1

Weryfikacja hipotez
statystycznych

2

Etapy
planowania i
opracowania
badań

1.

Sformułowanie

problemu

badawczego

–

postawienie hipotezy merytorycznej

2.

Zebranie materiału badawczego (obserwacja,
eksperyment).

3.

Weryfikacja hipotezy merytorycznej metodami
statystycznymi.

4.

Wyciągnięcie wniosków.

3

Rodzaje hipotez

Hipoteza statystyczna – jest to każde przypuszczenie

dotyczące populacji generalnej bez przeprowadzenia

badania całkowitego. Dotyczyć ona może wartości

parametrów rozkładu (hipoteza parametryczna) lub

postaci

funkcyjnej

rozkładu

populacji

(hipoteza

nieparametryczna).

Przykłady hipotez parametrycznych:

-

Średnia populacji jest równa pewnej określonej wartości.

-

Wariancje dwóch populacji o rozkładach normalnych są

takie same.

Przykłady hipotez nieparametrycznych:

-

Populacja generalna ma rozkład Poissona.

-

Rozkłady w obu populacjach są niezależne

.

Prawdziwość hipotezy statystycznej weryfikujemy na

podstawie próby losowej.

4

Rodzaje hipotez c.d.

We wnioskowaniu statystycznym mamy dwie

hipotezy:

Hipoteza

zerowa

(H

0

)

–

podlega

ona

sprawdzeniu; zakłada np. brak istotnych
statystycznie różnic między parametrami
dwóch populacji lub rozkładem empirycznym
i teoretycznym.

Hipoteza alternatywna (H

1

) – zakłada istnienie

tych różnic.

5

Rodzaje błędów
statystycznych

Hipoteza

zerowa

DECYZJE

Przyjąć H

0

Odrzucić H

0

Hipoteza

zerowa jest

prawdziwa

Decyzja

prawidłowa

Błąd I rodzaju

()

Hipoteza

zerowa jest

fałszywa

Błąd II rodzaju

()

Decyzja

prawidłowa

6

Test statystyczny

Do weryfikacji hipotezy statystycznej

służy test statystyczny, czyli pewna
reguła postępowania, która każdej
możliwej próbie losowej
przyporządkowuje decyzję przyjęcia lub
odrzucenia sprawdzanej hipotezy.

Test statystyczny opiera się na statystyce

testowej (zmiennej losowej), której
rozkład teoretyczny jest znany.

7

Test istotności -
wprowadzenie

Do weryfikacji H

0

najlepszy byłby taki test, który

minimalizowałby zarówno prawdopodobieństwo , jak i

. Jest to jednak niemożliwe, bowiem zmniejszenie

prawdo-podobieństwa  powoduje jednoczesny wzrost

prawdo-podobieństwa . Stąd też w teorii weryfikacji

hipotez statystycznych dąży się do pewnego

kompromisu między prawdopodobieństwami  i 

błędów I i II rodzaju. Jednym ze sposobów uzyskiwania

takiego

kompromisu

jest

budowa

testu

najmocniejszego, dla którego - przy ustalonym z góry

poziomie błędu I rodzaju – prawdopodobieństwo błędu

II rodzaju będzie jak najmniejsze.

Założenie te spełnia test istotności.

8

Testy istotności - definicja

Test, w którym bierzemy pod uwagę jedynie
prawdopodobieństwo błędu I rodzaju nazywamy testem
istotności. W testach istotności w ogóle pomija się
kwestię błędu II rodzaju i prawdopodobieństwa jego
popełnienia. Stąd też w teście istotności nie podejmuje
się wcale decyzji o przyjęciu sprawdzanej hipotezy H

0

,

gdyż wówczas narażamy się na błąd II rodzaju, a
przecież jego prawdopodobieństwo  w tym teście nie

jest brane pod uwagę. Test istotności pozwala jedynie na
ewentualne odrzucenie sprawdzanej hipotezy H

0

na

poziomie

istotności

,

równym

założonemu

prawdopodobieństwu błędu I rodzaju, bądź też na
stwierdzenie braku podstaw do odrzucenia H

0

.

9

Poziom istotności i
ufności.
Moc testu.



Z góry założone prawdopodobieństwo błędu I rodzaju (),

polegającego na odrzuceniu prawdziwej hipotezy zerowej

określamy poziomem istotności. W testach istotności

przyjęto określone małe wartości tego błędu, tak aby

wnioski formułowane przy nich były wystarczająco

wiarygodne:
 = 0,05 - różnice istotne
 = 0,01 - różnice wysoce istotne
 = 0,001 - różnice bardzo wysoce istotne



Poziomem ufności określa się wartość 1 - , która oznacza

prawdopodobieństwo tego, że nie popełniliśmy błędu I

rodzaju.



Moc testu jest to wartość 1 - , czyli prawdopodobieństwo

tego, że test odrzuci fałszywą hipotezę zerową.

10

Obszar krytyczny testu

Robiąc założenie, że hipoteza H

0

jest prawdziwa,

dobiera się odpowiedni test np. test t, test F.

