1

WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE

WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE

GRUNTÓW.

GRUNTÓW.

WYTRZYMAŁOŚĆ GRUNTÓW NA

WYTRZYMAŁOŚĆ GRUNTÓW NA

ŚCINANIE

ŚCINANIE

MECHANIKA GRUNTÓW I

MECHANIKA GRUNTÓW I

FUNDAMENTOWANIE

FUNDAMENTOWANIE

Budownictwo semestr 4

Budownictwo semestr 4

Wykład 7

Wykład 7

2

Mechanizm utraty wytrzymałości w odniesieniu do gruntów jest
inny niż w przy-padku ośrodków stałych typu metal czy skała,
które są zdolne do przeniesienia znacznych naprężeń
ściskających, czy rozciągających. Wytrzymałość gruntów na
ściskanie w porównaniu z nimi jest nieznaczna, zaś
wytrzymałość na rozciąganie w gruntach praktycznie nie
istnieje.

Analiza sytuacji, w których doszło do naruszenia stateczności
posadowienia obiektu lub np. wystąpienia osuwiska mas
gruntowych dowodzi, że zawsze można w takich przypadkach
zaobserwować przemieszczenie (poślizg) pewnej części podłoża
gruntowego względem pozostałej części. Oznacza to, że
wskutek oddziaływania zewnętrznego na podłoże, np.
obciążeniem od obiektu budowlanego, nastąpiło na pewnej
powierzchni wewnątrz masywu gruntowego osiągnięcie stanu,
w którym naprężenie styczne do tej powierzchni jest równe
wytrzymałości gruntu na ścinanie. Dominujące znaczenie dla
gruntów posiada zatem

wytrzymałość na ścinanie

.

Można powiedzieć, że ścinanie w gruncie polega na
przesunięciu

(prze-mieszczeniu)

jednej

części

ośrodka

gruntowego względem pozostałej w wyniku przekroczenia
oporu gruntu na ścinanie (wytrzymałości gruntu na ścinanie) -



f

przez składową styczną (ścinającą) działającego naprężenia -



f



 

3

Jeżeli  = 

f

, to występuje

stan graniczny ścinania

w gruncie, a

gdy  < 

f

, to mamy do czynienia ze

stanem równowagi

quasisprężystej

w gruncie. Opór gruntu 

f

działa w tej samej

płaszczyźnie co składowa ścinająca , lecz ma zwrot przeciwny.

Wytrzymałością gruntu na ścinanie 

f

nazywa się największy

(graniczny) opór, jaki stawia grunt składowym stycznym
(ścinającym) naprężenia, w rozpatrywanym punkcie ośrodka
gruntowego.

Rys. 1

4

Znajomość wytrzymałości gruntu na ścinanie jest nieodzowna
przy rozpatrywa-niu zagadnień związanych z bezpiecznym (czyli
w zakresie równowagi quasisprężystej) posadawianiem obiektów
budowlanych, formowaniem zboczy gruntowych o bezpiecznym
nachyleniu (np. w nasypach drogowych czy kolejowych) itp.
Zagadnienie to zostało sformułowane przez Ch. Coulomba, który
– będąc inżynierem wojskowym zajmującym się budową
fortyfikacji – jako pierwszy podał wzór ujmujący wytrzymałość
gruntu sypkiego na ścinanie (1773 r.). Wychodząc z zależności
dotyczącej tarcia pomiędzy dwoma ciałami stałymi – T = N ·  -

zapisał ją w odniesieniu do tarcia zachodzącego wewnątrz
gruntu:·





 tg

f





gdzie:  - składowa normalna działającego naprężenia,

 -

kąt

tarcia

wewnętrz-nego,

tg–

współczynnik

tarcia

wewnętrznego

.

Równanie to zostało później uogólnione również na grunty
spoiste w postaci:

c

tg

f











gdzie:

c – spójność (kohezja)

, czyli opór gruntu stawiany siłom

zewnętrznym, wywołany wzajemnym przyciąganiem cząstek
gruntu. Zauważmy, że dla  = 0 mamy 

f

= c, a więc można

powiedzieć, że

spójność jest to wytrzymałość gruntu na ścinanie

przy braku naprężeń normalnych

.

5

Obrazem graficznym równania Coulomba jest linia prosta
przechodząca przez początek układu współrzędnych  -  dla

gruntów sypkich i przecinająca oś  na rzędnej  = c w

przypadku gruntów spoistych. Prosta Coulomba stanowi zatem
zbiór punktów spełniających warunek stanu granicznego



=



f

.

