#3 Wariancja, odchylenie
standardowe, skośność i
kurtoza

STATYSTYKA - ĆWICZENIA

Prowadzący: Rafał Styła
([e-mail])

Miary rozproszenia – rozstęp, wariancja,
odchylenie standardowe

Populacja - parametry



Rozstęp – odcinek wartości
wyników populacji, dla
których prawdopodobieństwa
są różne od zera



Wariancja



Odchylenie standardowe

Próba - estymatory



Rozstęp R=x

max

-x

min



Szerokość przedziału, w
którym znalazły się wyniki w
danej próbie



Wariancja



Odchylenie standardowe

1

)

(

2









n

x

x

S

śr

1

)

(

2

2









n

x

x

S

śr

p

N

x

2

2

)

(











p

N

x

2

2

)

(















Zadanie A: ilość punktów koszykarzy Warszawa
Polonia
Oblicz rozstęp

Zadanie A: ilość punktów koszykarzy Warszawa
Polonia
Oblicz rozstęp



R=x

max

-x

min

=99-67=32

Zadanie B: ilość punktów koszykarzy Warszawa
Polonia
Oblicz rozstęp

Zadanie C ilość punktów koszykarzy Warszawa
Polonia
Oblicz rozstęp

Miary rozproszenia

Populacja



Wariancja



Odchylenie standardowe

Próba



Wariancja



Odchylenie standardowe

1

)

(

2









n

x

x

S

śr

1

)

(

2

2









n

x

x

S

śr

p

N

x

2

2

)

(











p

N

x

2

2

)

(















Miary rozproszenia

Próba



Wariancja



Odchylenie standardowe

Wzór ten można również zapisać

jako

1

)

(

2









n

x

x

S

śr

1

)

(

2

2









n

x

x

S

śr

Stopnie swobody

1

2

2









n

nx

x

S

śr

Próba



N – liczba pomiarów



N-1 – liczba odchyleń od
średniej, które mogą się
zmieniać



Podzielenie kwadratów
odchyleń daje obciążony
estymator wariancji w
populacji



Podzielenie przez stopnie
swobody daje nieobciążony
estymator wariancji w
populacji

Przykłady



10 10 10 10 10



6 8 10 12 14



2 6 10 14 18

Zadanie A: ilość wypitej wody
Wariancja i odchylenie standardowe

Zadanie A: ilość wypitej wody
Wariancja i odchylenie standardowe



Xśr=(0+2+3+4+6)/5=15/5=3



S

2

= [(0-3)

2

+(2-3)

2

+(3-3)

2

+(4-

3)

2

+(6-3)

2

]/5-1

=[9+1+0+1+9]/4=20/4=5

1

)

(

2

2









n

x

x

S

śr

23

,

2

5

2





 S

S

Zadanie A: ilość wypitej wody mineralnej
Wariancja i odchylenie standardowe



Xśr=(0+2+3+4+6)/5=15/3=3



Albo



S

2

=[(4+9+16+36)-5*9]/5-

1=(65-45)/4=5

23

,

2

5

2





 S

S

1

2

2

2









n

nx

x

S

śr

Zadanie B: ilość wypitej wody mineralnej
Wariancja i odchylenie standardowe

Zadanie C: ilość wypitej wody mineralnej
Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancja – wzór, gdy wyniki w postaci
przedziałów klas

Próba



Wariancja – wzór, gdy wyniki w postaci przedziałów klas



Odchylenie standardowe

1

)

(

2

przedzialu

srodek

i

2











n

f

x

x

S

i

śr

1

)

(

2

przedzialu

srodek

i











n

f

x

x

S

i

śr

Wariancja i odchylenie standardowe



Ilość punktów z testu wiedzy

Zadanie: oblicz średnią arytmetyczną



Rozwiązanie

Średnia= 613/64=9,6

S2= {[(17-9,6)2*2]+[(12-

9,6)2*34]+[(7-9,6)2*23]+[(2-
9,6)2*5]}/64-1= 749,6/63=11,9

S=3,4

Zadanie: oblicz odchylenie standardowe
Wiek dzieci świetlicy szkoły numer 319

Właściwości odchylenia standardowego



Jeżeli do wszystkich pomiarów z próby dodamy pewną
wartość stałą, to odchylenie standardowe pozostanie nie
zmienione.



Jeżeli wszystkie pomiary z próby zostaną pomnożone przez
pewną wartość stałą, to odchylenie standardowe również
zostanie pomnożone przez wartość bezwzględną tej stałej.

