Podstawy analizy

portfelowej

Teoria portfela

Podstawa

podejmowania

decyzji

inwestycyjnych w warunkach niepewności.

Decyzje podejmowane są ze względu na

dwa kryteria:

- Dochód – mierzony oczekiwaną stopą

zwrotu;

- Ryzyko

–

mierzone

odchyleniem

standardowym stopy zwrotu.

Inwestor stara się maksymalizować dochód,

minimalizując ryzyko.

2

Pomiar zależności miedzy

stopami zwrotu

Korelacja stóp zwrotu – analiza

korelacji odpowiada na pytanie czy
zmiany stopy zwrotu z jednej
inwestycji powiązane są ze zmianami
stopy zwrotu z innej inwestycji.

3

Współczynnik korelacji

gdzie:
ρ

12

– współczynnik korelacji stóp zwrotu inwestycji pierwszej i

drugiej,

m – liczba możliwych stóp zwrotu,
r

i1

– i-ta możliwa stopa zwrotu inwestycji pierwszej,

r

i2

– i-ta możliwa stopa zwrotu inwestycji drugiej

p

i

– prawdopodobieństwo osiągnięcia i-tej możliwej stopy zwrotu,

E(r) – oczekiwana stopa zwrotu i-tej inwestycji

 





 





 





 





































m

i

m

i

i

i

i

i

m

i

i

i

i

r

E

r

p

r

E

r

p

r

E

r

r

E

r

p

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

2

1

1

12



4

Interpretacja współczynnika

korelacji

Współczynnik korelacji stóp zwrotu z akcji określa siłę i

kierunek powiązań stóp zwrotu tych akcji. Współczynnik

korelacji posiada następujące właściwości:

• Przyjmuje wartości z przedziału od -1 do +1.

• Wartość bezwzględna wskazuje na siłę powiązań stóp

zwrotu. Im wyższa wartość bezwzględna, tym

powiązanie silniejsze.

• Znak współczynnika wskazuje kierunek powiązań.

Dodatnia wartość oznacza dodatnią korelację akcji

(wzrostowi/spadkowi

stopy

zwrotu

jednej

akcji

towarzyszy wzrost/spadek stopy zwrotu drugiej akcji).

Ujemna wartość oznacza ujemną korelację akcji

(wzrostowi/spadkowi

stopy

zwrotu

jednej

akcji

towarzyszy spadek/wzrost stopy zwrotu drugiej akcji),

• Mierzy wyłącznie liniową zależność stóp zwrotu.

5

Kowariancja stóp zwrotu

Kowariancja

stóp

zwrotu

jest

miarą

stopnia

„wzajemnego ru-chu w czasie” dwóch stóp zwrotu w
stosunku do ich średniej wartości.

Dodatnia kowariancja oznacza, że stopy zwrotu z

dwóch inwe-stycji zmieniają się w czasie w tym
samym kierunku co ich średnie. Ujemna kowariancja
oznacza, że stopy ulegają zmia-nom w odwrotnym
kierunku niż ich średnie.

 





 



















m

i

i

i

i

r

E

r

r

E

r

p

Cov

1

2

2

1

1

12

6

Alternatywny zapis współczynnika

korelacji

2

1

12

12











Cov

7

Współczynnik korelacji z

próby

 





 





 





 































N

t

N

t

t

t

N

t

t

t

r

E

r

r

E

r

r

E

r

r

E

r

1

1

2

2

2

2

1

1

1

2

2

1

1

12



8

Portfel dwóch spółek –

oczekiwana stopa zwrotu

R

p

= w

1

× E(r

1

)

+ w

2

× E(r

2

)

 
gdzie:
• R

p

– oczekiwana stopa zwrotu z portfela,

• E(r

1

) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji 1,

• E(r

2

) – oczekiwana stopa zwrotu z akcji 2,

• w

1

– udział procentowy akcji 1 w portfelu,

• w

2

- udział procentowy akcji 2 w portfelu.

9

Wariancja i odchylenie

standardowe stopy zwrotu

V

p

= w

12

× σ

12

+ w

22

× σ

22

+ 2 × w

1

× w

2

× σ

1

× σ

2

× ρ(R

1

,

R

2

)

= w

12

× σ

12

+ w

22

× σ

22

+ 2 × w

1

× w

2

× Cov

12

 
σ

p

= V

p

0,5

 
gdzie:
• V

p

- wariancja portfela,

• σ

p

– odchylenie standardowe portfela,

• w

1

– udział procentowy akcji 1 w portfelu,

• w

2

- udział procentowy akcji 2 w portfelu.

• σ

1

– odchylenie standardowe stóp zwrotu akcji 1,

• σ

2

– odchylenie standardowe stóp zwrotu akcji 2.