Nachylenie prostej do poziomu wyznacza wartość kąta tarcia
wewnętrznego :

Rys. 2

6

Opór ścinania 

f

składa się z dwu składowych: oporu tarcia

wewnętrznego i oporu spójności. W przypadku ścinania gruntów
o strukturze ziarnistej mamy do czynienia z oporem tarcia
posuwistego oraz z oporem tarcia obrotowego na kontaktach
ziaren. Występuje tam również opór związany z wzajemnym
zazębianiem się ziaren, a także z ich wielkością i stopniem
obtoczenia. Opór spójności zależy w największej mierze od
zawartości cząstek frakcji iłowej i występujących pomiędzy nimi
sił molekularnych.

Oba parametry:



oraz

c

charakteryzują więc wytrzymałość

gruntów na ścinanie i w związku z tym zachodzi konieczność
oznaczania ich wartości. Są to podstawowe parametry
wytrzymałościowe gruntów. W warunkach laborato-ryjnych
wykorzystuje się do ich oznaczenia dwa rodzaje przyrządów:

-

aparat bezpośredniego ścinania (skrzynkowy),

- aparat trójosiowego ściskania.

Do przeprowadzenia oznaczenia niezbędna jest próbka o
naturalnej strukturze – NNS. Ponieważ uzyskanie takiej próbki
dla gruntów sypkich jest utrudnione, badanie wykonuje się
wtedy na próbce o naruszonej strukturze, która w samym
aparacie jest doprowadzona do stopnia zagęszczenia bliskiego
wartości naturalnej.

7

Aparat bezpośredniego ścinania

Rys. 3

8

W

aparacie bezpośredniego

ścinania próbka gruntu znajduje się

wewnątrz dwudzielnej skrzynki o przekroju kwadratowym.
Wymienne skrzynki mają długość boku próbki od 6,0 cm do 12,0
cm (im grubsze uziarnienie gruntu – tym większa skrzynka), zaś
wysokość próbki 1,5 – 2,5 cm. Płaszczyzna podziału skrzynki na
część górną – ruchomą i dolną – nieruchomą, przebiega w
połowie wysokości próbki. Górna i dolna powierzchnia próbki
ma kontakt z płytkami filtracyjnymi umożliwiającymi swobodny
odpływ wody z próbki pod obciążeniem. Na próbkę, za
pośrednictwem tłoka, można przykładać obciążenie siłą
pionową, która w trakcie badania jest niezmienna, zaś do górnej
części skrzynki przykłada się obciążenie siłą poziomą.
Zamocowane czujniki pozwalają na dokonanie pomiaru
wzajemnego przemieszczenia obu części skrzynki jak i zmian
wysokości próbki w trakcie badania. Po umieszczeniu próbki w
aparacie poddaje się ją wstępnej konsolidacji naciskiem siłą
pionową, która działa również na próbkę podczas ścinania dając
naprężenie pionowe -



. Następnie poddaje się próbkę ścinaniu

poprzez przyłożenie zwiększającej się siły poziomej. Moment
ścięcia objawia się ustaniem przyrostu (a nawet lekkim
cofnięciem) odczytów na czujniku dynamometru do pomiaru siły
poziomej. Ustala się największą wartość siły w momencie
ścięcia -

T

max

oraz wzajemne przesunięcie skrzynek aparatu -

a

. Na tej podstawie oblicza się pole przekroju ścięcia próbki:

)

a

a

(

a

F

s









9

Wartości naprężeń:

stycznego

w chwili ścięcia (wytrzymałości na

ścinanie) i

normalnego

oblicza się ze wzorów:

s

i

max

f

F

T





Mając 

i

oraz 

f

ze ścięcia jednej próbki uzyskuje się punkt

wykresu  - . Wykonując kolejne próby (N  5), przy różnych

wartościach naprężenia pionowego  działającego na próbki,

dysponujemy zbiorem punktów, które następnie aproksymujemy
linią prostą graficznie, lub - dla uzyskania większej dokładności -
analitycznie metodą najmniejszych kwadratów. Pozwala to na
wyznaczenie kąta tarcia wewnętrznego oraz spójności.

