Analiza wymiarowa

Przykład wyznaczania

współczynników wnikania

masy

Przygotowali:

Patrycja Winiarczyk

Dawid Sacha

Rozważamy przypadek wnikania składnika A z

mieszaniny gazowej płynącej strumieniem w górę

pionową rurą w przeciwprądzie do cieczy spływającej

cienką warstwą po obwodzie wewnętrznym ścianki tej

rury. Wyznaczenie współczynnika wnikania masy

k

G

oparlismy na metodzie analizy wymiarowej.

Na podstawie obserwacji można stwierdzić, że

wartość współczynnika

k

G

jest funkcją:

• średnicy rury

d [m]

• gęstości

ρ [kg/m

3

]

• dynamicznego współczynnika lepkości gazu

η

[kg/(m*s)]

• wartości siły napędowej występującej w granicznej

błonce gazowej

Δc

A

[kg/m

3

]

• liniowej prędkości przepływu gazu

u [m/s]

• kinematycznego współczynnika dyfuzji

D

AB

[m

2

/s]

• długości rury

L [m]

• przyspieszenia ziemskiego

g [m/s

2

]

Wszystkie wymienione wielkości mają wymiar fizyczny, który
można wyrazić przy pomocy trzech wymiarów podstawowych:

m, kg, s.

Problem rozwiążemy wykorzystując metodą Buckinghama

analizy wymiarowej, przez co otrzymamy o związek wiążący

sześć liczb bezwymiarowych (kryteriów).

Ponieważ funkcja:

zawiera 9 parametrów

n

i 3 wymiary podstawowe

m

stąd:

Końcowa postać zależności uzyskanej na podstawie analizy

jest funkcja 6 liczb bezwymiarowych:

6



 m

n

0

)

,

,

,

,

,

(

6

5

4

3

2

1

1



K

K

K

K

K

K

f

0

)

,

,

,

,

,

,

,

,

(





L

D

u

g

c

k

d

f

AB

A

G





Trzy parametry d, ρ, η zawierają 3 podstawowe wymiary

fizyczne

(m, kg, s)

uznajemy je jako główne i uwzględniamy w każdej grupie funkcji

K

1

, K

2

, K

3

, K

4

, K

5

, K

6

.

Stąd otrzymamy wyrażenie dla pierwszej liczby

bezwymiarowej

Bezwymiarowość wymaga spełnienia warunku:

Aby warunek ten mógł być spełniony dla poszczególnych

wymiarów podstawowych napiszemy następujące równania:

t

G

s

r

p

k

d

K







1

 

t

s

r

p

s

m

s

m

kg

m

kg

m





























3

1





























t

s

s

s

r

kg

t

s

r

p

m

0

:

0

:

3

0

:

Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymujemy

odpowiedź, że:

Stąd zaś wynika, że

t

r

p

s













G

k

d

K







1

Utwórzmy drugą grupę parametrów

Po podstawieniu wymiarów fizycznych poszczególnych wielkości
otrzymamy związek

A stąd układ następujących trzech równań:





t

A

s

r

p

c

d

K









2

 

t

s

r

p

m

kg

s

m

kg

m

kg

m





























3

3

1





























s

s

t

s

r

kg

t

s

r

p

m

0

:

0

:

3

3

0

:

Skąd

a liczba bezwymiarowa K

2

przyjmie postać

0



s

t

r 



0



p

A

c

K







2

Podobnie postępując z następującymi grupami
parametrów, otrzymamy dalsze liczby bezwymiarowe
(kryteria):

2

2

3

3





g

d

K 

AB

D

K







5

d

L

K 

6





u

d

K 

4

W dyfuzyjnym ruchu masy szczególnie ważną rolę

odgrywają dwie spośród sześciu wyprowadzonych liczb
bezwymiarowych, a mianowicie kryterium Reynoldsa (Re)

i kryterium Schmidta (Sc)

Re

4









ud

K

Sc

D

K

AB









5

Kombinacje otrzymanych liczb bezwymiarowych dają

również związki ważne dla dyfuzyjnego ruchu masy. Na
przykład stosunek

jest ważną liczbą bezwymiarową Sherwooda (Sh)

Iloczyn stanowi liczbę bezwymiarową

zwaną liczbą Grashofa dla ruchu masy (Gr)

1

5

K

K

Sh

D

d

k

k

d

D

K

K

AB

G

G

AB







































1

5

6

3

2

K

K

K

Gr

c

gL

d

L

g

d

c

K

K

K

A

A



















3

3

3

2

2

3

6

3

2

Kombinacje wyprowadzonych tu liczb bezwymiarowych

mogą opisywać wyniki doświadczeń. Ogólna korelacja liczb
bezwymiarowych może być ujęta w postaci

gdzie A - bezwymiarowa wielkość stała, liczbowy

współczynnik proporcjonalności.

Dla przykładu konwekcji wymuszonej, przepływu

strumienia gazu w rurze pionowej ruchem burzliwym (w
przeciwprądowym kontakcie ze spływającą w dół cieczą)

F

E

D

C

B

K

K

K

K

AK

K

6

5

4

3

2

1



C

B

K

AK

K

K

5

4

1

5



C

B

Sc

A

Sh

Re



Dziękujemy za uwagę…