Wyznaczanie

obciążalności prądowej

torów prądowych

w aparatach i

okapturzonych

urządzeniach

rozdzielczych

dr inż. Mirosław Pawłot

Rok akademicki –

2014/2015

U-
7

Urządzenia elektryczne

Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Ze względu na różne warunki odprowadzenia ciepła od torów

prądowych aparatów i rozdzielnic można wyróżnić
następujące podstawowe przypadki obliczeniowe:

1. Tory prądowe jednorodne gołe w ;powietrzu lub w SF

6

[Oddawanie ciepła do otoczenia odbywa się przez
promieniowanie i unoszenie; przewodzenie ciepła jest
wówczas znikomo małe];

2. Tory prądowe jednorodne, otoczone warstwą izolacji stałej,

np. odcinki szyn izolowane;

3. Tory prądowe niejednorodne, w których w stanie cieplnie

ustalonym występuje poosiowy przepływ ciepła;

4. Tory prądowe w postaci cewek, np. elektromagnesów.

U-
7

Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Rozkład temperatury w stanie ustalonym wzdłuż długości torów

prądowych, w których występuje poosiowy przepływ ciepła: a), b)
tory o zmiennym przekroju, c) tor odcinkowo izolowany

U-
7

Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Przykładowy rozkład temperatury w

stanie ustalonym, dla cewki
elektromagnesu.

[Najwyższa temperatura wystąpi

wewnątrz cewki, bliżej tej
powierzchni zewnętrznej,
która ma gorsze warunki
oddawania ciepła]

U-
7

Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Rozważmy przewód jednorodny – o stałym obwodzie

zewnętrznym A, stałym przekroju S i długości dostatecznej,
aby można było pominąć przepływ ciepła wzdłuż jego osi.

U-
7

Nagrzewnie długiego przewodu jednorodnego prądem o stałym
natężeniu

Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Równanie bilansu cieplnego dla elementu przewodu o długości

Δx i przekroju S, przez który przepływa prąd o wartości
skutecznej I ma postać:

(1)

gdzie:
dq – ilość ciepła wytworzona w rozpatrywanym elemencie

przewodu w czasie dt;

dq

1

– ilość ciepła oddawana do otoczenia przez powierzchnię

zewnętrzną elementu Δx w czasie dt;

dq

2

– ilość ciepła zużyta na nagrzanie elementu Δx w czasie dt

U-
7

2

1

d

d

d

q

q

q





Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

W przypadku przepływu poosiowego ciepła o ilości dq

3

równanie bilansu cieplnego przyjmuje postać:

(2)

Składniki równania (1) wyrażają się w postaci:

(3)

gdzie: R

~

- rezystancja elementu przewodu o długości Δx przy

prądzie przemiennym

U-
7

2

1

3

d

d

d

d

q

q

q

q







t

R

I

q

d

d

~

2



Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

(4)

gdzie: R_ - rezystancja elementu przewodu o długości Δx przy prądzie

stałym;

ρ – rezystywność materiału przewodu, k

w

=k

o

k

z

– współczynnik wypierania

prądu równy iloczynowi współczynnika naskórkowości k

o

i

współczynnika zbliżenia k

z

.

(5)

gdzie: k – współczynnik oddawania ciepła w drodze promieniowania i

unoszenia;

- temperatura otoczenia spełniająca warunek

U-
7

x

S

k

R

k

R

w

w











~





t

x

kA

q

o

d

d

1











o



'

2

2











o

Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

(6)

gdzie: m – masa elementu przewodu o długości Δx; c – ciepło

właściwe materiału przewodu

Przy czym m=SΔxγ gdzie γ – gęstość materiału przewodu.

Równanie bilansu cieplnego (1) przyjmuje zatem postać

następującą:

(7)

U-
7



d

d

2

mc

q 















d

d

d

2

S

c

t

kA

t

S

k

I

o

w







Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Współczynniki ρ, k

w

, k oraz c są w większym lub mniejszym stopniu

zależne od temperatury. Do dalszych rozważań przyjmuje się
następujące założenia upraszczające:

1. Zależność rezystywności materiału od temperatury ma w

przedziale 0-150

o

C charakter liniowy:

(8)

ogólnie:

(9)

2. Wartości k

w

, k są niezależne od temperatury. Ciepło właściwe c w

małym stopniu zależy od temperatury (10-15 razy mniej niż
rezystywność) Dla ograniczenia błędu wynikającego z przyjęciem
stałych wartości k

w

, k wprowadza się do obliczeń wartości

odpowiadające najwyższej temperaturze pracy toru prądowego

U-
7









o

o

















 1









o

o















 exp

Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Po wprowadzeniu zależności (8) do zależności (7) otrzymuje się

równanie bilansu cieplnego w postaci:

(10)

Rozwiązania tego równania zależą od stosunku wyrażeń kA oraz

U-
7





























d

d

d

1

2

S

c

t

kA

t

S

k

I

o

o

o

w













w

k

S

I

2

Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

(1) Przebieg temperatury w czasie

zmierzający do temp.
ustalonej dla

(2) Przebieg pośredni z liniowym

wzrostem temperatury dla

(3) Przebieg temperatury w

czasie rosnącej szybciej niż
liniowo dla

U-
7

w

o

k

S

I

kA





2



w

o

k

S

I

kA





2



w

o

k

S

I

kA





2



Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Przypadki (2) oraz (3) mogą dotyczyć nagrzewania w warunkach

przejściowych.

