiony

zostanie

stałym

magnesem

(rys.8.12).

W

obu

przypadkach prądy indukowane
płyną jedynie w czasie ruchu
obwodu względem innego obwodu
z prądem lub magnesu. W czasie
spoczynku - prąd indukowany
przestaje płynąć.

W

celu

wyjaśnienia

odkrytych

przez

Faradaya

zjawisk

indukcji

elektromagnetycznej w możliwie
jasny sposób, odbiegniemy nieco
od historycznego toku wydarzeń.
Wykażemy, że w zamkniętym
przewodzącym

konturze

dowolnego kształtu poruszającym
się w polu magnetycznym (rys.
7.3)

powstaje

SEM.

Pole

magnetyczne może być
dowolną funkcją współrzędnych.
Praca wykonana przeciwko siłom
magnetycznym

przy

przemieszczeniu ładunku q na
odległość wynosi

D r o g a 2

 x

D r o g a 1

S

d

s

d

x







v

 



 



A

B

Rys. 7.3. Zamknięty
kontur porusza się z
prędkością wzdłuż
kierunku osi x. Linią
przerywaną zaznaczono
położenie konturu po
czasie



t.

v

B



s

d





s

d

B

dt

x

d

q

s

d

B

v

q

s

d

F

dW

mag









































gdzie jest wektorem o długości ds.

s

d

Stosując tożsamość wektorową

c

b

a

c

b

a























piszemy wyrażenie na pracę w następujący sposób

Z rys 7.3 widać, że

można zastąpić

elementem powierzchni

, wówczas









dt

s

d

x

d

B

dt

s

d

x

d

B

q

dW

























s

d

x

d







S

d



dt

S

d

B

q

dW











Całkowitą pracę wykonaną przy przemieszczaniu

ładunku q z punktu A do punktu B po drodze 1 konturu
zapiszemy w postaci

dt

d

q

dt

S

d

B

q

dW

W

B

A

B

A

AB

























1

a oznacza wzrost strumienia w prawym obszarze
zakreskowanym. Analogiczna praca wykonana przy
przemieszczeniu ładunku po drodze 2 z punktu B do
punktu A

Z kolei oznacza zmniejszanie strumienia w lewym
obszarze

zakreskowanym.

Praca

zużyta

na

przemieszczenie jednostkowego ładunku po całym
konturze

a ponieważ

oznacza zmianę strumienia

magnetycznego

przez

powierzchnię

ograniczoną

konturem ABA, więc praca zużyta na przemieszczenie
ładunku wynosi





d





d











d

d









A

B

BA

dt

d

q

dW

W



2





























dt

d

dt

d

q

W

W

W

BA

AB





2

1

dt

d

q

W

B







Ponieważ siłę elektromotoryczną określamy jako pracę
zużytą na przemieszczenie jednostkowego ładunku
(patrz pkt. 5.4), więc

(7.1)

Siła elektromotoryczna

nie jest siłą w dosłownym

tego słowa znaczeniu. Mierzona jest w voltach (J/C), a
więc

przedstawia

energię

przypadającą

na

jednostkowy ładunek, dostarczoną elektronowi
przewodnictwa przy obejściu obwodu.

W obwodzie

zamkniętym

umieszczonym

w

zmiennym

polu

magnetycznym pojawia się więc siła elektromotoryczna
indukcji elektromagnetycznej. Jeżeli kontur jest
nieruchomy, to siła magnetyczna znika ( ) i SEM
= 0. Jednakże, jeżeli źródło pola magnetycznego
porusza

się

i

powoduje

zmianę

strumienia

obejmowanego przez kontur, to w konturze powstaje
pole elektryczne

(7.2)

dt

d

q

W

SEM

B









0



v









dt

d

s

d

E

B







Formułę tę można bezpośrednio otrzymać z (7.1)

stosując zasadę względności do konturu i źródła pola
magnetycznego. Obserwator nieruchomy względem
konturu zauważy taką samą siłę działającą na
jednostkowy ładunek q, co obserwator poruszający się
razem

ze

źródłem

pola

magnetycznego.

Dla

obserwatora

nieruchomego,

siła

działająca

na

jednostkowy ładunek, według definicji, przedstawia pole
elektryczne. Formuła (7.2) jest słuszna również dla
przypadku nieruchomych obwodów. Zmiana prądu w
jednym obwodzie wywołuje zmianę pola magnetycznego
obejmowanego przez kontur drugiego obwodu i
indukuje w nim siłę elektromotoryczną.

