Odpowiedzi i schematy oceniania
Arkusz 18
Zadania zamknięte
Numer Poprawna
Wskazówki do rozwiązania
zadania odpowiedz
1. C.
8 - a 5 = 3
- a 5 = -5
5 5 5
a = = = 5
5
5
2. B. Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe.
2a = a + b
2a - a - b = 0
a - b = 0
3. B. S = (1, 0) współrzędne środka okręgu.
Odległość punktu S od prostej x = 3 jest równa 2 .
Aby prosta i okrąg miały dwa punkty wspólne, r > 2.
4. C.
Wzór funkcji: f (x) = (x + 4)(x - 6) + w = x2 - 2x - 24 + w .
- (-2)
Pierwsza współrzędna wierzchołka: = 1.
2
f (1) = -2 Ò! 1- 2 - 24 + w = -2
w = 23
f (x) = (x + 4)(x - 6) + 23
2
5. C. 1 1 1
ëÅ‚ - öÅ‚ëÅ‚ - öÅ‚ ëÅ‚ - öÅ‚
ìÅ‚a 2 - 5÷Å‚ìÅ‚a 2 + 5÷Å‚ ìÅ‚a 2 ÷Å‚
= - 25 = a-1 - 25
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
6. A. 2a + 3 > 1
2a > -2 Ò! a > -1
4 2 2 2
7. B.
cos4 Ä… + sin Ä… = (cos2 Ä… + sin Ä… )2 - 2cos2 Ä… sin Ä… = 1- 2sin Ä… cos
1- 2sin2 Ä… cos2 Ä… = 1- 2 Å" (0,5)2 = 0,5
8. D.
Ze wszystkich dziesięciu cyfr mo\na utworzyć 108 numerów
telefonicznych ośmiocyfrowych. Ośmiocyfrowych numerów z
dziewiÄ…tkÄ… na pierwszym miejscu jest 107 .
1
Numerów ośmiocyfrowych bez dziewiątki jest: 108 -107 .
1
9. B.
-1
2
1 1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
+ 2-2 - ìÅ‚ ÷Å‚
= 2 + - = 2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 4 4
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚16 Å‚Å‚
1
33 %m = 2
3
100 1
Å" m = 2
3 100
m = 6
10. C. Wartość bezwzględna liczby jest zawsze liczbą nieujemną.
x e" 0, x + 2 e" 0
Suma będzie miała najmniejszą wartość dla x = 0 i będzie równa
2 .
11. B.
6 - 2x = 1
6 - 2x = 1 lub 6 - 2x = -1
- 2x = -5 lub - 2x = -7
x = 2,5 lub x = 3,5
3,5 - 2,5 = 1
12. A. Największą wartość y = 3 funkcja osiąga dla x = 0. Najmniejsza
wartość to y = -1 dla x " 2, ") .
Zbiór wartości: -1, 3 .
13. D. (2m - 4)x + 2y +1 = 0
2y = -(2m - 4)x -1/ : 2
y = -(m - 2)x - 0,5
tg45 = 1
- (m - 2) = 1
- m + 2 = 1
- m = -1
m = 1
14. B.
PEFG
= 4 = k2, k = 2 skala podobieństwa
PABC
2
EF
= 2
16
EF = 32
15. D. Wielomian stopnia trzeciego, którego pierwiastkami są liczby
a, b, c , mo\na zapisać w postaci:
W (x) = m(x - a)(x - b)(x - c) .
Jeśli m = 2, a = -3, b =1, c = 4 , to W (x) = 2(x + 3)(x -1)(x - 4) .
2
16. B.
Ä„r = 4Ä„ Ò! r = 2 promieÅ„ koÅ‚a
a - długość boku trójkąta
h wysokość trójkąta
2 2 3 3
r = h = Å" a = a
3 3 2 3
3
a = 2
3
6 6 3
a = = = 2 3
3
3
17. A. AB krótsza podstawa
AB = 10
CD dłu\sza podstawa
CD = 16
BE wysokość poprowadzona z wierzchołka B
"BEC prostokÄ…tny, "EBC = 30
EC
sin 30 =
CB
1 3
= Ò! CB = 6
2 CB
Obwód: 10 +16 + 6 + 6 = 38 .
18. B. Pole figury jest równe 8 (jest to trójkąt), gdy ograniczone jest przez
proste y = 2x - 4, y = -2x - 4, y = 0 .
Wykresy prostych y = 2x - 4, y = -2x - 4 le\Ä… powy\ej wykresu
funkcji f (x) = x2 - 4 .
3
Zatem pole danej figury jest większe od 8 .
19. B. Prawdopodobieństwo wyboru ka\dej z kapsuł jest takie samo,
1
zatem jest równe .
2
1 1 1 2 1 1 9
P(A) = Å" + Å" = + =
2 2 2 5 4 5 20
20. C. r promień kuli
4 1
3
Ä„r = Ä„
3 6
1
3
r =
8
1
r =
2
Pole powierzchni kuli:
2
1
ëÅ‚ öÅ‚
2
4Ä„r = 4Ä„ Å" = Ä„ H" 3,14 liczba niewymierna wiÄ™ksza od 3 .
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
21. C. a długość krawędzi sześcianu
Objętość sześcianu: a3 .
a3 2
Objętość czworościanu foremnego: .