• ρ(R

1

, R

2

) - współczynnik korelacji stóp zwrotu,

 

10

Zadanie 1

Który z następujących dwóch portfeli jest

efektywniejszy:

Portfel A: dwa instrumenty; oczekiwane stopy

zwrotu: r

1

= 10%, r

2

= 20%; wagi: w

1

= 0,3,

w

2

= 0,7; odchylenia standardowe: s

1

= 3%,

s

2

= 5%; współczynnik korelacji k = 0,8

Portfel B: dwa instrumenty: oczekiwane stopy

zwrotu: r

1

= 8%, r

2

= 15%; wagi: w

1

= 0,6, w

2

= 0,4; odchylenia standardowe: s

1

= 10%, s

2

= 14%; współczynnik korelacji k = (-0,5)

11

Zadanie 2

Doradca inwestycyjny buduje portfel złożony z akcji
A i B. Spółka A ma oczekiwana stopę zwrotu równą
10% z odchyleniem standardowym równym 16%
zaś spółka B odpowiednio 24% i 19%. Zamierzasz
zainwestować 60% portfela w akcję A i 40% portfela
w akcje B. Współczynnik korelacji pomiędzy stopami
zwrotu z obu akcji wynosi 30%. Oblicz ile wyniesie
odchylenie standardowe tak skonstruowanego
portfela.

12

Zadanie 3

Portfel składa się z akcji dwóch spółek A oraz B.
Udział akcji spółki A stanowi 70% a udział akcji
spółki B stanowi pozostałe 30% wartości portfela.
Kowariancja pomiędzy stopą zwrotu z akcji spółki A
a stopą zwrotu z akcji spółki B wynosi 0,02.
Odchylenie standardowe stopy zwrotu z akcji spółki
A wynosi 0,08. Odchylenie standardowe stopy
zwrotu z portfela dwóch spółek wynosi 0,12.
Wyznacz odchylenie standardowe stopy zwrotu z
akcji spółki B.

13

Współczynnik korelacji = 1





2

2

1

1

2

2

2

1

1



























w

w

oraz

w

w

V

p

p

r

p

σ

p

A

B

14

Współczynnik korelacji = -1

15





2

2

1

1

2

2

2

1

1



























w

w

oraz

w

w

V

p

p

r

p

σ

p

A

B

C

D

Portfel o zerowym ryzyku

16

2

1

2

1











w

2

1

1

2











w

Współczynnik korelacji

-1<ρ<1

17

r

p

σ

p

A

B

C

D

Portfel o minimalnej

wariancji

18

12

2

1

2

2

2

1

12

2

1

2

2

1

2





































w

12

2

1

2

2

2

1

12

2

1

2

1

2

2





































w

Zadanie 4

Portfel składa się z akcji A i B o zerowej

korelacji między sobą, zaś na rynku
nie występuje krótka sprzedaż. Oblicz
udział

spółki

A

w

portfelu

charakteryzującym się minimalnym
ryzykiem,

gdy

odchylenie

standardowe spółki B jest dwu i
półkrotnie większe od odchylenia
standardowego spółki A.

19

Dopuszczenie krótkiej

sprzedaży, współczynnik

korelacji = 1

20





2

2

1

1

2

2

2

1

1



























w

w

oraz

w

w

V

p

p

Portfel o zerowym odchyleniu standardowym powstanie dla wag równych:

1

2

2

1











w

1

2

1

2













w

Dopuszczenie krótkiej

sprzedaży – interpretacja

graficzna

21

r

p

σ

p

A

B

C

D

Portfel wielu spółek

Autor – Harry Markowitz (1952)
Założenia: Badamy portfel n – spółek,

gdzie dane są:

• Oczekiwane stopy zwrotu każdej spółki,
• Odchylenia standardowe stopy zwrotu

każdej spółki

• Współczynniki korelacji stóp zwrotu

każdej pary spółek

22

Model Markowitza

Teoria Markowitza opiera się na założeniu,

że

inwestor

dysponuje

pewnym

kapitałem początkowym, który inwestuje

w portfel papierów wartościowych w

chwili t = 0. W chwili t = 1 inwestor

sprzedaje

posiadany

portfel,

a

otrzymany

kapitał

zużywa

na

konsumpcję lub inwestuje w inny portfel.

Model Markowitza jest więc modelem

jednookresowym.