W rzeczywistości jednak istnienie drugiego

obwodu nie jest konieczne. Pole elektryczne pojawia się
niezależnie od tego czy obwód istnieje, czy też go nie
ma. Równanie (7.2) ma bardziej ogólny charakter i jest
słuszne

dla

dowolnego

domniemanego

obwodu

zamkniętego w przestrzeni.

Równanie to można również

zapisać w postaci

Równanie to można również zapisać w postaci

gdzie S oznacza dowolną powierzchnię rozpiętą

na konturze C. Ponieważ granice całkowania po
nie zmieniają się w czasie, można przejść z
różniczkowaniem pod znak całki

(7.3)

Zwróćmy uwagę na to, że całka okrężna wektora

natężenia pola elektrycznego wzdłuż obwodu
zamkniętego nie jest równa zeru. Wynika stąd, że pole
elektryczne wzbudzane przez zmienne pole
magnetyczne jest polem wirowym





























S

C

S

d

B

dt

d

s

d

E























S

C

S

d

t

B

s

d

E









S

d



Zjawisko odkryte przez Faradaya stanowiło

podstawę, która umożliwiła zbudowanie w następnych
latach

silników,

prądnic

i

transformatorów

elektrycznych. Z tego powodu Faraday uważany jest za
jednego z twórców elektrotechniki.

Najpospolitszą częścią urządzeń elektrycznych jest

pętla lub cewka obracająca się ze stałą prędkością w
jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B (rys. 7.4).

B

P o w ie r z c h n i a S

I

Rys.

7.4.

Dwie

cewki

wytwarzają

w

przybliżeniu

jednorodne pole magnetyczne
o indukcji B . Pętla obraca się
z

prędkością

kątową

.

Indukuje

się

w

niej

sinusoidalna SEM.

Niech prędkość kątowa pętli
wynosi

.

Położenie

pętli

określa kąt , gdzie 

określa położenie pętli w chwili
t = 0. Składowa indukcji B
prostopadła do powierzchni
pętli wynosi Bsin



. W związku z

tym strumień indukcji płynący
przez pętlę w chwili t jest
równy









 t

 















t

sin

SB

t

B

gdzie S jest powierzchnią
pętli

Indukowana siła elektromotoryczna wynosi

(7.4)

















t

cos

SB

SEM

Prawo indukcji elektromagnetycznej Faraday’a
(inny sposób)

Wartość

SEM

indukowanej

otrzymujemy

z

następujących rozważań:

E

F F

L

_ C

0

A

Z

B

d x



d s

l

G

D

y

F

2

K 1

E

+

x

Powstawanie SEM między
końcami A i K
przewodzącego pręta
porusza-jącego się z
prędkością υ poprze-cznie do
pola magnetycznego B.

Utwórzmy obwód w kształcie
prosto-kątnej ramki CDFE
leżącej w pła-szczyźnie Oxy
(rys.8.13). Bok AK tej ramki
stanowi ruchoma poprzeczka
(prosty kawałek drutu
miedzianego) mogąca się
ślizgać bez tarcia wzdłuż
boków CD i EF. Do punktów D
i F obwodu podłączony jest
galwanometr G. Ramkę
umieszczamy w jednoro-dnym
polu magnetycznym o
wektorze indukcji B zgodnym
z osią Oz.

Siłą zewnętrzną przesuwamy
AK ze stałą prędkością  od

położenia 1 do 2.

„

inny sposób”

Na elektrony, które znajdują się w pręcie miedzianym o
ładunku (–e) poruszające się z prędkością υ w polu
magnetycznym B działa siła Lorentza





B

x

e

F

L











Ponieważ

to

B









B

e

F

F

L

L









Pod wpływem siły Lorentza elektrony

przemieszczają się od punktu K do punktu A, w związku
z tym ulega naruszeniu równomier-ność rozkładu
ładunku w poruszającym się pręcie. Na końcu A groma-
dzą się elektrony, a więc koniec ten będzie obdarzony
ładunkiem ele-ktrycznym –Q, zaś koniec K (skutkiem
ucieczki z niego elektronów) ładunkiem +Q. A więc
wewnątrz przewodnika KA powstaje pole ele-ktryczne,
którego wektor natężenia skierowany jest od punktu K
do punktu A. Ponieważ te punkty są oddalone od siebie o
l (l długość przewodnika KA), dlatego między końcami
przewodnika powstaje napięcie elektryczne U, które
możemy zapisać:

l

E

U





„inny sposób”