12
a3 12 12 2
= = = 6 2
2
a3 2 2
12
22. C. a, 0,5a, 025a trzy pierwsze wyrazy ciÄ…gu
a + 0,5a + 0,25a = -3,5
a = -2
Czwarty wyraz: (-2) Å" (0,5)3 = -0,25.
2
23. A.
2 2 2
4log 5 = 22 log 5 = (2log 5) = 52 = 25
24. A. 3x, 4x długości wysokości
a, b długości boków
3xa = 4xb
3ax = 4bx = 24 Ò! a = 4, b = 3, poniewa\ dÅ‚ugoÅ›ci boków wyra\ajÄ…
siÄ™ liczbami naturalnymi i 3x > 5,4x > 5 .
4
25. D. KÄ…ty KEL i LAK sÄ… kÄ…tami wpisanymi w okrÄ…g, opartymi na tym
samym łuku, mają więc równe miary.
Zadania otwarte
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zania
zadania punktów
26. Wyznaczenie ró\nicy ciągu: 1
a pierwszy wyraz ciÄ…gu,
r ró\nica ciągu,
- r = a3 - a4 = -2 Ò! r = 2 .
Wyznaczenie pierwszego wyrazu ciÄ…gu: 1
a2 + a3 = a + r + a + 2r = 2a + 3r = 0,
2a + 6 = 0,
a = 3.
27. Obliczenie wartości logarytmów: 1
3
x
log2 2 8 = x Ô! (2 2)x = 8 Ô! 22 = 23 Ô! x = 2,
z 2
1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
log 0,25 = z Ô! = Ô! z = 2 .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2
Obliczenie liczby a i uzasadnienie, \e nie jest to liczba ani 1
pierwsza, ani zło\ona:
a = 2 - 2 = 0 ,
Zero nie jest ani liczbą pierwszą, ani zło\oną.
28. Przekształcenie równania: 1
2cosÄ… - 2 = 0 ,
2cosÄ… = 2 ,
2
cosÄ… = .
2
1
Podanie miary odpowiedniego kÄ…ta: Ä… = 45 .
29. Przedstawienie wyra\enia pod znakiem pierwiastka w postaci 1
wzoru skróconego mno\enia:
5
6 3 +12 = 3 + 6 3 + 9 = (3 + 3)2 .
Wykorzystanie własności wartości bezwzględnej: 1
(3 + 3)2 = 3 + 3 = 3 + 3 , bo 3 + 3 > 0 ,
3 + 3 > 3 +1 = 4 , bo 3 > 1.
30. Podniesienie obu stron równości do kwadratu: 1
1
+ a = 2 obie strony sÄ… liczbami dodatnimi,
a
2
1
ëÅ‚
+ aöÅ‚ = 22 ,
ìÅ‚ ÷Å‚
a
íÅ‚ Å‚Å‚
1
+ a2 + 2 = 4 ,
a2
1
+ a2 = 2 .
a2
Zapisanie odpowiedniej równości: 1
1 1
+ a2 = 2 = + a .
a2 a
31. Zapisanie i przekształcenie równania do najprostszej postaci: 1
[za to zadanie
n(n - 3)
= 35 ,
przewidziano
2
Å‚Ä…cznie 4 pkt, a tu
tylko 2,
n2 - 3n - 70 = 0 .
dwóch
brakuje!!!]
Obliczenie wyró\nika i podanie liczby boków: 1
" = 9 - 4 Å" (-70) = 289 ,
3 +17
n = = 10 ( n > 0) .
2
32. Rozwiązanie nierówności: 1
x - 3 x -1
- < 0 ,
2 3
3(x - 3) - 2(x -1)
< 0,
6
x < 7.
Wypisanie liczb naturalnych nale\ących do zbioru rozwiązań 1
nierówności: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 .
6
Wypisanie par sprzyjajÄ…cych zdarzeniu: 1
(0, 4), (1, 5), (2, 6) i określenie ich liczby: 3.
OkreÅ›lenie liczby zdarzeÅ„ elementarnych: 6 Å" 7 = 42 . 1
3 1
Obliczenie prawdopodobieństwa: P(A) = .
42
33. Zapisanie równań wynikających z treści zadania: 1
a długość jednej z krawędzi,
q iloraz ciÄ…gu,
a > 0, q > 0 ,
aq długość drugiej krawędzi,
aq2 długość trzeciej krawędzi,
a Å" aq Å" aq2 = 27,
a + aq + aq2 = 13.
Wyznaczenie q z pierwszego równania: 1
a3q3 = 27,
3
aq = 27,
aq = 3,
3
q = .
a
3 1
Podstawienie q = do drugiego równania i zapisanie równania w
a
najprostszej postaci:
9
a + 3 + = 13,
a
a2 + 3a + 9 = 13a,
a2 -10a + 9 = 0.
Obliczenie wyró\nika: " = 100 - 36 = 64 i obliczenie 1
pierwiastków równania kwadratowego: a = 1 lub a = 9 .
Obliczenie długości krawędzi: 1, 3, 9 . 1
Wskazanie najkrótszej krawędzi: 1. 1
7
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Odpowiedzi Przykladowy arkusz 5 Matematyka (3)Odpowiedzi Przykladowy arkusz Matematyka (4)więcej podobnych podstron