Długotrwałe obciążenie torów prądowych dopuszczone jest tylko w

przypadku (1) nagrzewania do temperatury ustalonej nie
przekraczającej wartości dopuszczalnej.

Z rozwiązania równania (10) otrzymuje się:

(11)

gdzie: - temperatura początkowa toru prądowego (w chwili załączenia

prądu);

T – stała czasowa nagrzewania

U-
7





T

t

-

T

t

-

2

2

e

e

1

p

w

o

o

w

o

S

k

I

kA

kA

S

k

I























p



Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Stała czasowa nagrzewania T:

(12)

Dla czasu t→∞ temperatura przewodu osiąga wartość ustaloną:

(13)

U-
7

kA

S

c

S

k

I

kA

S

c

T

w

o















2





o

w

o

w

o

o

w

o

u

kAS

k

I

S

k

I

kA

kA

S

k

I

t

































2

2

2

Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Zatem:

(14)

Przy przyrost temperatury względem temperatury otoczenia

wynosi:

(15)

gdzie jest przyrostem temperatury w stanie ustalonym.
Z powyższego równania wynika bezpośrednio, że po upływie czasu równego

jednej stałej czasowej (t=T), przyrost temperatury osiąga wartość:

(16)

Zależność ta pozwala na łatwe i względnie dokładne wyznaczenie wartości T.

U-
7





T

-t

T

-t

e

e

1

p

u

p













p

o







o















T

-t

T

-t

e

1

e

1



















u

o

u

o













o

u

u

























u

u

T

t





















632

,

0

e

1

-1

Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Z równania (13) dla w którym jest

dopuszczalnym przyrostem temperatury, wynika
bezpośrednio wzór na obciążalność prądową ciągłą
przewodu jednorodnego gołego z warunku na
nieprzekraczanie temperatury dopuszczalnej:

w postaci:

(17)

U-
7

dop

o

u













dop





dop

o

dop



















w

dop

dop

k

kAS

I





Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Dla porównania: wzory na obciążalność prądową ciągłą

przewodów jednorodnych izolowanych – odpowiednio o
przekroju kołowym i prostokątnym:

o

Dla przewodu o przekroju kołowym:

(18)

o

Dla przewodu o przekroju prostokątnym:

(19)

U-
7



















z

iz

iz

z

w

w

dop

dop

r

k

r

r

k

S

I

1

ln

2



















d

h

b

k

h

b

d

k

S

I

iz

iz

w

dop

dop

4

1

2





















Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Nagrzewanie torów prądowych

jednorodnych o przekroju: a)
kołowym, b) prostokątnym

[S – powierzchnia przekroju

przewodu, -dopuszczalny
przyrost temperatury,
k

w

– współczynnik wypierania

prądu,
λ

iz

– współczynnik

przewodności cieplnej izolacji
toru,
k

iz

– współczynnik oddawania

ciepła z powierzchni izolacji,
- rezystywność materiału
przewodu o temperaturze ]

U-
7

dop











Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Dla celów obliczeniowych przebiegi obciążeń zmienne w czasie sprowadza się zwykle do

dwóch idealizowanych przebiegów zastępczych - dorywczego i przerywanego.

U-
7

Zestawienie przebiegów
nagrzewania (i chłodzenia)
torów prądowych dla
obciążenia:
a) ciągłego,
b) dorywczego,
c) przerywanego

Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Przyjmując kryterium nie przekraczania temperatury

dopuszczalnej , przy założeniu:

oraz

można wyznaczyć dopuszczalny

prąd przy obciążeniu dorywczym I

d

dla zadanego czasu t

d

(20)

U-
7

S

k

I

kA

w

o





2



o

p















T

t

2

T

t

-

2

d

d

e

1

1

e

1













dop

w

dop

d

I

k

SkA

I







Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Dla obciążenia przerywanego, w przypadku równomiernie

powtarzanych obciążeń z przerwami zbyt krótkimi dla
ochłodzenia toru prądowego do temperatury początkowej
otrzymujemy:

(21)

gdzie ; t

p

– czas przepływu prądu =const; t

i

– czas przerwy

(bezprądowy) =const.