Pole elektryczne wewnątrz przewodnika o wartości E =
U/l działa z kolei na elektrony w pręcie siłą:

(8.33)

Widzimy, że siła F z jaką pole elektryczne E działa na
elektron jest skierowana przeciwnie do siły Lorentza .
Gdy siły i zrównoważą się, to ruch elektronów w pręcie
ustanie. Dla stanu równowagi mamy:

(8.33)

Stąd

E

e

F









B

e

eE 



Bl

U 



Napięcie U między końcówkami K i A pręta nazywamy
siłą elektromotoryczną indukowaną i oznaczamy:





U



Zatem siła elektromotoryczna indukowana w pręcie
wynosi

=-Bl

„inny sposób”



Ponieważ prędkość  ruchu przewodnika wzdłuż osi Ox

możemy zapisać , przeto

dt

dx





dt

dx

Bl







Iloczyn ldx oznacza pole powierzchni ds (zakreskowany
obszar na rys.8.13) zakreślonej przez przewodnik KA o
długości l podczas jego ruchu z prędkością  w czasie dt.
Skoro

ds

dx

l





a wektor B jest prostopadły do powierzchni ds,
zatem

B

d

ds

B







gdzie dΦ

B

jest strumieniem indukcji magnetycznej

przez tę powierzchnię.

Ostatecznie SEM indukowana w pręcie wyraża się
wzorem:

„inny sposób”

dt

d

B









Otrzymany tu związek jest również słuszny dla obwodu
zamkniętego i stanowi podstawowe prawo indukcji
elektromagnetycznej Faradaya. Prawo to mówi, że

SEM

indukowana w obwodzie (konturze zamkniętym) jest
proporcjonalna do szybkości zmiany strumienia
magnetycznego w danym obwodzie.

Znak minus we wzorze nawiązuje do

reguły kierunkowej

Lenza, która mówi, że kierunek prądu indukowanego w
obwodzie jest zawsze taki, że pole magnetyczne przezeń
wywołane

przeciwstawia

się

zmianie

strumienia

magnetycznego, który wywołał pojawienie się prądu
indukcyjnego.

14.2. Reguła Lenza

 

W 1834 roku Lenz ustalił następującą regułę:

prąd indukowany w obwodzie ma zawsze taki
kierunek,

że

wytworzony

przezeń

strumień

magnetyczny przez powierzchnię ograniczoną
przez

ten

obwód

przeciwdziała

zmianom

strumienia, które wywołały pojawienie się prądu
indukowanego.

Matematycznym wyrazem reguły Lenza jest znak ”–” w
równaniach (7.1)–(7.3). Zauważmy, że

-zwiększenie strumienia

wywołuje SEM

< 0, to jest pole indukowanego prądu skierowane jest
przeciwko strumieniowi. Z kolei

-zmniejszenie strumienia

wywołuje SEM

> 0, t.j. kierunki strumienia i pola indukowanego prądu
są zgodne.





0



dt

/

d

B







0



dt

/

d

B



Reguła Lenza jest zilustrowana poglądowo na rys.

poniżej Gdy magnes stały porusza się w prawo (rys.a),
zwiększa się strumień magnetyczny przez zamkniętą
pętlę i prąd indukowany I wytwarza pole skierowane
przeciwnie do pierwotnego strumienia.

Na rys. b z kolei pokazano początkowo nieruchomy
magnes, który zaczyna poruszać się w lewo, co prowadzi
do

zmniejszenia

strumienia

magnetycznego

przechodzącego przez pętlę. Prąd indukowany wytwarza
pole (linie przerywane) przeciwdziałające przyczynie,
która go spowodowała.

S N

S N

v

v

I

I

( a ) ( b )

Reguła Lenza jest konsekwencją

spełnienia prawa zachowania energii.
Wróćmy na chwilę do obwodu
poruszającego się w polu magnetycznym
(rys. 7.3). Jeżeli rezystancja obwodu wynosi
R, to zgodnie z prawem zachowania
energii, na pracę źródła prądu w czasie dt
(EIdt) składa się praca na ciepło Joule'a
(I

2

Rdt) i praca związana z

przemieszczeniem obwodu w polu
magnetycznym (Id



B

). Mamy więc

D r o g a 2

 x

D r o g a 1

S

d

s

d

x







v

 



 



A

B

B

Id

Rdt

I

dt

I

E







2

stąd

gdzie

jest

indukowaną

siłą

elektromotoryczną.





i

B

E

E

R

dt

d

E

R

I















 



1

1



dt

/

d

E

B

i







Dotychczas rozważaliśmy prądy indukowane w

obwodach liniowych. Prądy te mogą jednak powstawać
również

w

przewodnikach

masywnych.

