ZWIĄZKI LOGICZNE

MIEDZY ZDANIAMI

WYNIKANIE

• Ze zdania  WYNIKA LOGICZNIE

zdanie  zawsze i tylko wtedy, gdy

zdanie

•    jest prawem logiki.
• PRZYKŁAD 9
• Ze zdania (p  q) wynika logicznie

zdanie q, bo zdanie (p  q)  q jest

prawem logiki.

UWAGA

• Należy odróżnić wynikanie logiczne od

ANALITYCZNEGO,FIZYCZNEGO,
BIOLOGICZNEGO, PSYCHOLOGICZNEGO
itp.

• Definicje różnych typów wynikania

mają następujący schemat:

• Ze zdania  WYNIKA X-OWO zdanie 

zawsze i tylko wtedy, gdy zdanie

•    jest prawdą nauki X.

• W szczególności:
• Ze zdania  WYNIKA ANALITYCZNIE

zdanie  zawsze i tylko wtedy, gdy

zdanie    jest prawdą ANALITYCZNĄ.

• PRZYKŁAD 10
• Ze zdania „Jan jest mężem Marii” wynika

analitycznie zdanie „Maria jest żoną

Jana”, bo prawdą analityczną języka

polskiego jest to, że relacja bycia mężem

jest odwrotnością (konwersem) relacji

bycia żoną. 

• Ze zdania  WYNIKA FIZYCZNIE zdanie 

zawsze i tylko wtedy, gdy zdanie

•    jest prawdą fizyki.
• PRZYKŁAD 11
• Ze zdania „Na ciało nie działają żadne

siły” wynika zdanie „Ciało porusza się
ruchem jednostajnym lub spoczywa”, bo
zdanie „Jeśli na ciało nie działają żadne
siły, to ciało porusza się ruchem
jednostajnym

lub

spoczywa”,

jest

prawem Newtona.

• Ze zdania  WYNIKA BIOLOGICZNIE

zdanie  zawsze i tylko wtedy, gdy

zdanie    jest prawdą biologii.

• PRZYKŁAD 12
• Ze zdania „Kręgowiec X posiada nerki”

wynika biologicznie zdanie „Kręgowiec

X posiada serce”, bo prawem biologii

jest to, że wszystkie kręgowce

posiadające serce posiadają też nerki.

 

UWAGA

• Im prawa danej nauki są mniej

pewne, tym związek wynikania (na
gruncie tej nauki) jest słabszy. 

• PRZYKŁAD 13
• Czy ze zdania „Jan wychował się w

patologicznej rodzinie” wynika
psychologicznie zdanie „Jan założy
patologiczną rodzinę”?

WYKLUCZANIE (LOGICZNE)

• Zdanie  wyklucza się ze zdaniem 

zawsze i tylko wtedy, gdy ze zdania 

wynika zdanie  (albo: zdania  i  nie

mogą być jednocześnie prawdziwe –

tzn. zdanie (  ) jest kontrtautologią).

• Uwaga
• Zdania wykluczające się nie mogą być

jednocześnie prawdziwe ale mogą być

jednocześnie fałszywe.

 

PRZYKŁAD 13

• Zdanie p wyklucza się ze zdaniem p 

q, bo:

• p  (p  q) jest prawem logiki

(tautologią);

• p  (p  q) jest kontrtautologią.
• Uwaga
• Zdania p i p  q mogą być jednocześnie

fałszywe – gdy p =0 i q = 0.

DOPEŁNIANIE (LOGICZNE)

• Zdanie  dopełnia się ze zdaniem  zawsze i

tylko wtedy, gdy ze zdania  wynika

zdanie  (albo: zdania  i  nie mogą być

jednocześnie fałszywe – tzn. zdanie ( 

) jest kontrtautologią).

• Uwaga
• Zdania dopełniające się nie mogą być

jednocześnie fałszywe ale mogą być
jednocześnie prawdziwe.

 

PRZYKŁAD 14

• Zdanie p dopełnia się ze zdaniem p  q,

bo:

• p  (p  q) jest prawem logiki

(tautologią);

• p  (p  q) jest kontrtautologią.
• Uwaga
• Zdania p i p  q mogą być jednocześnie

prawdziwe, gdy p =1 i q = 1.