Rys. 4

s

i

i

F

Q





10

Wzory na obliczenie kąta tarcia wewnętrznego i spójności w
metodzie najmniej-szych kwadratów są następujące:











 













 





2

2

2

2

2

)

(

)

(

N

)

(

c

)

(

)

(

N

N

ctg

ar

i

i

f

i

i

f

i

i

i

f

i

f

i





























Średnie odchylenia kwadratowe (błędy oznaczenia) kąta tarcia
wewnętrznego i spójności oblicza się ze wzorów:

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

180





































































N

)

(

)

(

)

(

N

N

N

s

cos

)

(

)

(

N

N

N

s

i

i

i

i

c

i

i

i























gdzie: 

i

- naprężenia normalne w poszczególnych próbkach, 

f

-

wytrzymałość na ścinanie poszczególnych próbek, 

i

- różnice

oznaczonych i obliczonych wartości wytrzymałości na ścinanie:

c

tg

i

f

i















11

Przy badaniu w aparacie bezpośredniego ścinania nie ma
możliwości dokonania pomiaru bardzo ważnego parametru,
jakim jest wartość ciśnienia wody w porach gruntu podczas
ścinania. Wady tej nie ma

aparat trójosiowego ściskania

Rys. 5

12

Próbka gruntu w aparacie trójosiowego ściskania ma kształt
walca o średnicy najczęściej 38 mm i wysokości 76 mm. Jest ona
otoczona cienką gumową osłonką i znajduje się wewnątrz komory
ciśnieniowej, ustawiona na perforowanej podstawie, z góry
przykryta tłoczkiem z perforacją. Zadaniem filtrów dolnego i
górnego jest odprowadzenie wody z próbki w trakcie badania.
Osłonka jest szczelnie połączona z podstawą i tłoczkiem tak, że
próbka jest odizolowana od wnętrza komory. Do wnętrza komory
doprowadzona jest woda pod ciśnieniem -

p

, które jest stałe

podczas badania. Do górnego tłoczka przylega trzpień, za
pośrednictwem którego przykładane jest na próbkę obciążenie
siłą pionową, mierzoną dynamometrem. Istnieje również
możliwość pomiaru zmian wysokości próbki. Do podstawy próbki
podłączony jest za pośrednictwem zaworu układ do pomiaru
ciśnienia wody w porach gruntu.

Po zamocowaniu próbki wewnątrz komory i uszczelnieniu komory
przez dokręcenie do podstawy, napełnia się ją wodą pod
określonym ciśnieniem. Zgodnie z prawem Pascala ciśnienie to
działa we wszystkich kierunkach jednakowo, obciąża więc
powierzchnię boczną próbki i działa też na jej górną
powierzchnię

–

jest

to

etap

konsolidacji

izotropowej

(wszechstronnego ściskania) próbki. Po zakończeniu konsolidacji
następuje ścinanie próbki przez zwiększenie obciążenia
pionowego za pośrednictwem trzpienia. Ścięcie objawia się
ustaleniem największej wartości siły pionowej, odczytywanej na
dynamometrze.

13

Ze względu na cylindryczny kształt próbki oraz sposób
przyłożenia na nią obciążenia, w próbce panuje

przestrzenny

obrotowo-symetryczny stan naprężenia

. Ciśnienie wody,

stanowiące obciążenie próbki, nie wywołuje na jej powierzchni
naprężeń stycznych, a zatem normalne naprężenia poziome,
równe co do wartości ciśnieniu wody w komorze aparatu są
równocześnie

naprężeniami głównymi



2

i



3

. Są one sobie

równe. Naprężenie pionowe, wywołane obciążeniem zew-
nętrznym, jako prostopadłe do naprężeń 

2

i 

3

, jest również

naprężeniem głównym



1

. Zatem stan naprężenia w próbce

można opisać następująco: 

2

= 

3

= p

oraz



1

> 

2

= 

3

.

Naprężenie



1

przy ścięciu jest równe:



1

= 

3

+Q

max

/ A

Ścięcie

zostało

zatem

spowodowane

przyrostem naprężeń



1

- 

3

= Q

max

/ A

Ten przyrost nosi nazwę

dewiatora

naprężenia

.