Obwód

zamknięty prądu indukowanego tworzy się samorzutnie
w przewodniku. Nazywamy je prądami wirowymi (prądy
Foucaulta).

Wywołują

one

silne

nagrzewanie

przewodników.

14.3. Indukcyjność. Samoindukcja

 Zgodnie z prawem Biota-Savarta-Laplace'a, prąd
płynący w obwodzie wytwarza pole magnetyczne
proporcjonalne do natężenia prądu I. Z tego powodu

(7.5)

gdzie współczynnik proporcjonalności L nazywamy
indukcyjnością obwodu. Przy zmianie natężenia prądu w
obwodzie, będzie również zmieniać się wytworzony
przez niego strumień magnetyczny, co z kolei prowadzi
do zaindukowania się SEM. Powstanie SEM w
przewodzącym obwodzie, na skutek zmiany natężenia
prądu w tym obwodzie, nazywamy samoindukcją.

Jednostką indukcyjności jest henr (H). Z równania (7.5)
wynika, że 1H jest to indukcyjność takiego obwodu,
kiedy

przy

prądzie

1A

strumień

magnetyczny

samoindukcji wynosi 1Wb, bowiem 1 H = 1 Wb/1A = 1
Vs/A.

LI

B





Obliczymy

indukcyjność

nieskończenie

długiego

solenoidu.

gdzie n = N/l (N jest całkowitą liczbą uzwojeń
solenoidu). Wobec tego, całkowity strumień płynący
przez solenoid jest równy BSN, czyli

Uwzględniając (7.5)

(7.6)

czyli indukcyjność solenoidu zależy od liczby zwojów
solenoidu N, jego długości l, pola przekroju S i
przenikalności magnetycznej rdzenia solenoidu .

nI

B

r

o







S

l

I

N

r

o

B

2









l

S

N

L

r

o

2







W ogólnym przypadku można pokazać, że

indukcyjność obwodu zależy tylko od jego
kształtu,

rozmiarów

i

przenikalności

magnetycznej ośrodka, w którym się znajduje. W
tym

sensie

indukcyjność

obwodu

jest

odpowiednikiem

pojemności

elektrycznej

przewodnika, która także zależy od kształtu
przewodnika, jego rozmiarów i przenikalności
dielektrycznej ośrodka

.

Z prawa Faradaya otrzymujemy, że SEM samoindukcji

 



























dt

dL

I

dt

dI

L

LI

dt

d

dt

d

E

B

s



dt

dI

L

E

s





Znak ”–” uwarunkowany regułą Lenza wskazuje, że obecność
indukcyjności w obwodzie prowadzi do zwalniania zmian prądu, co
przejawia się w bezwładności elektrycznej obwodu. W ten sposób
indukcyjność obwodu stanowi miarę jego bezwładności wobec zmian
prądu

.

Jeżeli obwód nie ulega
deformacji i przenikalność
magnetyczna nie zmienia
się, to L = const i

14.3.1. Indukcyjność wzajemna

14.3.1. Indukcyjność wzajemna

 

Wyobraźmy sobie dwa nieruchome obwody (pętle)

C

1

i C

2

umieszczone względem siebie, na przykład jak na

rys. 7.6. Niech w obwodzie C

1

płynie prąd o natężeniu I

1

.

Strumień indukcji B

1

przez obwód C

2

wynosi

gdzie S

2

jest powierzchnią obwodu C

2

. Stałą M

21

nazywamy indukcyjnością wzajemną wyrażoną w
henrach. W obwodzie C

2

powstaje indukowana siła

elektromotoryczna

1

21

21

2

I

M

S

d

B

S















I

1

C

1

C

2

dt

dI

M

E

1

21

21





(7.8
)

Podobnie w celu obliczenia siły elektromotorycznej

indukowanej w obwodzie C

1

na skutek zmian natężenia

prądu w obwodzie C

2

musimy wprowadzić nowy

współczynnik indukcji wzajemnej M

12

(7.9)