Następnie określa się wartości, jakie musiałyby

przyjąć ta zmienna losowa, aby było to „mało

prawdopodobne”, to znaczy prawdopodobieństwo

zaistnienia tych wartości byłoby równe poziomowi

istotności. Te mało prawdopodobne wartości tworzą

tzw. obszar krytyczny. Jeśli wartość testu obliczona

na podstawie wyników z próby znalazła się w

obszarze krytycznym, to wystąpiło zdarzenie mało

prawdopodobne. Skoro jednak zaszło, to można

odrzucić H

0

uznając ją za fałszywą z określonym

ryzykiem popełnienia błędu .

11

Obszar krytyczny testu
c.d.

Jeżeli przyjmiemy hipotezę zerową, że np. wartość przeciętna μ w
badanej populacji jest równa liczbie μ

o

(H

o

: μ = μ

o

, czyli H

o

: μ - μ

o

= 0),

to możemy sformułować trzy różne hipotezy alternatywne (H

1

)

dla tej

hipotezy zerowej:

obszar krytyczny lewostronny

obszar krytyczny prawostronny

obszar krytyczny obustronny

o

o

o

μ

μ

μ













12

Lewostronny obszar krytyczny

1 - 



H

o

:  = 

o

H

1

:  < 

o

13

Prawostronny obszar
krytyczny

1 - 



H

o

:  = 

o

H

1

:  > 

o

14

Dwustronny obszar krytyczny

1 - 

  

  

H

o

:  = 

o

H

1

:

o

μ

μ

15

Zastosowania testu t-Studenta

Test t-Studenta może być wykorzystywany:

a) w zastosowaniach „ilościowych” do:

-

określenia przedziału ufności, w którym znajduje się średnia

populacji (),

-

określenia przedziału ufności w którym znajduje się różnica

między średnimi dwóch populacji (μ

A

- μ

B

)

-

określenia minimalnej wielkości próby,

b) w zastosowaniach „jakościowych” jako test istotności do:
- weryfikacji hipotezy o wartości średniej populacji

-

porównania

dwóch

średnich

metodą

zmiennych

niepołączonych,

-

porównania dwóch średnich metodą zmiennych połączonych.

n

s

μ)

x

(

s

μ

x

t

x









16

Test t - Studenta dla wartości

średniej

Norma zawartości ołowiu w żywności

wynosi 1,50 mg/kg s. m. Wykonano

dziesięć oznaczeń Pb w losowo wybranych

korzeniach marchwi i otrzymano wartość

średnią 1,57 mg/kg oraz odchylenie

standardowe 0,0921 mg/kg.
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować

hipotezę, że zawartość ołowiu w marchwi

jest w normie wobec hipotezy

alternatywnej, iż zawartość ołowiu

przekracza dopuszczalną normę.

17

Hipotezy i rozwiązanie

μ

o

=1,50;

n=10;

s=0,0921

H

o

: μ

= μ

o

H

1

: μ

> μ

o

Wartość krytyczna (z tablic) t

0,05; 10-1

= 1,833

Ponieważ t

emp

> t

0,05

, więc t

emp

znajduje się w obszarze

krytycznym i możemy odrzucić hipotezę zerową - na
poziomie istotności 0,05 - na korzyść hipotezy
alternatywnej.

1,57;

x 

402

,

2

10

0921

,

0

50

,

1

57

,

1

n

s

μ

x

t

o

emp











18

Podział testów istotności różnic
dwóch średnich dla zmiennych
niepołączonych

Czy obserwowane populacje

mają rozkłady normalne ?

TAK

Znane wariancje ?

NIE

Duże próby ?

TAK

Test Z

NIE

Testy nieparam

.

TAK

Test Z

NIE

Równe wariancje ?

TAK

Test T

NIE

Test Cochrana-Coxa

19

Porównanie dwóch średnich metodą
zmiennych niepołączonych

Hipoteza zerowa zakłada, że
średnie populacji A i B są równe:

Hipoteza alternatywna zakłada,

że:

-

średnia A jest mniejsza od B

-

średnia A jest większa od B

-

średnie A i B różnią się,

B

A

H







:

0

B

A

B

A

B

A

H

H

H



















:

:

:

1

1

1

20

Porównanie dwóch średnich metodą
zmiennych niepołączonych za pomocą
testu t Studenta (równe wariancje)

Test ten służy do określenia na podstawie dwóch prób,

czy pochodzą one z populacji o różnych wartościach
średniej.

Polega on na wyliczeniu wartości empirycznej testu i

porównaniu jej z wartością krytyczną (z tablic) dla zadanej
wartości α i ν = n

A

+ n

B

- 2.

2

:

1

1

2

2

2

2

2

2



































b

a

B

A

B

A

B

A

d

B

A

d

d

B

A

emp

n

n

ns

ns

s

gdzie

n

n

gdy

n

n

s

s

n

n

gdy

n

s

s

s

x

x

t

21

Porównanie dwóch
średnich- interpretacja
parametrów

Jaki wpływ na możliwość
udowodnienia różnic między
średnimi z populacji ma:

-

różnica między średnimi z
prób?