U-
7







































T

t

T

t

I

I

p

p

p

dop

p

exp

1

exp

1



i

p

p

p

t

t

t







Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

Szczególnym przypadkiem nagrzewania toru prądowego jest

kilkusekundowe obciążenie prądami zwarciowymi. Dla tego
przypadku przyjmuje się nagrzewanie adiabatyczne toru, tj.
spełniające równanie bilansowe w postaci:

czyli:

(22)

Po obliczeniach i scałkowaniu w granicach trwania zwarcia T

k

otrzymujemy:

(23)

U-
7















d

d

2

2

x

S

c

t

x

S

k

i

d

d

w

q

q









 

 

 

















































o

o

o

o

o

o

o

w

o

zw

o

o

o

w

o

T

t

t

k

c

F

F

k

c

t

i

S

zw

k















































1

ln

F

:

gdzie

d

1

1

d

1

2

1

0

2

2

1

β

o

– temp. wsp. wzrostu

ciepła właściwego

Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

U-
7

Przebiegi nagrzewania (i chłodzenia) toru prądowego prądem zwarciowym

o czasie przepływu T

k

przy temperaturze początkowej

1



Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

U-
7

Wartość całki po lewej stronie równania (23) określa się jako:

(24)

gdzie I

th

– prąd zastępczy ustalony, który przepływając przez

przewód w czasie T

k

spowoduje nagrzanie przewodu równe

nagrzaniu od prądu zwarciowego:

(25)

gdzie: k

c

– współczynnik cieplny prądu zwarciowego, I

k

´´ -

wartość początkowa składowej okresowej prądu zwarciowego.

k

th

T

t

t

T

I

S

t

i

S

k

2

2

0

2

2

1

d

1









''

k

c

th

I

k

I 

Metoda analityczna

wyznaczania obciążalności

przewodów jednorodnych

U-
7

Zatem:
• Znając I

k

´´, T

k

oraz k

c

wyznacza się wymagany przekrój

przewodu:

(26)

• Znając S oraz T

k

=T

kn

, wyznacza się dopuszczalną wartość

zwarciowej obciążalności cieplnej n-sekundowej:

(27)





 

1

max

''

min





F

F

T

k

I

S

k

c

k









 

kn

cn

T

F

F

I

1

max









Metoda sieci cieplnej

wyznaczania obciążalności

prądowej ciągłej

U-
7

Metoda sieci cieplnej TLM (Transmission Line Matrix) polega na

wykorzystywaniu analogii między wielkościami cieplnymi i
elektrycznymi . Pozwala to na tworzenie schematów zastępczych
(analogowych) odwzorowujących na drodze wspomnianych
analogii stan cieplny rozważanego przewodu, aparatu lub
urządzenia rozdzielczego.

Metoda sieci cieplnej

wyznaczania obciążalności

prądowej ciągłej

U-
7

Zestawienie wielkości cieplnych i elektrycznych wykazujących analogie

Wielkości cieplne

Jednost

ki

Wielkości elektryczne

Jednos

tki

Temperatura

Przyrost temperatury

Współczynnik

przewodności cieplnej

Opór cieplny

Przewodność cieplna

Moc cieplna (strumień

cieplny)

Gęstość strumienia

cieplnego

Pojemność cieplna

K,

o

C

K

W/(m∙K)

K/W

W/K

W

W/m

2

J/K

Potencjał

Napięcie

Przewodność właściwa

Rezystancja

Przewodność

Natężenie prądu

Gęstość prądu

Pojemność

V

V

1/(Ω∙m)

Ω

1/Ω

A

A/m

2

F

Metoda sieci cieplnej

wyznaczania obciążalności

prądowej ciągłej

U-
7

a) TLM w zastosowaniu do toru prądowego w przestrzeni nieograniczonej,

b) schemat sieci cieplnej w stanie cieplnym ustalonym

Metoda sieci cieplnej

wyznaczania obciążalności

prądowej ciągłej

U-
7

Dla przewodu gołego prąd obciążenia ciągłego I wyznacza się z

równania schematu analogowego sieci cieplnej:

(28)

gdzie: - wypadkowy opór cieplny dla odbioru

ciepła konwekcyjnego i na drodze promieniowania. P

1

– moc strat

cieplnych z odcinka przewodu szynowego o długości jednostkowej,
ρ

20

– rezystywność materiału przewodu w temperaturze 20

o

C, α –

temperaturowy współczynnik wzrostu rezystywności materiału
przewodu, S – powierzchnia przekroju przewodu.

Oczywiście prąd dopuszczalnego obciążenia wyznaczy się dla









C

20

1

o

1

20

2

1

1





















S

l

kI

R

P

R

w

w

o

10

10

10

10

10

10

p

k

p

k

p

k

w

R

R

R

R

R

R

R







dop

o













1