Okazuje się, że dla dowolnych dwóch obwodów

Dzięki temu nie musimy pamiętać o rozróżnianiu M

12

od

M

21

. Możemy więc mówić o indukcyjności wzajemnej M

dowolnych dwóch obwodów i o przenikalności
magnetycznej ośrodka otaczającego obwody.

dt

dI

M

E

2

12

12





21

12

M

M 

14.4. Transformator

 

Zjawisko

indukcyjności

wzajemnej

zostało

wykorzystane w konstrukcji transformatorów (rys. 7.7).
Jeżeli na rdzeń nawinięte są dwie cewki, to zmiana
prądu w jednej z nich powoduje indukowanie prądu w
drugiej cewce. Wartość indukowanej SEM możemy
obliczyć z prawa Faradaya. W większości przypadków
uzwojenie wtórne nawijane jest na uzwojenie pierwotne,
tak aby obydwa uzwojenia obejmowały jednakowe
strumienie pola magnetycznego. Niech n

1

oznacza ilość

zwojów uzwojenia pierwotnego, a – n

2

ilość zwojów

uzwojenia wtórnego. Wówczas zgodnie z (7.1)
indukowane napięcie (SEM) w

O b w ó d p ie r w o tn y

O b w ó d w tó r n y

uzwojeniu wtórnym zapiszemy w
postaci

dt

d

n

V

B



2

2





Analogicznie SEM w obwodzie
pierwotnym

dt

d

n

V

B



1

1





Stosunek napięć jest równy

Kiedy do obwodu pierwotnego przykładamy napięcie
zmienne V

zm

, prąd wzrasta do chwili dopóki

nie osiągnie wartości V

zm

. Tak więc

.

1

2

1

2

n

n

V

V



dt

/

d

n

B



1

1

V

V

zm



Napięcie w obwodzie wtórnym można zmieniać

dobierając odpowiedni stosunek liczby zwojów. Jest to
wygodnym sposobem transformacji niskich napięć na
wysokie i odwrotnie

. Widzimy w tym zaletę stosowania

prądu zmiennego w porównaniu ze stałym.

Ma to

ogromne znaczenie praktyczne przy przesyłaniu energii
elektrycznej na duże odległości

. Najbardziej ekonomiczne

generatory wytwarzają stosunkowo niskie napięcie
zmienne. Transformator pozwala podwyższyć napięcie
przy nieznacznej stracie mocy. Na końcu linii
przesyłowej, w celu obniżenia napięcia do bezpiecznego i
bardziej dogodnego poziomu, stosuje się drugi
transformator.

14.5

             

Obwody RC i RL, stałe czasowe

        Obwód RC

Rozpatrzmy jaki prąd
popłynie w obwodzie po
zamknięciu wyłącznika do
pozycji (a).

Korzystamy z prawa
Kirchoffa.

C

q

IR





W równaniu tym są dwie niewiadome I oraz q. Ale
możemy skorzystać ze związku I = dq/dt. Otrzymujemy
równanie różniczkowe

C

q

R

t

q





d

d



Szukamy rozwiązania q(t).

Ma ono postać

 

(23.8)

Możemy sprawdzić czy funkcja ta jest rozwiązaniem
równania różniczkowego poprzez jej podstawienie.

Prąd obliczamy różniczkując dq/dt

)

1

(

/ RC

t

e

C

q









RC

t

e

R

t

q

I

/

d

d









Rysunki przedstawiają zależność q(t) oraz
I(t).

q

t

C

I

/R

t

Jeżeli teraz przełączymy wyłącznik do pozycji (b) to
będziemy rozładowywać kondensator. Teraz w obwodzie
nie ma



i prawo Kirchoffa przyjmuje postać

 

czyli

 Rozwiązanie ma postać

0





C

q

IR

0

d

d





C

q

t

q

R

RC

t

e

q

q

/

0





gdzie q

0

jest ładunkiem początkowym na

kondensatorze.

Natężenie prądu przy rozładowaniu wynosi

RC

t

e

RC

q

t

q

I

/

0

d

d









W równaniach opisujących ładowanie i

rozładowanie kondensatora wielkość RC ma wymiar
czasu i jest nazywana

stałą czasową

obwodu.

Opisuje

ona fakt, że ładunek na kondensatorze nie osiąga od
razu wartości końcowej lecz zbliża się do niej
wykładniczo

. Podobnie przy rozładowaniu.