Rys. 6 - Schemat obciążenia
(naprężenia) działającego na
próbkę przy ścięciu

A - pole przekroju poprzecznego próbki
przy ścięciu

14

Do interpretacji wyników badania trójosiowego korzystamy z
konstrukcji

koła Mohra

, które w sposób graficzny

przedstawia stan naprężenia w próbce gruntu w momencie
osiągnięcia stanu granicznego - ścięcia próbki:

Rys. 7

15

Koło Mohra kreśli się na podstawie znanych wartości naprężeń
głównych



1

i



3

. Odległość środka koła Mohra od początku

układu współrzędnych wynosi:

Współrzędne punktu

P

na kole Mohra przedstawiają składowe

naprężenia (;

f

) jakie występują na płaszczyźnie ścięcia AB

wewnątrz próbki. Jest ona nachylona pod kątem



względem

kierunku działania mniejszego z naprężeń głównych



3

. Punkt P

reprezentuje więc stan naprężeń granicznych. Jak wynika z
rysunku kąt EPO jest równy



. Wobec tego kąt

2

:

2

3

1



 



DO

a

Promień koła Mohra jest równy:

2

OP

R

3

1

































90

90

180

2

)

(

A zatem płaszczyzna AB jest nachylona do poziomu pod kątem:

2

45 









16

Dla określenia parametrów wytrzymałościowych



i

c

niezbędne jest ścięcie kilku próbek tego samego gruntu (N 

5) przy różnych wartościach ciśnienia wody

p=

3

w komorze

aparatu. Uzyskujemy zatem odpowiadającą liczbie próbek
liczbę kół Mohra. Wspólna styczna (obwiednia) do kół Mohra
jest prostą daną równaniem Coulomba, gdyż każdy punkt
styczności przedstawia stan graniczny naprężeń występujący
w danej próbce przy ścięciu. Równanie prostej (a stąd wartości



i

c

) wyznacza się najczęściej przez aproksymację wyników

linią prostą przy pomocy metody najmniejszych kwadratów,
korzystając ze wzorów analogicznych jak przy interpretacji
rezultatów bezpośredniego ścinania

Rys.

8

17

Naprężenia efektywne. Efektywne parametry
wytrzymałościowe

Omawiając zjawisko konsolidacji zwróciliśmy uwagę na rolę
wody znajdującej się w porach gruntu przy przenoszeniu
obciążeń. Wiąże się z tym bardzo ważne pojęcie w mechanice
gruntów jakim jest pojęcie

naprężenia efektywnego

. Otóż

naprężenie efektywne jest to wartość naprężenia

normalnego

działającego

na

szkielet

gruntowy.

Zasadę

naprężeń

efektywnych w gruntach wprowadził, jak już wiemy, K. Terzaghi
w postaci następującego wyrażenia

u

'





gdzie:



- wartość całkowitego naprężenia normalnego w

rozpatrywanym punkcie ośrodka gruntowego,

‘

- wartość

naprężenia efektywnego,

u

- wartość ciśnienia wody w porach

gruntu.

Znając zatem oprócz całkowitego naprężenia normalnego w
gruncie, również wartość ciśnienia wody w porach możemy
wyznaczyć naprężenie działające na szkielet gruntowy. Woda
jest czynnikiem współdziałającym ze szkieletem w przenoszeniu
obciążenia tylko w początkowym okresie jego działania. Później
następuje częściowy odpływ wody z porów, a w końcowym
efekcie całe obciąże-nie przejmuje szkielet. Dlatego tak ważna
jest znajomość ciśnienia wody w porach możliwa do realizacji w
aparacie trójosiowego ściskania.

18

Wartość naprężenia efektywnego (oczywiście dotyczy to tylko
naprężenia normalnego) można wyznaczyć z przekształcenia
powyższego wzoru:

u

'







Jeżeli podstawimy teraz do wzoru Coulomba naprężenie
efektywne otrzymamy:

'

c

'

tg

)

u

(

'

c

'

tg

'

f





















Występujące w tym wzorze parametry

’

i

c’

noszą nazwę

efektywnych wartości kąta tarcia wewnętrznego i
spójności.

Jak

zauważyliśmy

wcześniej,

w

aparacie

trójosiowego ściskania istnieje możliwość pomiaru ciśnienia
wody w porach, a więc oznaczenia efektywnych wartości

’

i

c’

. Jak przebiega

inter-pretacja wyników badania dla naprężeń

efektywnych

? Współrzędna środka koła Mohra oraz jego

promień dla naprężeń efektywnych będą równe :

R

)

(

,

)

u

u

(

,

)

'

'

(

,

'

R

u

a

u

)

(

,

)

u

(

,

)

u

u

(

,

)

'

'

(

,

'

a

































































3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

5

0

5

0

5

0

5

0

2

5

0

5

0

5

0





























gdzie a, R - współrzędna środka koła Mohra i jego promień dla
naprężeń całkowitych, u – ciśnienie wody w porach próbki w chwili
ścięcia

