Analiza obwodów liniowych

Analiza obwodów liniowych

w stanie dynamicznym

w stanie dynamicznym

Kondensator:

Element dwuzaciskowy (dwójnik)
magazynujący energię

)

(t

u

)

(t

i

q(t)

-q(t)

Podstawowe zależności:

d

S

C

0





)

(

)

(

t

Cu

t

q 

dt

t

du

C

dt

t

dq

t

i

)

(

)

(

)

(





dt

t

du

C

t

i

)

(

)

( 







t

t

d

d

du

C

d

i

0

0

)

(

)

(















t

0

• Napięcie u

C

(t) na zaciskach kondensatora

jest ciągłą funkcją czasu nie może

się nagle (skokowo) zmienić z jednej
wartości do drugiej

)

0

(

)

0

(

)

0

(









u

u

u

Podstawowe zależności:

)

(

)

(

t

Li

t 



dt

t

i

d

L

dt

t

d

t

u

)

(

)

(

)

(







Cewka:

• Prąd i

L

(t) płynący przez cewkę jest

ciągłą funkcją czasu nie może się

nagle (skokowo) zmienić z jednej
wartości do drugiej

)

0

(

)

0

(

)

0

(









i

i

i

Przykład problemu

Przykład problemu

)

(t

i

U

R

C

)

(t

u

C

U

t

)

(t

u

R

0

)

0

( 

C

u

U

t

u

dt

t

du

CR

C

C





)

(

)

(

2

0

)

(

)

(







t

u

R

t

i

U

C

1

R

R

ównanie obwodu:

ównanie obwodu:

 

dt

)

t

(

du

C

t

i

C



3

RC

U

t

u

RC

dt

t

du

C

C





)

(

1

)

(

4

szczególne

ogólne

C

C

C

u

u

)

t

(

u





Rozwiązanie

matematycznie:

5

rt

C

Ae

u



ogólne

Stała całkowania

r pierwiastek równania charakterystycznego
równania uproszczonego:

0

)

(

1

)

(





t

u

RC

dt

t

du

C

C

6

8

 



t

C

s

C

w

C

C

Ae

u

u

u

u













7

RC

r

RC

r

1

0

1











)

(

)

(

)

(

t

u

t

u

t

u

W

S

C

C

C





Wyznaczenie stałej A

Wyznaczenie stałej A

Wyznaczenie stałej A

Wyznaczenie stałej A

0

)

(







t

U

Ae

t

u

rt

C

U

Ae

u

r

C





0

)

0

(

U

u

A

C





)

0

(

U

e

U

u

t

u

rt

C

C







)

)

0

(

(

)

(

Rozwiązanie przykładu:

Rozwiązanie przykładu:

)

0

(

0

)

0

(

C

C

u

u







U

e

U

u

t

u

rt

C

C







)

)

0

(

(

)

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

(



t

RC

t

rt

C

e

U

e

U

e

U

t

u



















)

(t

u

C

t

U

Analiza obwodów z

Analiza obwodów z

jednym

jednym

elementem reaktancyjnym

elementem reaktancyjnym

OBWODY RC

A

B

C

)

(t

u

C

)

(t

i

C

u

z

R

z





)

(

)

(

1

)

(

t

u

t

u

dt

t

du

Z

C

C







t

C

C

C

C

Ae

t

u

t

u

t

u

t

u

W

S

W













)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

(

)

0

(

W

C

C

u

u

A





Dla obwodów I rzedu mamy zawsze takie samo równanie:

C

R

Z





gdzie







t

C

C

C

C

C

C

e

)

(

u

)

(

u

)

t

(

u

)

t

(

u

)

t

(

u

)

t

(

u

W

W

S

W















0

0

Składowa

wymuszona

Składowa

swobodna







t

C

C

C

C

e

u

u

u

t

u













)

(

)

0

(

)

(

)

(

Algorytm obliczeń dla metody

Algorytm obliczeń dla metody

klasycznej

klasycznej

1. obliczenie warunków początkowych dla

cewek i

kondensatorów dla

0



t

2. sformułowanie układu równań

różniczkowych dla obwodu dla

0



t

3. poszukiwanie rozwiązania

 

w

s

x

x

t

x





4. wykorzystanie prawa komutacji (warunki

początkowe) dla obliczenia stałych składowej
swobodnej x

s

5. sformułowanie postaci

 



t

x

x

w

znajdujemy z obwodu gdy t→∞

S

C

u

A

1

A





j

t

k

t

x

Stała czasowa

Stała czasowa

t

j

k

t

t

t

Ae

x

A

tg

j















1

Interpretacja stałej czasowej:



t

C

Ae

t

u

S





)

(

1







j

t

Ae

tg













tg

tg

e

A

dt

t

du

j

S

t

C













)

(







j

k

t

t

Przykład z podręcznika

Przykład z podręcznika

C

R

t = 0

i

u



t

W

A

u

u

C

C







e

1

U

u

W

C



2

0

)

0

(

)

0

(







C

C

u

u

3

U

A 



















t

e

U

u

C

-

-

1

4









t

R

U

t

u

C

i

C

e

d

d

5











t

R

U

R

u

U

i

C

e

Lub inaczej