-

liczebność prób ?

-

rozrzut wyników w obrębie
prób ?

22

Porównanie dwóch
średnich- wnioski

Wnioski na podstawie zastosowania testu istotności (w tym

testu t-Studenta) mogą być dwóch rodzajów:

1) W przypadku, gdy wartość empiryczna testu jest większa

od wartości krytycznej (t

emp

> t



)

to odrzucamy hipotezę

zerową (H

0

) na korzyść H

1

i z prawdopodobieństwem

popełnienia błędu mniejszym niż  stwierdzamy, że
porównywane próby pochodzą z populacji o istotnie
różnych wartościach średnich.

Stwierdzenie istotności oznacza, że mamy co

najmniej
(1 - )100% pewności tego, że nie mylimy się.

23

Porównanie dwóch
średnich wnioski c.d.

2) W przypadku, gdy wartość empiryczna testu jest

mniejsza lub równa wartości krytycznej (t

emp

<= t



)

stwierdzamy brak podstaw do odrzucenia hipotezy
zerowej H

0

Brak podstaw do odrzucenia hipotezy

zerowej (H

0

) na poziomie istotności



nie

oznacza, że jest ona prawdziwa, a jedynie
oznacza to, iż nie mamy co najmniej (1 -



)100%

pewności,

że

hipoteza

alternatywna (H

1

) jest prawdziwa.

24

Przykład

Sprawdzano, czy skażenie diety preparatem Cynkotox

wpływa na retencję azotu w organizmie szczurów. W tym

celu zaprojektowano doświadczenie, w którym badano

dwie grupy szczurów, w każdej po 6 osobników. Grupa A -

kontrolna była karmiona czystą paszą, natomiast grupa B

- paszą z dodatkiem Cynkotoxu. W tabeli przedstawiono

wskaźnik retencji azotu [mg/dzień].

n

1

2

3

4

5

6

Grupa

A

48

8

63

3

544 60

0

52

5

624

569

Grupa

B

29

5

49

7

409 30

3

51

0

316

388

x

25

Hipotezy i rozwiązanie

228

,

2

87

,

3

7

,

46

388

569

7

,

46

6

75

,

6546

2

75

,

6546

6

2

2

6

:

:

10

2

6

6

2

;

05

,

0

2

2

2

1





















































B

A

n

n

emp

d

d

B

A

d

B

A

emp

B

A

B

A

o

t

t

s

s

s

n

s

s

n

n

s

x

x

t

H

H













26

Wniosek:

Ponieważ t

emp

= 3,87 > t

0,05

= ,8,

to z prawdopodobieństwem popełnienia
błędu mniejszym niż 0,05 hipotezę H

0

odrzucamy

na

korzyść

hipotezy

alternatywnej H

1

i stwierdzamy, że

skażenie diety pestycydem Cynkotox
wpływa istotnie na retencję azotu w
organizmie szczurów. Wynika stąd, że
skażenie diety tym preparatem hamuje
proces biosyntezy białka.

27

Porównanie dwóch średnich metodą
zmiennych połączonych za pomocą
testu
t - Studenta

Procedurę tą stosuje się, gdy badamy np. dwie serie

wyników dla

tych samych obiektów w różnym czasie. Dla każdego
obiektu próby mamy parę liczb x

1

i y

i

oraz ich różnicę

x

1

- y

i

= d. Kiedy populacja tych różnic ma rozkład

normalny,

wówczas zmienna losowa

ma rozkład t - Studenta przy n-1 stopniach swobody
(n - liczba par), gdzie:

średnia różnic
standardowe odchylenie różnic

n

s

d

t

d



1)

n(n

)

d

(d

s

2

i

d













d

s

d

28

Przykład

W grupie 6 osób sprawdzono wpływ nowego leku na
zawartość glukozy we krwi. Pomiar stężenia glukozy
wykonano przed podaniem leku (x

i

) i 2 godz. po podaniu

leku (y

i

). Czy podany lek wywiera istotny wpływ na

zawartość glukozy we krwi?

1

2

3

4

5

6

Σ

x

i

103,3

104,0

103,1

103,0

102,8

102,5

618,7

y

i

104,0

103,9

103,5

103,7

103,4

102,8

621,3

d

-0,7

0,1

-0,4

-0,7

-0,6

-0,3

-2,6

29

Hipotezy i rozwiązanie

4,032

t

2,571

t

3,420

0,308

6

0,43

s

n

d

t

308

,

0

s

0,43;

6

2,6

d

103,55;

6

621,3

y

103,12;

6

618,7

x

;

6

5

0,01;

5

0,05;

d

emp

d



































0

d

:

H

0

d

:

H

1

o

n

Hipotezę zerową możemy odrzucić na poziomie
istotności 0,05, natomiast na poziomie 0,01 nie ma
podstaw do jej odrzucenia.