Momenty średniej



Pojęcia wzięte z mechaniki



służą do wyliczenia skośności i kurtozy

2

2

2

1

)

(

S

n

n

n

x

x

m

śr











0

)

(

1









n

x

x

m

śr

n

x

x

m

śr

3

3

)

( 





n

x

x

m

śr

4

4

)

( 





n

x

x

m

r

śr

r

)

( 





Skośność

Skośność – czy rozkład wyników jest

symetryczny, czy też jest przegięty
w którąś ze stron



Gdy g

1

=0 – rozkład symetryczny



Gdy g

1

<0 – rozkład skośny ujemnie



Gdy g

1

>0 – rozkład skośny dodatnio

2

2

3

1

m

m

m

g 

Zadanie A: oblicz skośność



A 6 8 10 12 14



B 6 8 10 11 15

Zadanie A: oblicz skośność

Xśr=10

Odejmujemy wyniki od średnie



A -4 -2 0 +2 +4



B -4 -2 0 +1 +5

Aby obliczyć m2 podnosimy do kwadratu

i sumujemy



A +16 +4 0 +4 +16 = 40/5=8



B +16 +4 0 +1 +25 =46/5=9,2

Aby obliczyć m3 podnosimy do sześcianu



A -64 -8 0 +8 +64 =0/5=0



B -64 -8 0 +1 +125 = 54/5=10,8



G

1A

=0/22,6=0



G

1B

=10,8/27,9=0,387

2

2

3

1

m

m

m

g 

n

x

x

m

r

śr

r

)

( 





Zadanie B: oblicz skośność



A 1 3 4 5 7



B 1 2 4 5 7

Zadanie C: oblicz skośność

Zadanie C: oblicz skośność



Średnia arytmetyczna z rozkładów

liczebności=Σx

i

*f

i

/n



X

śr

=(4+68+176+100)/100

=3,48



m

2

=(2*2,19+34*0,23+44*0,27+2

0*2,31)/100=4,38+7,82+11,88+4

6,2=70,28/100=0,7



M

3

=(2*-3,24+34* -0,11

+44*0,14+20*3,51)/100=-6,48-

3,74+6,16+

70,2=66,14/100=0,66

0

10

20

30

40

50

2

3

4

5

2

2

3

1

m

m

m

g 

2

2

2

1

)

(

S

n

n

n

x

x

m

śr











n

x

x

m

śr

3

3

)

( 





Zadanie C: oblicz skośność



m

2

=0,7



m

3

=0,66



g

1

=0,66/07*0,83=0,66/0,58=

1,13

0

10

20

30

40

50

2

3

4

5

2

2

3

1

m

m

m

g 

2

2

2

1

)

(

S

n

n

n

x

x

m

śr











n

x

x

m

śr

3

3

)

( 





Kurtoza

Kurtoza – czy rozkład wyników jest

spłaszczony, czy spiczasty, czy
normalny



Gdy g

2

=0 – rozkład normalny



Gdy g

2

<0 – rozkład platykurtyczny

(rozpłaszczony)



Gdy g

2

>0 – rozkład leptokurtyczny

(spiczasty)

3

2

2

4

2





m

m

g

Zadanie A: oblicz kurtozę



A 6 8 10 12 14



B 5,64 9 10 11 14,36

Zadanie A: oblicz kurtozę

Xśr=10

Odejmujemy wyniki od średniej



A -4 -2 0 +2 +4



B -4,36 -1 0 +1 +4,36

Aby obliczyć m2 podnosimy do kwadratu i

sumujemy



A +16 +4 0 +4 +16 = 40/5=8



B +19 +1 0 +1 +19 =40/5=8

Aby obliczyć m4 podnosimy do potęgi

czwartej



A 256 16 0 16 256 =544/5=108,8



B 361,36 1 0 1 361,36 =

724,72/5=144,94



g

2A

=(108,8/64)-

3=1,7-3=-1,3



g

2B

=(144,94/64)-

3=2,26-3=-0,73

3

2

2

4

2





m

m

g

Zadanie B: oblicz skośność



A 1 3 4 5 7



B 1 2 4 6 7

Praca domowa – rozstęp, wariancja, odchylenie
standardowe



Z Ferguson, Takane



S.98-99



Zadania 1, 2, 3

Wzory do zapamiętania

n

x

f

x

k

i

i









1

n

x

n

x

x

x

x

x

n

i

i

n

















1

3

2

1

...

2

1





n

me

i

i

c

di

h

f

f

n

x

me

i



















 





 1

2

1

)

(

2









n

x

x

S

śr

1

)

(

2

2









n

x

x

S

śr

1

)

(

2

przedzialu

srodek

i

2











n

f

x

x

S

i

śr

1

)

(

2

przedzialu

srodek

i











n

f

x

x

S

i

śr

2

2

3

1

m

m

m

g 

n

x

x

m

r

śr

r

)

( 





3

2

2

4

2





m

m

g

Dziękuję za uwagę.