23

Oczekiwana stopa zwrotu

24

 









n

i

i

i

p

r

E

w

r

1

gdzie:
r

p

– oczekiwana stopa zwrotu z portfela

w

i

– udział i-tej spółki w portfelu

E(r

i

) – oczekiwana stopa zwrotu z i-tej spółki

Wariancja stopy zwrotu z

portfela

gdzie:
V

p

– wariancja stopy zwrotu portfela

σ

i

– odchylenie standardowe stopy zwortu i-tej akcji

ρ

ij

– współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji i-tej i j-

tej

25



 



























n

i

n

i

ij

j

n

i

j

i

j

i

i

i

p

w

w

w

V

1

1

1

1

2

2

2









Odchylenie standardowe stopy

zwrotu

26



 



























n

i

n

i

ij

j

n

i

j

i

j

i

i

i

p

w

w

w

1

1

1

1

2

2

2











Zadanie 5

Kowariancja pomiędzy stopami zwrotu

każdej z par akcji portfela wynosi
100, zaś wariancja stopy zwrotu
każdej akcji wynosi 120. Ile wyniesie
odchylenie

standardowe

stopy

zwrotu z portfela złożonego z 80
takich akcji, jeśli udziały akcji w
portfelu są jednakowe (po 1/80)

27

Zbiór możliwości

(opportunity set)

28

r

p

σ

p

A

B

C

D

E

X

S

T

U

Zbiór efektywny i portfel

efektywny

Zbiór

efektywny

(efficient

set)

obejmuje wszystkie portfele leżące
na krzywej między X i E.

Portfele należące do tego zbioru to

portfele efektywne, czyli jedyne
portfele atrakcyjne dla inwestora.

29

Portfel efektywny

Portfel efektywny to portfel, który:
• dla danej oczekiwanej stopy zwrotu

minimalizuje ryzyka,

• dla danego ryzyka maksymalizuje

oczekiwaną stopę zwrotu.

30

Wybór portfela a użyteczność

inwestora

Inwestor dokonuje wyboru portfela

posługując się swoimi krzywymi
obojętności

(indifference

curves)

zwanymi też krzywymi jednakowej
użyteczności (iso-utility curves).

31

Cechy krzywych obojętności

• Wszystkie portfele leżące na jednej krzywej

obojętności są jednakowo pożądane przez

inwestora;

• Dwie krzywe obojętności nie mogą się

przecinać;

• Portfel leżący na krzywej obojętności leżącej

bardziej „na północny zachód” jest dla

inwestora bardziej pożądany od każdego

portfela z krzywej obojętności leżącej „bardziej

na południowy wschód”;

• Dla

każdego

inwestora

możliwe

jest

wyznaczenie nieskończonej liczby krzywych

obojętności.

32

Portfel wielu spółek i krzywe

obojętności

33

r

p

σ

p

A

B

C

D

E

T

S

Model Markowitza - wnioski

Konieczność dywersyfikacji portfela –

wybór spółek o ujemnych lub niskich
współczynnikach korelacji.

Kluczowa jest nie liczba składników

portfela,

lecz

wielkość

współczynników korelacji.

Ryzyko przedywersyfikowania.

34

Teoria portfela z aktywami

wolnymi od ryzyka

• James Tobin (1958)

• Budowa portfela dwuskładnikowego

= portfel akcji + instrument wolny od
ryzyka

35

Cechy portfela

dwuskładnikowego

36









e

f

p

e

f

f

f

p

w

r

w

r

w

r





















1

1

gdzie:
r

p

– oczekiwana stopa zwrotu z portfela dwuskładnikowego

σ

p

– odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego

r

f

– stopa wolna od ryzyka

r

e

– stopa zwrotu z portfela akcji

σ

e

– odchylenie standardowe portfel akcji

w

f

– udział instrumentów wolnych od ryzyka w portfelu

Ilustracja graficzna

37

r

p

σ

p

A

B

C

D

E

X

F

M

Linia rynku kapitałowego

(Capital Market Line – CML)

Zbiór efektywny portfeli dwuskładnikowych

jest półprostą daną równaniem:

gdzie:
r – oczekiwana stopa zwrotu portfela efektywnego,
σ – odchylenie standardowe portfela efektywnego,
r

M

– oczekiwana stopa zwrotu portfela rynkowego,

σ

M

– odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela

rynkowego.

38













M

f

M

f

r

r

r

r

Interpretacja linii CML

Oczekiwana stopa zwrotu portfela

rynkowego

jest

liniową

funkcją

ryzyka tego portfela. Wyraz wolny
równania jest równy stopie wolnej od
ryzyka, a współczynnik kierunkowy
zależy od stopy wolnej od ryzyka,
oczekiwanej stopy zwrotu portfela
rynkowego

i

ryzyka

portfela

rynkowego.

39

Interpretacja linii CML cd.

Oczekiwana stopa zwrotu jest sumą dwóch

składników: stopy wolnej od ryzyka i premii
za ryzyko czyli inaczej sumą ceny czasu i
ceny ryzyka.

Cena czasu = stopa wolna od ryzyka.
Cena ryzyka = iloczyn ponoszonego ryzyka i

ceny jednostki ryzyka.

Cena jednostki ryzyka = iloraz rynkowej

premii za ryzyko i przeciętnego ryzyka
ponoszonego na rynku akcji.

40