SPRZECZNOŚĆ LOGICZNA

• Zdanie  jest sprzeczne ze zdaniem 

zawsze i tylko wtedy, gdy ze zdania 

wynika zdanie  (zdania  i  się

wykluczają) i ze zdania  wynika zdanie 

(zdania  i  się dopełniają). Zdania

sprzeczne nie mogą być ani jednocześnie

fałszywe ani jednocześnie prawdziwe –   

jest tautologia, a    jest kontrtautologią.

• Uwaga
• Zdaniem sprzecznym do danego jest po

prostu jego negacja.

 

PRZYKŁAD 15

• Zdaniem sprzecznym do zdania
• p  q
• jest zdanie p  q,
• bo:
• (p  q)  (p  q)
 

RÓWNOWAŻNOŚĆ

• Zdanie  jest równoważne zdaniu 

zawsze i tylko wtedy, gdy ze zdania 

wynika zdanie  i ze zdania B wynika

zdanie  – tzn. kiedy zdanie    jest

tautologią.

• Uwaga
• Zdania równoważne mają taką samą

wartość logiczną

PRZYKŁAD 16

• Zdanie p  q jest równoważne ze

zdaniem

• q  p,
• bo:
• (p  q)  (q  p) jest tautologią

(prawo transpozycji). 

PODSUMOWANIE

• Jeśli dane są dwa zdania  i  to mogą między

nimi zachodzić następujące związki:

ZWIĄZEK

CO

JEST

TAUTOLOG
IĄ

JAKIE

WARTOŚCI

LOGICZNE

ZWIĄZEK Z INNYMI
ZALEŻNOŚCIAMI

WYNIKANIE

(Z



WYNIKA )

  

nie może być tak, że 
= 1 i  = 0.

WYNIKANIE

(Z



WYNIKA )

  

nie może być tak, że 
= 1 i  = 0.

RÓWNOWAŻNOŚĆ

  

 i  mają takie same
wartości logiczne.

zachodzi tylko wtedy,
gdy zachodzą wynikania
w obie strony.

WYKLUCZANIE

  
(  )

nie może być tak, że 
= 1 i  = 1.

DOPEŁNIANIE

  
  

nie może być tak, że 
= 0 i  = 0.

SPRZECZNOŚĆ

  
  

 i  mają różne
wartości logiczne

zachodzi tylko wtedy,
gdy

zachodzi

wykluczanie

i

dopełnianie.

WARUNEK KONIECZNY

• Stwierdzamy, że zajście pewnego

faktu (wykonanie pewnej czynności)
jest WARUNKIEM KONIECZNYM
(łac. condition sine qua non).

• Co to znaczy?

PRZYKŁAD 1

• a) Warunkiem koniecznym fałszywości zdania (p  q) jest

fałszywość obu zdań składowych, bo jest prawdą logiczną, że:

• jeśli fałszywe jest zdanie (p  q), to fałszywe jest zdanie p i

fałszywe jest zdanie q.

• b) Warunkiem koniecznym tego, ze pada deszcz jest to, że są

chmury, bo jest prawdą fizyczną (meteorologiczną?), że:

• jeśli pada deszcz to są chmury.
• c) Warunkiem koniecznym bycia matką jest bycie kobietą, bo

prawdą biologiczną jest, że:

• jeśli ktoś jest matką to jest kobietą.
• d) Warunkiem koniecznym podzielności przez 4 jest

podzielność przez 2, bo prawdą matematyczną jest:

• jeśli dana liczba jest podzielna przez 4, to jest podzielna przez

2.

• e) Warunkiem koniecznym pełnej zdolności do czynności

prawnych jest pełnoletniość, bo z KC wynika, że

• jeśli dana osoba nie jest pełnoletnia, to nie ma pełnej

zdolności do czynności prawnych

UWAGA

• Podobnie jak pojęcie wynikania,

pojęcie warunku koniecznego jest
wieloznaczne – są warunki logicznie
konieczne,

analitycznie

konieczne, fizycznie konieczne
itd. Zależy to od tego, do praw
jakiej nauki odwołujemy się, aby
stwierdzić, że prawdziwa jest pewna
implikacja.

• DEFINICJA

BYCIA

WARUNKIEM

LOGICZNIE KONIECZNYM

• Zdanie  jest warunkiem (logicznie)

koniecznym zdania  zawsze i tylko wtedy,

gdy implikacja    jest prawem logiki.

