RÓWNANIE

BERNOULLIEGO DLA

CIECZY RZECZYWISTEJ

Ustanowienie prawa zmiany ciśnienia i

prędkości dla ustalonego strumienia

cieczy

w ogólnym przypadku z pomocą

równania różniczkowego ruchu cieczy

lepkiej -

- równania Naviera-Stokesa ;

jest niemożliwe ze względu na ich

utrudnione całkowanie.

(1)







graddiv

v

v

gradp

F

dt

v

d

3

1

2











Dlatego też posiłkujemy się równaniem

Bernoulliego dla środków wyróżnionych

przekrojów 1 – 1 , 2 - 2 (rys.1):

(2
)

Ważne dla ruchu idealnej cieczy

elementarnej strugi z uwzględnieniem

czynników odróżniających proces, ruchu

cieczy rzeczywistej od idealnej. Z

doświadczenia wiemy, że ciecz

rzeczywista wzdłuż sztywnej ścianki np.

rurze w skutek działania sił molekularnych

między cieczą a ścianką, prędkość warstw

przyściennych praktycznie równa jest

zero. W centralnej części strumienia

prędkość jest maksymalna. Dlatego

całkowity impet cieczy w dowolnym

przekroju strugi należy wyznaczać

uwzględnieniem profilu rozkładu cieczy w

tym przekroju.

Nierównomierny rozkład prędkości

przekroju strumienia cieczy oznacza

poślizg jednych warstw cieczy względem

drugich, wskutek czego powstają

naprężenia styczne (naprężenia tarcia).

Wskutek tego ruch lepkiej cieczy często

przedstawia sobą obroty cząstek,

wirowość i przemieszczanie.

Na wszystko to zużywa się część energii

strumienia, która w skutek tarcia

przechodzi

w ciepło i rozprasza się w okrywające ją

środowisko – otoczenie. Mówimy o

dyssypacji energii. W ten sposób drugim

czynnikiem, który odróżnia ruch cieczy

rzeczywistej od idealnej, jest strata

ciśnienia na tarcie w cieczy przy

przechodzeniu jednego przekroju

strumienia

do drugiego.

Dla określenia całkowitego ciśnienia cieczy w

danym przekroju strumienia wprowadzimy

pojęcie mocy strumienia.

Mocy strumienia w danym przekroju

będziemy nazywać całkowitą energię, którą

strumień przenosi przez ten przekrój w

jednostce czasu:

gdzie:
H – całkowity napór (ciśnienie)

przedstawiający sobą energię

właściwą (na jednostkę ciężaru

cieczy);
ρgQ – ciężar mocy wzdłuż cieczy,

czyli ciężar cieczy przepływającej

przez przekrój strumienia w

jednostce czasu.

(3)

Ponieważ w różnych punktach przekroju

cząsteczki cieczy mają różne prędkości, to

moc strumienia w rozpatrywanym

przekroju określimy jako cząstkę

gdzie: dN – moc elementarnej strugi obliczana za
pomocą równania Bernoulliego po formule

(4)

(5)

po uwzględnieniu

gudS

g

u

g

p

z

gdQ

H

dN

















)

2

(

2

udS

dQ

Jak pokazuje doświadczenie, w przypadku

płynnie zmieniającego się ruchu,

potencjalne ciśnienie w przedziale

przekroju strumienia jest wielkością

jednakową dla wszystkich punktów

danego przekroju, czyli:

(6)

Podstawiając wyrażenie dN (5) do

równania (4) i uwzględniając zależność (6)

mamy:

)

1

2

(

]

2

)

[(

]

2

1

)

[(

)

2

(

3

3

2

3

2

2

3

2















































s

s

s

s

s

dS

u

S

v

g

v

g

p

z

gQ

dS

u

Q

v

Q

g

v

Q

g

p

z

g

dS

u

g

udS

g

p

z

g

gudS

g

u

g

p

z

N

















Ostatecznie możemy napisać:

gdzie:

(7)

(8)

Współczynnik uwzględnia

nierównomierność rozkładu prędkości

w przekroju strumienia i nazywany jest

współczynnikiem Coriolisa. Fizyczny sens

współczynnika Coriolisa jest taki,

że przedstawia on stosunek rzeczywistej

kinematycznej energii masy strumienia

cieczy przepływającej w jednostce czasu

przez rozpatrywany przekrój do umownej

średniej kinetycznej energii (obliczanej dla

średniej prędkości v).

Rozważając razem równania (3) i (7)

znajdujemy, że całkowite

ciśnienie( napór ) strumienia w danym

przekroju określa formuła

Skąd

H- wysokość rozporządzalna

(9)

Rozpatrzmy teraz dwa próbne przekroje

strumienia cieczy rzeczywistej.

Całkowity napór w drugim przekroju jest

mniejszy w porównaniu z całkowitą

energią strumienia w pierwszym o

wysokość strat wskutek dyssypacji

energii cieczy przy ruchu od pierwszego

do drugiego przekroju, dlatego:

albo z uwzględnieniem formuły (8) mamy:

(10)

Równanie (10) jest równaniem

Bernoulliego strumienia cieczy

rzeczywistej.

Na rys.1 przedstawiono piezometryczną

linię

a-a i ciśnieniową b-b dla strumienia cieczy

rzeczywistej przy ustalonym przepływie.

W odróżnieniu od linii ciśnienia przy ruchu

cieczy idealnej, linia cieczy rzeczywistej

obniża się o wartość strat ciśnienia na

odcinku między przekrojami 1-1 i 2-2.

Piezometryczna linia może obniżać się,

podwyższać ale w dowolnym przekroju

próbnym strumienia leży niżej linii

całkowitego ciśnienia (naporu) o wartość

prędkościowego naporu

Dla strumienia rzeczywistej cieczy

stosunek strat ciśnienia do długości

strumienia, na której zachodzi ta

strata nazywana jest hydraulicznym

odchyleniem lub hydrauliczną

inklinacją:

(11)

Rys.1. Graficzne przedstawienie

równania Bernoulliego dla

strumienia cieczy rzeczywistej w

ustalonym ruchu.

Ogólna informacja o stratach

hydraulicznych

straty lokalne i tarcia – zgodnie formułą

Darcy - Weisbacha

przy, czym formuła Darcy -

Weisbacha

jest ważna zarówno dla laminarnego jak i

turbulentnego przepływu