       

Obwód RL

Analogicznie opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu
pojawia się w obwodzie RL przy włączaniu lub
wyłączaniu źródła SEM.

Gdyby nie było cewki prąd
osiągnąłby natychmiast
wartość



/R. Dzięki cewce w

obwodzie pojawia się
dodatkowo SEM samoindukcji



L

, która zgodnie z regułą

Lenza przeciwdziała wzrostowi
prądu (po włączeniu) co
oznacza, że jej zwrot jest
przeciwny do



.

Z prawa Kirchoffa otrzymujemy

 

(23.10)

 

Poszukujemy rozwiązania tego równania różniczkowego
w postaci I(t).

0

d

d







t

I

L

IR



Ma ono postać

(23.11)

 Sprawdzamy poprzez podstawienie do równania.
Napięcie na oporniku i cewce pokazane jest na
rysunkach poniżej.

)

1

(

/ L

Rt

e

R

I









Narastanie prądu w obwodzie jest opisane stałą czasową



L

 = L/R.

Jeżeli przełącznik ustawimy w pozycji (b) to wyłączmy
źródło SEM i otrzymamy

(23.12)

 z rozwiązaniem

0

d

d



 IR

t

I

L

0

d

d



 IR

t

I

L

14.6. Energia pola magnetycznego

 

Kondensatory stosowane są nie tylko do

gromadzenia ładunku elektrycznego, ale w połączeniu z
indukcyjnością stosowane są do generacji zmiennego
prądu i napięcia. Rozważymy prosty obwód elektryczny,
w którym pojemność i indukcyjność są połączone
równolegle (rys. 7.8). Jest to tzw. obwód drgający LC.
Załóżmy, że rezystancja obwodu jest zerowa.

b

a

c

d

L

C

+ q

- q

Rys. 7.8. Drgający
obwód LC

Niech w chwili t = 0 ładunek
kondensato- ra wynosi q

o

.

Energia początkowa układu
zmagazynowana jest w
kondensatorze. Zgodnie z
równaniem (4.35)

2

2

2

1

2

1

o

o

CV

C

q

W





gdzie

C

/

q

V

o

o



Zgodnie z prawem zachowania energii, ta początkowa
energia nie może zniknąć. Wykażemy, że jest ona
gromadzona w polu magnetycznym cewki indukcyjnej.

Ładunek dq płynący przez cewkę przyjmuje energię
Vdq,

gdzie

.

Wobec tego energia tracona przez ładunek i
przyjmowana przez cewkę wynosi

dt

dI

L

V 



LIdI

dt

dq

LdI

dq

dt

dI

L

dW



















Jeżeli prąd rośnie od zera do I

0

, to energia gromadzona

w cewce indukcyjnej wynosi

(7.12)

2

0

2

1

o

I

LI

LIdI

W

o







Interesującym jest przekształcić wzór (7.12)

wyrażając

prawą

stronę

przez

wielkość

pola

magnetycznego w cewce indukcyjnej. Jest to łatwo
wykonać w przypadku długiego solenoidu dla którego

i

Uzależniając I od B

i wstawiając wzór na L, z wyrażenia (7.12) otrzymujemy

Dzieląc teraz obie strony tego wyrażenia przez objętość
solenoidu Sl otrzymujemy wzór na gęstość energii pola
magnetycznego

(7.13)

l

/

NI

B

r

o







L

/

S

N

L

r

o

2







Sl

B

W

r

o

2

2

1







2

2

1

B

w

r

o







Pomimo tego, że powyższe obliczenia gęstości

energii pola magnetycznego dotyczą solenoidu, można w
ogólnym przypadku udowodnić, że dla cewki indukcyjnej
dowolnego kształtu całka po

w całej przestrzeni jest równa ,

gdzie L jest indukcyjnością cewki.

Analogicznie do wielkości

interpretowanej jako energia zmagazynowana w
jednostce objętości pola elektrycznego, możemy
powiedzieć, że jest energią zmagazynowaną
w jednostce objętości pola magnetycznego. W
przypadku ogólnym, pola elektryczne i magnetyczne
mogą jednocześnie występować w przestrzeni, a
wówczas

całkowita

gęstość

energii

pola

elektromagnetycznego wynosi

(7.14)

r

o

/

B





2

2

2

2

/

LI

2

2

/

E

r

o





r

o

/

B





2

2



















r

o

r

o

B

E

w









2

2

2

1