•  
• DEFINICJA

BYCIA

WARUNKIEM

KONIECZNYM NA GRUNCIE NAUKI X

• Zdanie  jest warunkiem koniecznym na

gruncie nauki X zdania  zawsze i tylko

wtedy, gdy implikacja    jest prawem

nauki X.

 

• W PRZYKŁADZIE 1 (a) mówi o warunku

logicznie koniecznym, (b) – fizycznie
koniecznym,

(c)

–

biologicznie

koniecznym,

(d)

–

matematycznie

koniecznym, a w przykładzie (e) – o
warunku prawnie koniecznym. 

• PROBLEM
• Czy

warunkiem

koniecznym

szczęśliwego związku jest to, że
partnerzy

mają

podobne

zainteresowania?

WARUNEK DOSTATECZNY

• Co to znaczy, że zajście pewnego

faktu (wykonanie pewnej czynności)
jest

warunkiem

dostatecznym

(warunkiem wystarczającym) zajścia
innego faktu?

 

PRZYKŁAD 2

• a) Warunkiem logicznie dostatecznym prawdziwości implikacji (p 

q) jest fałszywość jej poprzednika, bo jest prawem logiki jest, że:

• jeśli zdanie p jest fałszywe, to zdanie (p  q) jest prawdziwe.
• b) Warunkiem fizycznie dostatecznym stwierdzenia, że w nocy

temperatura spadła poniżej zera jest to, że wszystkie kałuże są
zamarznięte, bo jest prawem fizyki, że:

• jeśli woda zamarza, to temperatura jest ujemna.
• c) Warunkiem biologicznie dostatecznym stwierdzenia, że dane

zwierze jest kręgowcem jest to, że jest ono ssakiem, bo jest
prawem biologii, że:

• każde zwierze, które jest ssakiem jest kręgowcem.
• d) Warunkiem matematycznie dostatecznym podzielności przez 3

jest podzielność przez 6, bo jest prawem matematyki, że:

• jeśli dana liczba jest podzielna przez 6, to jest podzielna przez 3.
• e) Warunkiem prawnie dostatecznym pełnoletniości jest zawarcie

związku małżeńskiego, bo z KC wynika, że:

• jeśli dana osoba zawarła związek małżeński, to jest pełnoletnia.

• W PRZYKŁADZIE 2

(a) mówi o warunku

logicznie dostatecznym, (b) – fizycznie
dostatecznym, (c) – biologicznie dostatecznym,
(d) – matematycznie dostatecznym, a w
przykładzie (e) – o warunku prawnie
dostatecznym.

• Podobnie jak w wypadku warunku koniecznego,

pojęcie

warunku

dostatecznego

jest

wieloznaczne – trzeba sobie zdawać sprawę z
jego relatywizacji do praw określonej nauki.

• PROBLEM
• Czy warunkiem dostatecznym szczęścia jest

posiadanie dużej ilości pieniędzy? 

• DEFINICJA

BYCIA

WARUNKIEM

LOGICZNIE DOSTATECZNYM

• Zdanie  jest warunkiem (logicznie)

dostatecznym zdania  zawsze i tylko

wtedy, gdy implikacja    jest prawem

logiki.

•  
• DEFINICJA

BYCIA

WARUNKIEM

DOSTATECZNYM NA GRUNCIE NAUKI X

• Zdanie  jest warunkiem dostatecznym na

gruncie nauki X zdania  zawsze i tylko

wtedy, gdy implikacja    jest prawem

nauki X.

ZADANIE

• Zapisz strukturę zdania i określ jego wartość logiczną.
• a) Warunkiem koniecznym podzielności przez 5 jest

podzielność przez 10.

• b) Warunkiem dostateczny podzielności przez 5 jest

podzielność przez 10.

• c) Nieprawda, że warunkiem wystarczającym deszczu

są chmury.

• d) Brak wolność woli nie jest warunkiem koniecznym

nie istnienia moralności

• e) Nieprawda, że bycie dziadkiem jest warunkiem

wystarczającym nie bycia ojcem.

• f) Warunkiem koniecznym nie bycia ojcem jest nie

bycie dziadkiem.

• g) Nieprawda, że warunkiem wystarczającym zawarcia

związku małżeńskiego jest bycie pełnoletnim.