19

Jak widać z powyższych obliczeń koło Mohra w naprężeniach
efektywnych ma

taki sam promień

jak koło w naprężeniach

całkowitych, zaś jego środek jest

przesunięty w kierunku

początku układu współrzędnych

o wielkość

u

:

Na wykresie widać, z porównania wartości, że :

’ > 

oraz

c’ < c

Rys. 9

20

Równanie Coulomba - Mohra

Rozpatrzmy zależności na kole Mohra - rysunek 7, trójkąt
EPO:

















































































sin

2

2

sin

R

2

EO

DO

DE

cos

2

cos

R

EP

2

R

OP

EPO

3

1

3

1

3

1

3

1

f

3

1

Podstawmy wypisane powyżej wartości  i 

f

do wzoru

Coulomba:

c

tg

f













c

cos

sin

sin

cos



















































2

2

2

3

1

3

1

3

1

21





















cos

c

sin

)

(

sin

)

(

cos

)

(

2

2

3

1

3

1

2

3

1













Po uporządkowaniu otrzymanego wyrażenia mamy:

















cos

c

sin

)

(

)

sin

)(cos

(

2

3

1

2

2

3

1











Czyli ostatecznie:













cos

c

sin

)

(

2

3

1

3

1









Otrzymane wyrażenie nosi nazwę

równania Coulomba-

Mohra

, gdyż stanowi zapis prawa Coulomba z wykorzystaniem

koncepcji koła naprężeń Mohra. W powyższej postaci
obowiązuje oczywiście dla gruntów spoistych. Dla gruntów
sypkich (c = 0) będzie:











sin

)

(

3

1

3

1







Po wymnożeniu obu stron przez 2 cos otrzymamy:

22

Współrzędne p - q

Kreśląc obwiednię kilku kół Mohra, którą jest ich wspólna
styczna (czyli prosta Coulomba), łatwo zauważyć, że wygodniej
jest poprowadzić linię łączącą punkty wierzchołkowe kół Mohra,
czyli punkty o współrzędnych:

R

2

q

oraz

a

2

p

3

1

3

1





















Uprzednio oznaczaliśmy te wartości odpowiednio jako a oraz R.
Wykresy linii wytrzymałości w obu układach współrzędnych
przedstawia poniższy rysunek:

Rys.

10

23

Na podstawie tego rysunku można dla linii I - linii Coulomba-
Mohra - napisać:

























cos

c

sin

lub

,

cos

c

sin

)

(

















2

2

2

3

1

3

1

3

1

3

1

Zaś dla linii II w nowych współrzędnych (p; q):

b

tg 

















2

2

3

1

3

1

Porównując współczynniki w obu równaniach linii prostych
otrzymamy zależności pomiędzy ich parametrami w obu
układach współrzędnych:







cos

b

c

oraz

tg

sin





Aby narysować linię II nie jest konieczne kreślenie całych kół
Mohra. Wystarczy zaznaczyć

punkty wierzchołkowe

tych kół o

współrzędnych (p; q). Punkty te jednoznacznie określają
położenie

kół

Mohra

odpowiadające

danemu

stanowi

naprężenia w gruncie. Dla wartości efektywnych naprężeń jak
łatwo sprawdzić (proszę to uczynić :-) jest:

p’ = p - u

oraz

q’ = q

24

Ścieżka naprężenia (obciążenia)

Wykorzystując przedstawioną powyżej interpretację stanu
naprężenia w gruncie można w przejrzysty sposób przedstawić
kolejne etapy zmian naprężenia w gruncie. Na poniższym
rysunku przedstawiono dla dwu próbek badanych w aparacie
trójosiowym zmiany naprężenia: od wszechstronnego hydrosta-
tycznego ściskania 

1

= 

3

(punkty 1 i 6), przez kolejne

zwiększanie naprężenia głównego 

1

przy stałym 

3

(dla I.

próbki punkty-koła 2, 3 i 4) lub zmniejszanie naprężenia 

3

przy

stałym 

1

(punkt-koło

5

- ścięcie - dla I. próbki i punkty-koła 7,

8, 9 i

10

- ścięcie - dla II. próbki). Linia łącząca te punkty na

płaszczyźnie p - q obrazuje przebieg stanu naprężenia
(obciążenia) w próbce do momentu ścięcia i nazywamy ją

ścieżką naprężenia (obciążenia)

. Linia wytrzymałości gruntu

przechodzi przez punkty 5 i 10. Mając stąd b i  łatwo już

obliczyć c i .

Rys. 11